中考数学平行四边形知识点总结及答案

中考数学平行四边形知识点总结及答案

一、选择题

1.如图，菱形ABC。的边长为4,NA=60,E是边的中点，F是边上的一个动

点，将线段EE绕着E逆时针旋转60，得到EG,连接EG、CG,则BG+CG的最小

值为（）

D,---------------------

B

A.373B.277C.4百D.2+2V3

2.如图，在平面直角坐标系中，正方形A8C。的顶点A落在y轴上，点C落在x轴上，

随着顶点C由原点。向x轴正半轴方向运动，顶点A沿y轴负半轴方向运动到终点。，在

运动过程中8的长度变化情况是（）

A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减少

3.如图，正方形A8CD的边长为4,点E在边A8上，AE=1,若点P为对角线8。上的一

个动点，则△以£周长的最小值是（）

4.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点0,AB=4,BD=4>/3.E为AB的中点,

点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）

A.4B.275C.2币D.8

5.如图，在菱形ABCD中，两对角线AC、BD交于点0,AC=8,BD=6,当△0PD是以PD

为底的等腰三角形时，CP的长为（）

6.如图，菱形ABCD的边长为4,ZDAB=60°,E为8c的中点，在对角线AC上存在一点

P,使APBE的周长最小，则APSE的周长的最小值为（）

A.26B.4C.2百+2D.4+2>/3

7.如图，在四边形A8CD中，AB//CD,ZC=90",AB=8,AD=CD=5,点M为BC上异于

8、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为。M、MN的中点，当N从A到B的

运动过程中，线段EF扫过图形的面积为（）

A.4B.4.5C.5D.6

8.在他CF中，BC=2AB,。。，48于点/^点后为月尸的中点，若

NADE=50°,则£）8的度数是（）

9.如图，在A3CD中，AB=2A。,口是的中点，作8E_LA。于点E，连接

EF、BF,F列结论：①NCB//uNABb；②FE=FB；③2SAEFB=S四边形DEBC；

④NBFE=3NDEF；其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

10.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中点，将BCE沿BE翻折至BFE,连接

DF,则DF的长度是（）

A石R2石3百D.逑

5555

二、填空题

11.在平行四边形ABCD中，ZA=30°,AD=2A/3,BD=2,则平行四边形ABCD的面积

等于_____.

12.如图，在正方形ABCO中，点E,/将对角线AC三等分,且AC=6.点尸在正方

形的边上，则满足总+尸产=5的点P的个数是________个.

----------------.D

B

13.如图，在矩形ABC。中，AD=y[2AB,/8A。的平分线交BC于点E,OHJLAE于点

H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交8F于点。，下列结论：①/AED=/CED；

②。E=。。；（3）BH=HF；@BC-CF=2HE；（5）AB=HF,其中正确的有.

AB的垂直平分线EF交对角线AC于点尸，垂足为点

E,若NCDF=工。，则NZMB的度数为

D

15.如图，正方形ABCD的边长为4,点E为AD的延长线上一点，且DE=DC,点P为边

AD上一动点，且PC_LPG,PG=PC,点F为EG的中点.当点P从D点运动到A点时，则

CF的最小值为

16.如图，矩形纸片ABCD,AB=5,BC=3,点P在BC边上，将4CDP沿DP折叠，点C落

在点E处，PE,DE分别交AB于点。，F,且OP=OF,则AF的值为.

17.如图，在△ABC中，AB=AC,E,F分别是BC,AC的中点，以AC为斜边作RtZViDC,

若NCAO=/BAC=45°,则下列结论：①CD〃EF；②EF=DF；③DE平分ZCDF；@ZDEC=

30°；⑤AB=垃CD；其中正确的是（填序号）

18.在菱形A8CD中，M是AD的中点，AB=4,N是对角线AC上一动点，△DMN的周长

最小是2+28，则BD的长为.

