寒假作业14角中的动态问题-2024年七年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：30min完成时间：月日天气：寒假作业14角中的动态问题一、常用解题方法动角问题作为压轴题，难度系数比较大，一般解题方法：①化动为静，分类画图；②转化为常见角度计算题型.二、旋转动角问题一般采用三步解题技巧：①找：根据题意找到目标角度；②表：表示出目标角度.常见类型如下：1)角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间；2)角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角速度×时间；3)角度一边动另一边不动，角度先变小后变大：变小：目标角=起始角速度×时间变大：目标角=速度×时间起始角③列：根据题意列方程求解.三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)．三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度．1．将一副三角板的直角顶点重合放置于处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】A.∵，而和不一定相等，∴不一定成立，不符合题意；B.∵，而的值不固定，∴不一定成立，不符合题意；C.，即一定成立，符合题意；D.由题意得，而不一定成立，不符合题意.故选C．2．已知O是直线上的一点，，平分．如图，与在直线的同侧，我们探究一下与的数量关系：

(1)填表，当取不同度数时，请计算出的度数，并填写到下列表格中；20°35°…………(2)猜想，若，求的度数（用含有的式子表达），并说明理由．【解析】（1）解：因为，所以，因为平分，所以，∴当时，，当时，，当时，，故答案为：40°，70°，；（2）解：因为，所以，因为平分，所以，∴．3．如图1，一直角三角尺的直角顶点在直线上，一边在射线上，另一边在直线的上方，将直角三角尺在平面内绕点顺时针旋转，且平分，平分，如图2．(1)如图2，当时，①求和的度数；②求的度数．(2)在直角三角尺旋转过程中，设，若，则①求和的度数（用含的代数式表示）；②的度数是否发生变化，请通过计算说明理由．【解析】（1）①，由题意得，是直角三角形，，；②平分，，平分，，∴；（2）①当时，，是直角三角形，，；当时，，是直角三角形，，；②当时，平分，，平分，，∴，∴的度数没有发生变化；当时，平分，，平分，，∴，∴的度数没有发生变化．4．已知直线，O是上的一个定点．点A是直线下方的一个动点，作射线及的角平分线，点C与点A在直线的两侧，点D在线段的延长线上．(1)若，，在下图中补全图形，并求出的大小；

(2)射线是的角平分线；①如下图，当时，用等式表示与的数量关系，并证明；

②当，且时，直接写出的度数．

【解析】（1）解：补全图形如图所示，

∵，是的角平分线，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①，理由如下，设，，

∵是的角平分线，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∴；②设，，

∵，∴，∴，是的角平分线，∴，，∵是的角平分线，∴，即，解得，∴．5．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．(1)在图1中，______．(2)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图2．若，求的度数．(3)在旋转过程中，若三角板在直线的上方，则与始终保持的数量关系是______．并请说明理由．【解析】（1）解：根据题意可得，，∵，且，∴，故答案为：．（2）解：∵，∴，∵，∵，∴，∴，解得，，∴，∴的度数为．（3）解：，理由如下，在旋转过程中，若三角板在直线的上方，，，①如图所示，在内部，∵，则，，则，∴，∴；②如图所示，在外部，∴，则，，则，∴，∴；综上所述，，故答案为：．6．如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点不与点重合），点、分别是、的中点．

(1)若，则__________．(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化？如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由．(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，求的度数．【解析】（1）解：，，，，点、分别是、的中点，，，，故答案为：22；（2）解：线段的长度不会发生变化；理由如下：∵点、分别是、的中点，∴，，∴；（3）解：∵、分别平分和，∴，，∴．7．如图，已知，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转；同时，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过秒，与的夹角是．

【答案】或【解析】设秒后，与的夹角是，如图，

，∴，，∵，∴，即有，解得：，如图，

∴，，∵，∴，即有，解得：，综上可知：或，与的夹角是，故答案为：或．8．一副三角板与如图摆放，且，，，平分，平分．当三角板绕点顺时针旋转（从图到图）．设图、图中的的度数分别为，，度．

【答案】105【解析】如图1：

∵，，，∴，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；如图2：

∵，，，∴，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；∴；故答案为：105．9．已知，过顶点O作射线，且平分，平分．

(1)如图，若在内．①当平分时，的度数为;②当时，求的度数．(2)嘉嘉说∶“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说∶“你说的不对，的度数能算到，且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由(3)若射线从出发绕点O顺时针旋转（旋转角小于），请直接写出的度数．【解析】（1）①∵，平分，∴，∵平分，∴；故答案为：；②∵，，∴．∴．∵平分，∴；（2）琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下：∵平分，平分，∴，，∴；（3）设旋转角为，①当时，如图，

∵平分，平分，∴．∵，，∴；②当时，在的下方，如图，

∵平分，平分，∴．∵，，∴.10．已知数轴上两点之间的距离可以用右边的点表示的数减去左边的点表示的数来计算．如图，数轴与数轴交于原点，且所夹锐角是．点，在数轴上，点，在数轴上．已知点是数轴上的一个动点，点是数轴上的一个动点，点，表示的数分别是，点，表示的数分别是．若点表示的数为，点表示的数为．请完成下列问题：

(1)当点运动到与点，的距离相等时，______；当点运动到与点，的距离相等时，______；(2)当点运动到与点的距离是它到点的距离的2倍，点运动到与点的距离是它到点的距离的2倍时，试求出，的值；(3)在（2）的条件下，若数轴以每秒的速度绕点逆时针旋转，请直接写出第秒时，的度数．（用含的式子表示）【解析】（1）解：由题意，得：，解得：；，解得，故答案为：;（2）当点在点左侧时：，解得：；当点在点右侧时：，解得：；综上：或；当点在点上方时：，解得：；当点在点下方时：，解得：；综上：或；（3）设第秒时，数轴转到了如图所示的位置，点，点转到，点转到，

