北师大版必修一课后作业第二章　函数22（二）-23

2．2函数的表示法(二)2．3映射学习目标1.会用解析法及图像法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念．知识点一分段函数思考设集合A＝R，B＝[0，＋∞)．对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对是不是函数？答案是函数．因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应．梳理(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像．知识点二映射思考设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长．这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？答案因为A不是非空数集，故该对应不是函数．但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”．梳理映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.函数一定是映射，映射不一定是函数．类型一建立分段函数模型例1如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2eq\r(2)cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图像．解过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2eq\r(2)cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝eq\f(1,2)x2；(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝eq\f(1,2)×2×2＋2(x－2)＝2x－2；(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2)(7＋3)×2－eq\f(1,2)(7－x)2＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].))图像如图所示：反思与感悟当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画．跟踪训练1某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．解设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．由题意得函数的解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10，,4，10<x≤15，,5，15<x≤20.))函数图像如图所示：类型二研究分段函数的性质eq\x(命题角度1给x求y)例2已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))试求f(－5)，f(－eq\r(3))，f(f(－eq\f(5,2)))的值．解∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.∵－eq\r(3)∈(－2,2)，∴f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3)，∵－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，∴f(－eq\f(5,2))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)∈(－2,2)，∴f(f(－eq\f(5,2)))＝f(－eq\f(3,2))＝(－eq\f(3,2))2＋2(－eq\f(3,2))＝－eq\f(3,4).引申探究例2中f(x)解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围．解当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；当－2<x<2时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∈[－1,8)；当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；∴x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．反思与感悟分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．跟踪训练2已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数f(x)的图像．解(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.(2)f(x)的图像如下：eq\x(命题角度2给y求x)例3已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤2，,x2＋2，x>2.))(1)若f(x0)＝8，求x0的值；(2)解不等式f(x)>8.解(1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；当x0>2时，由xeq\o\al(2,0)＋2＝8，得x0＝eq\r(6)或x0＝－eq\r(6)(舍去)，故x0＝eq\r(6).(2)f(x)>8等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,2x>8，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,x2＋2>8，))②解①，x∈∅，解②得x>eq\r(6)，综合①②，f(x)>8的解集为{x|x>eq\r(6)}．反思与感悟已知函数值求x取值的步骤(1)先对x的取值范围分类讨论．(2)然后代入到不同的解析式中．(3)通过解方程求出x的解．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．跟踪训练3已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))(1)画出f(x)的图像；(2)若f(x)≥eq\f(1,4)，求x的取值范围；(3)求f(x)的值域．解(1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示．(2)由于f(±eq\f(1,2))＝eq\f(1,4)，结合此函数图像可知，使f(x)≥eq\f(1,4)的x的取值范围是(－∞，－eq\f(1,2)]∪[eq\f(1,2)，＋∞)．(3)由图像知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1.所以f(x)的值域为[0,1]．类型三映射的概念例4以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．反思与感悟映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪训练4设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是()A．f：x→y＝x2B．f：x→y＝3x－2C．f：x→y＝－x＋4D．f：x→y＝4－x2答案D解析对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射．1．如图中所示的对应：其中构成映射的个数为()A．3 B．4C．5 D．6答案A2．f(x)的图像如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2，1<x<2,3，x>2))B．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x<1,2，1<x<2,3，x≥2))C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2，1<x≤2,3，x>2))D．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2，1<x<2,3，x≥2))答案D3．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,1，x＝0，,－1，x<0，))则f(f(0))等于()A．1B．0C．2D．－1答案C4．已知函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x，x>0，))则使函数值为5的x的值是()A．－2或2B．2或－eq\f(5,2)C．－2D．2或－2或－eq\f(5,2)答案C5．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则f(g(π))的值为()A．1 B．0C．－1 D．π答案B1．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．2．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个非空的集合；而函数y＝f(x)，x∈A，A为非空的数集，其值域也是数集．于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．课时作业一、选择题1．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x≤0，,x2，x>0，))若f(α)＝4，则实数α等于()A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2答案B解析当α≤0时，由f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.2．已知函数f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝0，,nfn－1，n∈N*，))则f(5)的值是()A．4B．48C．240D．1440答案C解析因为f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝0，,nfn－1，n∈N*，))所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C.3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的值域是()A．R B．[0，＋∞)C．[0,3] D．{x|0≤x≤2或x＝3}答案D解析值域为[0,2]∪{3,2}＝{x|0≤x≤2或x＝3}．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x∈[－1，1]，,x，xD∈/[－1，1]，))若f(f(x))＝2，则x的取值范围是()A．∅B．[－1,1]C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．{2}∪[－1,1]答案D解析若x∈[－1,1]，则f(x)＝2，f(f(x))＝f(2)＝2，符合题意；若x>1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，此时只有x＝2符合题意；若x<－1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，但因为x<－1，此时没有x符合题意．综上，选D.5．若集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为()A．5 B．6C．8 D．9答案C解析用树状图写出所有的映射为：a→deq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b→d\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c→d，,c→e，)),b→e\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c→d，,c→e，))))a→eeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b→d\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c→d，,c→e，)),b→e\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c→d，,c→e，))))共8个．6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米答案A解析该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．二、填空题7．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的定义域是________．答案[0，＋∞)解析定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．8．函数f(x)的图像如图，则函数f(x)的解析式为__________________．答案f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))解析当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，代入(1,2)，得k＝2，∴f(x)＝2x.当1<x<2时，f(x)＝2，当x≥2时，f(x)＝3，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2.))9．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,0，x<0，))则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．答案{x|x≤1}解析当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，∴x<0.综上可知x≤1.10．若定义运算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a<b，))则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．答案(－∞，1]解析由题意知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,x，x<1.))画出图像为由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．三、解答题11．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0，))若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求关于x的方程f(x)＝x的解．解∵x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，∴f(－2)＝(－2)2－2b＋c，f(0)＝c，f(－1)＝(－1)2－b＋c.∵f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－22－2b＋c＝c，,－12－b＋c＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝－2.))则f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－2，x≤0，,2，x>0，))当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，得x＝－2或x＝1.由于x＝1>0，故舍去．当x>0时，由f(x)＝x得x＝2，∴方程f(x)＝x的解为－2,2.12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x<－1，,2，－1≤x≤1，,2x，x>1.))(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(4.5)，feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))；(2)若f(a)＝6，求a的值．解(1)∵－eq\f(3,2)∈(－∞，－1)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝3.∵eq\f(1,2)∈[－1,1]，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2.又2∈(1，＋∞)，∴feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(2)＝2×2＝4.∵4.5∈(1，＋∞)，∴f(4.5)＝2×4.5＝9.(2)经观察可知a∉[－1,1]，否则f(a)＝2.若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．∴a的值为－3或3.13．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)>0；(3)若直线y＝a与f(x)的图像无交点，求实数a的取值范围．解若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；若－1<x≤3，则x－3≤0，x＋1>0，f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；若x>3，则x－3>0，x＋1>0，f(x)＝(