19.如图，在四边形A8CO中，AD//BC,AD=5,BC=18,E是8c的中点.点P以每秒

1个单位长度的速度从点A出发，沿AO向点。运动;点。同时以每秒3个单位长度的速度

从点C出发，沿CB向点3运动.点P停止运动时，点。也随之停止运动，当运动时间为

f秒时，以点。，2瓦。为顶点的四边形是平行四边形，则f的值等于.

20.如图，在平行四边形A3CD中，AB=5,AZ)=3,/刚。的平分线AE交于点

E，连接若NBAD=NBEC,则平行四边形ABC。的面积为.

三、解答题

21.正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点P是正方形ABCD对角线BD上的一个

动点(点P不与点B,0,D重合)，连接CP并延长，分别过点D,B向射线作垂线，垂

(备用图)

(1)补全图形，并求证：DM=CN；

(2)连接OM,ON,判断0MN的形状并证明.

22.已知在ABC和ADE中，ZACB+ZAED=180°,CA^CB,EA=ED，

AB=3.

(1)如图1,若N4CB=90°，B、A、。三点共线，连接CE：

①若CE=*,求BD长度；

2

②如图2,若点尸是8。中点，连接CF,EF,求证：CE=6EF;

(2)如图3,若点。在线段BC上，且NCAB=2NE4£>,试直接写出AED面积的最

小值.

图3

23.如图所示，四边形A8C。是正方形，M是A3延长线上一点.直角三角尺的一条直

角边经过点。，且直角顶点E在A3边上滑动(点E不与点4B重合)，另一直角边与

NCBM的平分线BF相交于点F.

⑴求证：ZADE=ZFEM;

⑵如图(1),当点E在A3边的中点位置时，猜想OE与EF的数量关系，并证明你的猜想;

⑶如图(2),当点E在A6边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时OE与痔有怎样的数

量关系，并证明你的猜想.

24.如图，AABC^AADC,ZABC=ZADC=90°,AB=BC,点/在边A8上，点

E在边AO的延长线上，且=垂足为H,3”的延长线交AC于点

G.

(1)若45=10,求四边形AECF的面积；

(2)若CG=C8,求证：BG+2FH=CE.

25.已知正方形ABC。与正方形(点C、E、F、G按顺时针排列)，是的中点，连接，.

（1）如图1,点E在上，点在的延长线上，

求证：DM=ME,DMl.ME

简析：由是的中点，AD〃EF,不妨延长EM交AD于点N,从而构造出一对全等的三角

形，即g.由全等三角形性质，易证ADNE是三角形，进而得出结论.

（2）如图2,在。C的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立，请证明你的结

论；若不成立，请说明理由.

（3）当AB=5,CE=3时,正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点E在直线CD上，

则DM=;若点E在直线BC上，则DM=.

26.在正方形4BCC中，连接BD,P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接4P,

AP的垂直平分线交线段8。于点区连接4E,PE.

提出问题：当点P运动时，乙4PE的度数是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点P的两个特殊位置：

①当点P与点B重合时，如图1所示，^APE=°

②当BP=BC时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：

;（填"变化"或"不变化"）

（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图3,图4,通过观察、测量，发现：（1）中

①的结论在一般情况下________；（填"成立"或"不成立"）

图3图1

(3)证明猜想：若(1)中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行

证明：若不成立，请说明理由.

27.如图1,在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。，过点。作直线EF^BD,且交

AC于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分/ABD.

(1)①求证：四边形BFDE是菱形；②求NEBF的度数.

(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图2,G,I分别在BF,BE边上，且BG二BI,

连接GD,H为GD的中点，连接FH,并延长FH交ED于点J,连接IJ,IH,IF,IG.试探究

线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；

(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3,矩形ABCD满足AB=AD时，点E是

对角线AC上一点，连接DE,作EF_LDE,垂足为点E,交AB于点F,连接DF,交AC于点

G.请直接写出线段AG,GE,EC三者之间满足的数量关系.