由图可知：，；综上：或．11．已知：．(1)如图1，若．①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，理由是________________．

②那么_________．(2)如图2，与重合，若，将绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒．①当t=______秒时，平分；②试说明：当t为何值时，？【解析】（1）解：①∵，∴，，∴（同角的余角相等）．故答案为：，同角的余角相等；②∵，∴．故答案为：180；（2）解：①根据题意，得，即，解得．故答案为：6；②当在的内部时，∵，∴，解得；当在的外部时，∵，∴，解得，综上，t为或20时，12．已知，从的顶点引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点逆时针旋转形成．

(1)如图1，若，比较和的大小，并说明理由；(2)作射线，射线为的平分线，设．①如图2，当，若射线恰好平分，求的度数；②当时，请探究与之间的数量关系．【解析】（1）解：，理由如下：，，，又，，；（2）①恰好平分，，，为的平分线，，，，，，；②分情况讨论：当时，

，，为的平分线，，，；当时，

，，为的平分线，，，；综上所述，．13．已知，，平分，平分．

(1)如图1，当，重合时，求的值；(2)如图2，当从图1所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，求当旋转多少秒时，．【解析】（1）解：因为平分，平分，所以，．所以；（2）解：的值是定值．根据题意，得：，则，．因为平分，平分，所以，，所以；（3）解：根据题意，得，所以，解得，所以当旋转时，．14．如图1，已知绕点在的内部转动，平分，平分．

(1)如图2，当与重合时，求的度数；(2)请判断的大小是否随的位置的变化发生改变？并说明理由；(3)当时，求的度数．【解析】（1）解：如图所示，，与OA重合，，平分，

，平分，，∵平分，，．（2）解：不会随的运动而改变大小，理由如下：平分，，平分，，，不会随的运动而改变大小．（3）解：∵，由（2）可知，，，或，，或，解得或，或，∴的度数为或．15．将一副三角板如图1放置（，，，），在、（、）内作射线、，且，，将三角板绕着点顺时针旋转．(1)如图1，当点、A、在一条直线上时，______；(2)如图2，若旋转角为（），的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．(3)如图3，当三角板旋转到内部时，求的值．【解析】（1）解：∵点、A、在一条直线上，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：；（2）解：的度数不发生改变，且；∵旋转角为，∴，，∵，，∴，，∴；（3）解：当三角板旋转到内部时，，，∵，，∴，，∴，∴．16．熟悉又陌生的三角尺．

(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，．①若，则______；若，则_______；②猜想与的数量关系并验证．(2)如图2，这是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的数量关系为_______；(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的数量关系．【解析】（1）①∵∴∵∴∵∴∵∴故答案为：，；②猜想得（或与互补），理由：∵∴∴；故答案为：（2），理由如下：由于，故；故答案为：（3），理由：∵∴，即，∴．故答案为：17．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（

）A．整个运动过程中，不存在的情况B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒C．当t值为36秒时，射线恰好平分D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒【答案】C【解析】由题意知，；当时，；当时，；令，即，解得秒，∴存在的情况；故A错误，不符合题意；令，即，解得秒，令，即，解得秒，∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；故B、D错误，不符合题意；当时，，∴，∵，∴射线恰好平分，故C正确，符合题意.故选C．18．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线．(1)如图1，若，则；(2)如图2，若，，是的两条三分线，且．①；②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为．【解析】（1），，，故答案为：；（2）①如图2，是的一条三分线，且，，，；故答案为：；②分两种情况：如图，当是的三分线，且时，，，，；当是的三分线，且时，，，.综上所述，或．19．已知，是内部的一条射线，且．

(1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数；(2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数；(3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒．①直接写出和的数量关系；②若，当时，求t的值．【解析】（1）解：∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：①∵，∴，∴，由题意得：，∴，，∴；②由①知，，∵，∴，∵，，∴，把代入得：，解得，∴若，当时，．20．在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，为直尺的一条边，四边形为一正方形纸板（、、、均为直角）.(1)【操作发现】如图①，小组成员小方把正方形的一条边与重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了的平分线，交正方形的边于点．则此时的度数为______；与的度数之间的关系为______．(2)【问题探究】受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图②放置，若此时记的度数为，其他条件不变，请帮小丽同学探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．(3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图③放置，刘老师同样做出了的平分线，请直接写出与的度数之间的关系．【解析】（1）解：如图，四边形为正方形，，，平分，，；故答案为：，；（2）解：与的度数之间的关系没有发生改变．理由如下：如图，，，平分，，，即；（3）解：如图，的平分线为，，，，，．21．综合与实践【问题发现】在数学探究课上，王老师带领同学们结束角平分线的探究后，安排同学们自主探究角的三等分线．小明进行了如下探究，如图①，若射线，是的三等分线，则称更靠近边的射线是射线的“友好线”，靠近边的射线是射线的“友好线”．(1)如图②，，射线是射线的友好线，求的度数．(2)【问题探究】如图③，，射线与射线重合并绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，与射线重合时停止．问旋转几秒后，是的“友好线”．(3)【问题拓展】如图④，，射线，分别与射线，重合，射线绕点O以每秒的速度逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，是否存在某一刻恰好是的“友好线”，若存在，求出时间t；若不存在，请说明理由．【解析】（1）解：∵，∴当射线是射线的“友好线”时，．（2）解：∵，∴当是的“友好线”时，，∴，∴旋转时