16利用三角函数测高（练习）

第一章直角三角形的边角关系第六节利用三角函数测高精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2019·全国九年级课时练习）使用测倾器测量倾斜角的步骤有：（1）记下此时铅垂线所指的度数；（2）使支杆的中心线、铅垂线和度盘的刻度线重合；（3）转动度盘，使度盘的直径对准目标M；（4）把支杆竖直插入地面.则正确的步骤应为（）A．（1）（2）（3）（4） B．（4）（3）（2）（1）C．（4）（2）（3）（1） D．（3）（4）（2）（1）【答案】C【解析】【分析】根据基本测量理论知识，由测量的基本步骤顺序，即可得到答案.【详解】解：使用测倾器测量倾斜角的步骤有：把支杆竖直插入地面；使支杆的中心线、铅垂线和度盘的刻度线重合；转动度盘，使度盘的直径对准目标M；记下此时铅垂线所指的度数；所以正确的顺序是：（4）（2）（3）（1）；故选择：C.【点睛】本题考查基本的测量理论，要求学生根据几何知识，结合实际操作，做出判断．2．（2019·全国九年级课时练习）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β.则较低建筑物CD的高度为（）.A．a米 B． C． D．a(tanβtanα)【答案】D【解析】【分析】作AE∥BD交DC的延长线于点E，构造直角三角形．用含BD的式子表示出DE、CE，即可得出答案．【详解】作AE∥BD交DC的延长线于点E，∴∵，，∴DE=atanα，CE=atanβ，∴CD=DE−CE=a(tanα−tanβ).故选D.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用.在图形中利用辅助线构建直角三角形是解题的关键.3．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为()A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米【答案】C【解析】试题解析：在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO为α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故选C．考点：解直角三角形的应用仰角俯角问题．4．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，若水平距离BD＝10m，楼高AB＝24m，则树CD高约为()A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【解析】过点C作AB的垂线CE,在Rt△AEC中,CE=BD=10,∠CAE=30°,因为所以,AE=,所以CD=BE=AB－AE=24－10故选C.5．（2019·全国九年级课时练习）如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着倾角为30°的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到0.01米）（）；A．1366.00米 B．1482.12米 C．1295.93米 D．1508.21米【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的度数可判定△ABD是等腰三角形，AD=BD，然后解直角三角形，可求出BE的长和CE的长，从而可求出山高的高度．【详解】解：∵∠BAC=45°，∠DAC=30°，

∴∠BAD=15°，

∵∠BDE=60°，∠BED=90°，

∴∠DBE=30°，

∵∠ABC=45°，

∴∠ABD=15°，

∴∠ABD=∠DAB，

∴AD=BD=1000，

过点D作DF⊥AC，

∵AC⊥BC，DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠DFC=∠ACB=∠DEC=90°

∴四边形DFCE是矩形

∴DF=CE

在直角三角ADF中，∵∠DAF=30°，

∴DF=AD=500，

∴EC=500，BE=1000×sin60°=500．

∴BC=500+500(米)．故选A【点睛】本题考查直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是根据角判断特殊的三角形，直角三角形或者等腰三角形，从而求出解．6．（2020·云南九年级零模）如图，小明想测量斜坡旁一棵垂直于地面的树的高度，他们先在点处测得树顶的仰角为，然后在坡顶测得树顶的仰角为，已知斜坡的长度为，斜坡顶点到地面的垂直高度，则树的高度是（）A．20 B．30 C．30 D．40【答案】C【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】在Rt△CDE中，∵CD=20m，DE=10m，∴sin∠DCE=，∴∠DCE=30°．∵∠ACB=60°，DF∥AE，∴∠BGF=60°∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．∵∠BDF=30°，∴∠DBF=60°，∴∠DBC=30°，∴BC=（m），∴AB=BC•sin60°=20×=30（m）．故选C．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．7．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米 B．200米 C．220米 D．100米【答案】D【解析】【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长．【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，∴BD＝CD＝100米，∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°，∴AC＝2×100＝200米，∴AD＝＝100米，∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米，故选D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．8．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC=（）米．A．250 B．500 C．250 D．500【答案】C【解析】试题分析：设PC=x米，根据Rt△PBC的性质可得：BC=x米，根据Rt△PAC的性质可得：AC=x米，AB=ACBC=xx=500，解得：x=250米，故选C．二、填空题9．（2019·山东泰安市·中考模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为_____海里．（结果保留根号）【答案】40【解析】【分析】根据题意画出草图，再利用三角函数就可以求解出的距离。【详解】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，∵PA＝80，∠PAC＝30°，∴PC＝40海里，在Rt△PBC中，PC＝40，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝40海里，故答案为：40．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来计算未知量，此类题目应当引起注意，是经常的考题模式。10．如下图,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为________