28.如图，在矩形ABCD中，AB=16,BC=18,点E在边AB上，点F是边BC上不与点

B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在点&处.

⑴若AE=O时，且点&恰好落在AD边上，请直接写出DB，的长；

(II)若AE=3时，且4CDB,是以DB，为腰的等腰三角形，试求DB，的长；

(川)若AE=8时，且点&落在矩形内部(不含边长)，试直接写出DB，的取值范围.

29.在直角梯形力腼中，AB//CD,,AB=AD=\Ocm,除8cm。点一从点4出发，

以每秒3cm的速度沿折线MCD运动,点0从点〃出发，以每秒2cm的速度沿线段次7方向

向点C运动。已知动点巴。同时出发，当点0运动到点C时.，P,。运动停止，设运动时

间为t秒.

⑴求切的长.

(2)/为何值时？四边形阳。〃为平行四边形.

(3)在点只点0的运动过程中，是否存在某一时刻，使得/版的面积为20cm2?若存

在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.

30.如图，AABC是边长为3的等边三角形，点。是射线BC上的一个动点（点。不与

点、B、C重合），A4DE是以A。为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线

（1）判断四边形5CFE的形状，并说明理由；

（2）当OEL43时，求四边形BCFE的周长；

（3）四边形BCEE能否是菱形？若可为菱形，请求出BZ）的长，若不可能为菱形，请说

明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点F,连接E'C,E'B,此时

CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E点重合，再在RSEBC中，EB=2后，

BC=4,求EC的长.

【详解】

取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点E',连接E'C,E'B

此时CE的长就是GB+GC的最小值;

,MN/7AD,

1

；.HM=—AE,

2

VHB1HM,AB=4,/A=60°,

；.MB=2,ZHMB=60°,

，AE'=2,

，E点与E，点重合，

VZAEB=ZMHB=90°,

.".ZCBE=90°,

在RtZ\EBC中，EB=273,BC=4,

EC=2币,

故选A.

【点睛】

本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键.

2.D

解析：D

【分析】

根据运动开始，8是正方形的边长CD,运动过程中3与。点重合时，OO是对角线，

在运动A与。点重合，8是边长A。，可得答案.

【详解】

从C离开。点到B到。点，8由边长到对角线在增大，由8离开。点到A到。点，

OD由正方形的对角线减少到正方形的边长.

故选。.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，8由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线

到正方形的边长.

3.D

解析：D

【分析】

连接AC、CE,CE交BD于P,此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案.

【详解】

解：连接AC、CE,CE交BD于P,连接AP、PE,

•••四边形ABC。是正方形，

：.OA=OC,ACLBD,即A和C关于BD对称,

：.AP=CP,

即AP+PE=CE,此时AP+PE的值最小，

所以此时△%£周长的值最小，

•.•正方形A8CD的边长为4,点E在边A8上，AE=1,

NA8c=90°,BE=4-1=3,

由勾股定理得：CE=5,

二△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6,

故选D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质与轴对称一一最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型.

4.C

解析：C

【解析】

【分析】

连结DE交AC于点P,连结BP,根据菱形的性质推出A。是BD的垂直平分线，推出

PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根据勾股定理求出DE的长即可.

【详解】

如图，设AC,BD相交于。，

•..四边形ABCD是菱形,

I

.\AC1BD,AO=—AC,BO=-BD=2^,

22

VAB=4,

.".AO=2,

连结DE交AC于点P,连结BP,作EMJ_BD于点M,

•••四边形ABCD是菱形，

AAC1BD,且DO=BO,即AO是BD的垂直平分线,

；.PD=PB,

；.PE+PB=PE+PD=DE且值最小，

是AB的中点，EM1BD,

11厂

.\EM=yAO=l,BM=]BO=j2，

.\DM=D0+0M=-B0=3,

2

•■•DE-JE"+DM2=J『+(3同=2币，

故选C.

【点睛】

此题考查了轴对称-最短路线问题，关键是根据菱形的判定和三角函数解答.

5.C

解析：c

【解析】

【分析】

过。作。E_LC。于E.根据菱形的对角线互相垂直平分得出。8,0C的长，AC±BD,再利

用勾股定理列式求出CD,然后根据三角形的面积公式求出。E.在Rt^OED中，利用勾股

定理求出ED.根据等腰三角形三线合一的性质得出PE,利用CP=CD-PD即可得出结论.

【详解】

过。作OE_LC。于E.

•.,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点。，6=3,

22

2222

OA=OC=；AC=^X8=4,ACLBD,由勾股定理得：CD=7OD+OC=73+4=5.

22

11~人

*：-OCXOD=-CDXOE,：.12=5O£,：.0E=2A.在Rt/XODE中，

22

DE=y]0D2-0E2=732-2.42=18

OD=OP,：.PE=ED=1.8,,,.CP=CD-PD=5-1.8-1.8=1.4=1.

故选C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求出。E的长是解题的关键.

6.C

解析：C

【分析】

如下图，4BEP的周长=BE+BP+EP,其中BE是定值，只需要BP+PE为最小值即可，过点E

作AC的对称点F,连接FB,则FB就是BP+PE的最小值.

【详解】

如下图，过点E作AC的对称点F,连接FB,FE,过点B作FE的垂线，交FE的延长线于点

G

•.•菱形ABCD的边长为4,点E是BC的中点

BE=2

•.•/DAB=60°,.•.NFCE=60°

,点F是点E关于AC的对称点

根据菱形的对称性可知，点F在DC的中点上

则CF=CE=2

.♦.△CFE是等边三角形，；./FEC=60°,EF=2

ZBEG=60"

.•.在RtZ^BEG中，EG=1,BG=V3

FG=l+2=3

.•.在RtABFG中，BF=J32+(>/3)2=2后

根据分析可知，BF=PB+PE

/.△PBE的周长=26+2

故选：C

【点睛】

本题考查菱形的性质和利用对称性求最值问题，解题关键是利用对称性，将BP+PE的长转

化为FB的长.

7.A

解析：A

【分析】

取MB的中点P,连接FP,EP,DN,由中位线的性质，可得当N从A到8的运动过程中，

点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为AEFP,求出当点N与点A重合时，

FP的值，以及FP上的高，进而即可求解.

【详解】

取MB的中点P,连接FP,EP,DN,

；FP是AMNB的中位线，EF是ADMN的中位线，

，FP〃BN,FP=LBN,EF〃DN,EF=-DN,

22

...当N从A到8的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为

AEFP.

当点N与点A重合时，FP=-BN=-BA=4,

22

过点D作DQJ_AB于点Q,

'：AB//CD,ZC=90°,AB=8,AD=CD=5,

；.AQ=8-5=3,

•••DQ=QAD?_AQ?=yj52-32=4，

，当点N与点Q重合时，EF=-DN=-DQ=2,EF〃DQ,即：EF±AB,即：EF_LFP,

22

...AEFP中,FP上的高=2,

.••当N从A到8的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=lX4X2=4.

2

故选A.

【点睛】

本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，

构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键.

8.D

解析：D

【分析】

连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,根据已知条件和平行四边形的性质可证明

△NAE四△CFE,所以NE=CE,NA=CF,再由已知条件CD于D,NADE=50°,即可

求出/B的度数.

【详解】

解：连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,

•.•四边形ABCF是平行四边形，

：.AB//CF,AB=CF,

:.NNAE=NF,

•.•点E是的AF中点，

：.AE=FE,

在△NAE和ACFE中，

"ZNAE=ZF

<AE=FE,

NAEN=NFEC

：./\NAE^/\CFE(ASA),

ANE=CE,NA=CF,

'：AB=CF,

：.NA=AB,即BN=2AB,

\'BC=2AB,

：.BC=BN,NN=NNCB,

；CD_LAB于D,即/NOC=90°且NE=CE,

1

：.DE=—NC=NE,

2

：.ZN=ZNDE=50a=NNCB,

AZB=80°.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助

线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答.