m．【答案】20m【解析】【分析】延长CD交AM于点E．在Rt△ACE中，可求出CE；在Rt△ADE中，可求出DE．CD=CEDE．【详解】解：延长CD交AM于点E，则AE=30．∴同理可得∴（米）故答案为【点睛】考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．11．（2020·海南中学九年级期末）一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援，海警船到达事故船处所需的时间大约为________小时（用根号表示）．【答案】【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=（海里），然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=60海里，∴CD=AC=30海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°37°=53°，∴BC=（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：20÷40=（小时）．故答案为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．12．（2019·全国九年级课时练习）如图，某同学用一个有角的直角三角板估测学校旗杆AB的高度．他将与角相邻的直角边水平放在1.5m高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为5m，则旗杆AB的高度约为________m.（结果精确到lm，取1.73）【答案】10【分析】在△ACE中，CE⊥AE，tan∠ACE=，由此可得AE，AB=AE+BE=AE+CD．【详解】解：由题意可知，在△ACE中，CE⊥AE，且∠ACE=60°，BD=5，而tan∠ACE=，∴AE＝CE×tan60°＝≈8.6．又∵EB=1.5，∴AB=AE+EB≈10（米）．故答案为10.【点睛】解题的关键是把实际问题抽象到解直角三角形中，然后利用三角函数的定义解决问题．提升篇提升篇三、解答题13．（2020·西安市铁一中学九年级其他模拟）如图，小明想用所学的知识来测量长安塔的高度，他先在E处用侧倾器测得塔顶A的仰角α为30°，然后，他从E处迎着塔的方向走了71.1米到F处，再用侧倾器测得塔顶A的仰角β为45°，已知点E、F、B在同一水平面上，侧倾器的高度为1.6米，请你利用小明测得的相关数据，求长安塔的高度AB（结果精确到1米．参考数据：≈1.41，≈1.73）【答案】99米【分析】设CD延长线于AB交于点G，根据题意可得四边形GBEC、四边形GBFD、四边形DFEC是矩形，可得BG＝DF＝CE＝1.6，DC＝EF＝71.1，DG＝BF，设AG＝DG＝BF＝x，在Rt△ACG中，∠ACG＝30°，AG＝x，CG＝DG+DC＝x+71.1，再根据三角函数可得tan30°＝，代入数据解出x，进而可求出长安塔的高度．【详解】设CD延长线于AB交于点G，根据题意可知：四边形GBEC、四边形GBFD、四边形DFEC是矩形，∴BG＝DF＝CE＝1.6，DC＝EF＝71.1，DG＝BF，∵∠ADG＝45°，∴AG＝DG＝BF，设AG＝DG＝BF＝x，在Rt△ACG中，∠ACG＝30°，AG＝x，CG＝DG+DC＝x+71.1，∴tan30°＝，即，解得x≈97.1，∴AB＝AG+GB＝97.1+1.6≈99（米）．答：长安塔的高度AB约为99米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据图形作出辅助线并根据三角函数列出方程是解题的关键．14．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·九年级月考）数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，≈1.41）【答案】55米【分析】延长BE交CD于点G，交CF于点H，设CH＝xm，利用锐角三角函数的含义分别表示，再列方程求解即可．【详解】解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，在Rt中，∠EDG＝45°，∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°设CH＝xm，在Rt中，∠EGD＝45°，∴GH＝xm在Rt中，∠CBH＝28°，∴tan∠CBH＝，即：＝tan28°解这个方程得：x≈45.1，经检验：x≈45.1符合题意．∴灯塔的高CF＝55.1≈55（m）答：灯塔的高为55米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题的关键．15．（2021·北京门头沟