9.C

解析：C

【分析】

由平行四边形的性质结合AB=2AD,CD=2CF可得CF=CB,从而可得NCBF=NCFB,再根据

CD〃AB,得NCFB=NABF,继而可得NCB/7=NABE,可以判断①正确；延长EF交BC

的延长线与M,证明4DFE与△CFM(AAS),继而得EF=FM=；EM,证明

/CBE=NAEB=90°,然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得

SABEF=SABMF,SADFE=S/SCFM»继而可得S/、EBF=SABMF=SAEDF+S/\FBC,继而可得

2SAEFB=S四边形DEBC，可判断③正确；过点F作FNLBE,垂足为N,则NFNE=90。，则可得

AD//FN,则有NDEF=NEFN,根据等腰三角形的性质可得NBFE=2NEFN,继而得

ZBFE=2ZDEF,判断④错误.

【详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD=BC,AB=CD,AD//BC,

VAB=2AD,CD=2CF,

CF=CB,

AZCBF=ZCFB,

：CD〃AB,

AZCFB=ZABF,

/.ZCBF=ZABF,故①正确；

延长EF交BC的延长线与M,

VAD//BC,

.••ZDEF=ZM,

又DFE=NCFM,DF=CF,

ADFE与△CFM(AAS),

1

，EF=FM=—EM,

2

VBF1AD,

/AEB=90",

•.•在平行四边形ABCD中，AD〃BC,

.♦.NCBE=NAEB=90°,

,1

・・BF=——EM,

2

ABF=EF,故②正确；

VEF=FM,

**«SABEF=SABMFT

VADFE^ACFM,

SADFE=SACFM,

SAEBF=SABMF=SAEDF+SAFBC>

***2S&EFB=S四边形DEBC，故③正确：

过点F作FN_LBE,垂足为N,则NFNE=90°,

AZAEB=ZFEN,

AAD//EF,

AZDEF=ZEFN,

又「EF=FB,

AZBFE=2NEFN,

.\ZBFE=2ZDEF,故④错误,

所以正确的有3个，

故选C.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质

等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题

的关键.

10.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE=EF=2,BE_LCF,FH=CH,由面积法可求

CH=U6,由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF=2EH=述.

55

【详解】

解：如图，连接CF,交BE于H,

•.,在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中点,

；.BC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

；・BE=y/BC2+CE2=J16+4=2逐，

,将ABCE沿BE翻折至ABFE,

；.CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,

11

VSABCE=—xBExCH=—xBCxCE,

VCE=DE,FH=CH,

.".DF=2EH=^^,

5

故选：D.

【点睛】

本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题

的关键.

二、填空题

H.48或2道

【分析】

分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边

形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：过。作于E,

在RtAAPE中,ZA=30°,AD=2也,

A

:.DE=-AD^y/3,AE=—AD=3,

22

在RtABDE中,BD=2,

BE=>JBD2-DE2=一(6y=1,

；.AB=4，

，平行四边形ABC。的面积=A8DE=4x6=46，

如图2,

图2

AB=2,

•••平行四边形ABCD的面积=ABDE=2X6=26

如图3,过3作5E_LA。于E,

图3

在RtAASE中，设AE=x,贝I]OE=26—X，

ZA=30°>BE=x，

3

在RtZ\B£)E中，BD=2,

22=(^X)2+(2^-X)2,

:.x=5x=26(不合题意舍去)，

:.BE=L

■■■平行四边形ABCD的面积=AE>BE=1x=2右，

当A£>_L8D时，平行四边形ABCZ）的面积=AD30=46，

故答案为：或2G.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性

质，根据题意作出图形是解题的关键.

12.8个

【分析】

作点F关于BC的对称点M,连接FM交BC于点N,连接EM,交BC于点H,可得点H到

点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解.

【详解】

如图，作点F关于BC的对称点M,连接FM交BC于点N,连接EM,交BC于点H,

••,点E,F将对角线AC三等分，且AC=6,

，EC=4,FC=2=AE,

•.•点M与点F关于BC对称，

；.CF=CM=2,/ACB=NBCM=45",

/.ZACM=90",

；.EM=7EC2+CM2=V42+22=275，

则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为2后<5,

在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=4+2=6,

...点P在CH上时，2&VPE+PFW6,

在点H左侧，当点P与点B重合时，

VFN1BC,ZABC=90°,

；.FN〃AB,

.".△CFN^ACAB,

•_F_N___C__N___C__F___1

"AB-CB-CA-3'

VAB=BC=—AC=372，

.•.FN=；AB=0,

CN=-BC=V2-

3

，BN=BC-CN=20,

BF=7^7^=^/^§=而，

VAB=BC,CF=AE,ZBAE=ZBCF,

AAABE^ACBF(SAS),

；.BE=BF=JIU,

；.PE+PF=2厢，

.•.点P在BH上时，26<PE+PF〈2jI6，

在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=5,

同理在线段AB,AD,CD上都存在两个点使PE+PF=5.

即共有8个点P满足PE+PF=5,

故答案为8.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H,使点H到点E和点F的距

离之和最小是本题的关键.

13.①②③④

【分析】

①根据角平分线的定义可得NBAE=NDAE=45°,可得出△ABE是等腰直角三角形，根据等

腰直角三角形的性质可得AE=J5AB,从而得到然后利用“角角边”证明AABE

和△AMD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求

出/AOE=NAED=67.5°,根据平角等于180°求出NCED=67.5°,从而判断出①正确；

②求出NAHB=67.5°,NDHO=NODH=22.5°,然后根据等角对等边可得。E=OD=OH,判断

出②正确；

③求出NE8H=/OHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45Q,然后利用“角边角”证明△8EH和

△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得8H=HF,判断出③正确；

④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判断出④正确；

⑤判断出△AB”不是等边三角形，从而得到ABW8H,即得到⑤错误.

【详解】

:在矩形ABC。中，AE平分/BAD,：.ZBAE=ZDAE^45°,，/VIBE是等腰直角三角形，

：.AE=血AB.

,:AD=6AB,：.AE=AD.

NBAE=NDAE

在△A8E和△AH。中，V«AABE=ZAHD=90°,A/\ABE^/\AHD(AAS),

AE=AD

：.BE=DH,：.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=-(180°-45°)=67.5°,

2

/CED=180°-45°-67.5°=67.5°,AZAED=ZCED,故①正确；

VZAHB=-(180°-45°)=67.5°,/OHE=NAHB(对顶角相等)，

2

：.NOHE=NAED,：.OE=OH.

"：ZDOH^O0-67.5°=22.5°,/ODH=67.5°-45°=22.5°,:.NDOH=NODH,

：.OH=OD,：.OE=OD=OH,故②正确；

；NEBH=90°-67.50=22.5°,：.ZEBH=ZOHD.

ZEBH=40HD

在△BEH和△HDF中，,/<BE=DH,.♦.△BEH丝△HOF(ASA),:.BH=HF,

NAEB=NHDF

HE=DF,故③正确；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF,：.BC-CF=(.CD+HE)-CCD-

HE)=2HE,所以④正确；

'：AB^AH,NBAE=45°,，ZVIBH不是等边三角形，:.ABWBH,.•.即A8WHF,故⑤错

误；

综上所述：结论正确的是①②③④.

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定

与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角

形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.

14.102°

【分析】

根据菱形的性质求出/DAB=2/DAC,AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF,利用

三角形内角和定理可以求得3/CAD+/CDF=180。，从而得到/DAB的度数.

【详解】

连接BD,BF,

E\^/

B

•.•四边形ABCD是菱形，

/.AD=CD,

.\ZDAC=ZDCA.

•••EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,

；.AF=BF,BF=DF,

；.AF=DF,

AZFAD=ZFDA,

AZDAC+ZFDA+ZDCA+ZCDF=180°,即3ZDAC+ZCDF=180°,

：/CDF=27°,

.".3ZDAC+27o=180o,则NDAC=51。,

ZDAB=2ZDAC=102°.

故答案为：102。.

【点睛】

本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有

一定的难度，解答本题时注意先先连接BD,BF,这是解答本题的突破口.

15.2&

【分析】

由正方形ABCD的边长为4,得出AB=BC=4,ZB=90°,得出AC=4后，当P与D重合

时，PC=ED=PA,即G与A重合，则EG的中点为D,即F与D重合，当点P从D点运动到

A点时，则点F运动的路径为DF,由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是4EAG

的中位线，证得NFDA=45°,则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF±DF,此时CF最

小，此时CF=；AG=2血.

【详解】

解：连接FD

,/正方形ABCD的边长为4,

；.AB=BC=4,ZB=90°,

••AC=45/2，

当P与D重合时，PC=ED=PA,即G与A重合，

；.EG的中点为D,即F与D重合，

当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF,

：D是AE的中点，F是EG的中点，

ADF是4EAG的中位线，

；.DF〃AG,

,/ZCAG=90°,ZCAB=45°,

；./BAG=45°,

，/EAG=135°,

.\ZEDF=135",

ZFDA=45°,

，F为正方形ABCD的对角线的交点，CF±DF,

此时CF最小，

此时CF=；AG=2及；

故答案为：2起.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键.

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可证AOEF丝△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,设EF=x,则BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-X,进而可得出AF=2+x,在RSDAF中，利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的长.

【详解】

解：•..将ACDP沿DP折叠，点C落在点E处，

，DC=DE=5,CP=EP.

在△OEF和△OBP中，

/EOF=NBOP

<ZB=ZE=90,

OP=OF

.♦.△OEF会△OBP(AAS),

.*.OE=OB,EF=BP.

设EF=x,则BP=x,DF=DE-EF=5-x,

XVBF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

；.AF=AB-BF=2+x.

在Rt/SDAF中，AF2+AD2=DF2,

(2+x)2+32=(5-x)2,

6

x=—

7

【点睛】

本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题

时常常设要求的线段长为X,然后根据折叠和轴对称的性质用含X的代数式表示其他线段

的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

17.①②③⑤

【分析】

根据三角形中位线定理得到EF=』AB,EF〃AB,根据直角三角形的性质得到DF=」AC,

22

根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断.

【详解】

VE,F分别是BC,AC的中点，

1

；.EF=-AB,EF〃AB,

2

,.'ZADC=90",ZCAD=45",

ZACD=45",

/BAC=NACD,

；.AB〃CD,

；.EF〃CD,故①正确；

VZADC=90%F是AC的中点,

.*.DF=CF=-AC,

2

1

VAB=AC,EF=-AB,

2

，EF=DF,故②正确；

VZCAD=ZACD=45",点F是AC中点，

...△ACD是等腰直角三角形，DF±AC,ZFDC=45°,

.,.ZDFC=90°,

VEF//AB,

，NEFC=/BAC=45°,NFEC=NB=67.5°,

ZEFD=ZEFC+ZDFC=135",

...NFED=NFDE=22.5。，

•.'/FDC=45°,

ZCDE=ZFDC-ZFDE=22.5°,

AZFDE=ZCDE,

，DE平分NFDC,故③正确；

VAB=AC,ZCAB=45°,

，/B=NACB=67.5°,

；.NDEC=/FEC-/FED=45°,故④错误；

「△ACD是等腰直角三角形，

.•.AC2=2CD2,

.\AC=V2CD,

VAB=AC,

.\AB=V2CD,故⑤正确；

故答案为：①②③⑤.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线

的性质，勾股定理等知识.掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是

解题的关键.

18.4

【分析】

根据题意，当B、N、M三点在同一条直线时，△DMN的周长最小为：BM+DM=2+2jL

由DM=；4D=2,贝IJBM=2百，利用勾股定理的逆定理，得到NAMB=90°,则得到

△ABD为等边三角形，即可得到BD的长度.

【详解】

解：如图：连接BD,BM,则AC垂直平分BD,则BN=DN,

D

当B、N、M三点在同一条直线时，△DMN的周长最小为：BM+DM=2+26，

VAD=AB=4,M是AD的中点，

；.AM=DM=-AZ)=2,

2

；.BM=26，

AM2+BM2=22+(2百＞=16=4出，

.'△ABM是直角三角形，即/AMB=90°；

VBM是4ABD的中线，

△ABD是等边三角形，

BD=AB=AD=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，以及三线合一定

理.解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到4ABD是等边三角形.

19.2或3.5

【分析】

分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案.

【详解】

1

/.BE=CE=-BC=9,

2

①当Q运动到E和B之间，则得:

3t-9=5-t,

解得：t=3.5；

②当Q运动到E和C之间，则得:

9-3t=5-t,

解得：t=2,

当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.

【点睛】

“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质.解题时注意掌握辅助线的

作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.

20.10及

【分析】

根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3,再根据=证明

BC=BE,由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF,即可求出平行四边形的面积.

【详解】

过点8作8ELC。于点尸，如图所示.

；AE是的平分线，

ZDAE=ABAE.

V四边形ABC0是平行四边形，

ACD=AB=5,BC=AD=3,NBAD=NBCE,AB//CD,

；•ZBAE^ZDEA,

：.ZDAE^ZDEA,

DE=AD-3，

CE=CD-DE=2.

•••ZBAD=ZBEC,

：.ZBCE^ZBEC,

：.BC=BE,

CF=EF=-CE=1,

2

•••BF=y/BC2-CF2=A/32-12=272•

,平行四边形ABC。的面积为BF-CD=26X5=106-

故答案为：ioj^.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性

质、三线合一的性质，勾股定理.

三、解答题

21.(1)见解析；(2)MON为等腰直角三角形，见解析

【分析】

(1)如图1,由正方形的性质得CB=CD,ZBCD=90°,再证明NBCN=/CDM,然后根据

"AAS"证明ACDM名△CBN,从而得到DM=CN：

(2)如图2,利用正方形的性质得OD=OC,ZODC=ZOCB=45°,NDOC=90。，再利用

/BCN=NCDM得到/OCN=NODM,则根据"SAS”可判断△OCNgZ!\ODM,从而得到ON=

OM,ZCON=ZDOM,所以NMON=NDOC=90。，于是可判断AMON为等腰直角三角

形.

【详解】

(1)证明：如图1,

:四边形ABCD为正方形，

；.CB=CD,NBCD=90°,

VDM1CP,BN1CP,

/DMC=90°,/BNC=90°,

VZCDM+ZDCM=90°,ZBCN+ZDCM=90°,

；./BCN=NCDM,

在ACDM和ACBN中

NDMC=NCNB

<CD=CB,

NCDM=ZBCN

.".△CDM^ACBN,

，DM=CN；

(2)解：AOMN为等腰直角三角形.

理由如下：

如图2,；四边形ABCD为正方形，

.,.OD=OC,ZODC=ZOCB=45°,ZDOC=90°,

VZBCN=ZCDM,

AZBCN-45°=ZCDM-45°,即NOCN=/ODM,

在AOCN和AODM中

'CN=DM

<NOCN=ZODM,

OC=OD

.".△OCN^AODM,

.,.ON=OM,ZCON=ZDOM,

.../MON=/DOC=90°,

•••MON为等腰直角三角形.

本题考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线

相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、

矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正

方形又是轴对称图形，有四条对称轴.也考查全等三角形的判定与性质.

22.（1）①7；②证