北京市海淀区2021-2022学年八年级上册数学期末试卷（解析版）

【专项突破】北京市海淀区2021-2022学年八年级上册数学期末试卷

（解析版）

一、选一选（本大题共30分，每小题3分）

1.低碳环保理念深入人心，共享单车己成为出行新方式•下列共享单车图标（没有考虑外围方

框），是轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义判断.

【详解】A是轴对称图形，故符合题意；B没有是轴对称图形，故没有符合题意；C没有是轴

对称图形，故没有符合题意；D没有是轴对称图形，故没有符合题意，

故选A.

【点睛】本题考查判断轴对称图形，关键是找到对称轴.

2.下列计算正确的是（）

A.a3+a2=a5B.a}-a2=a5C.（t/2）3=abD.

-ra2=a4

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项：a2、/没有是同类项，故没有能合并；

B选项：同底数哥相乘，底数没有变，指数相加；

C选项：幕的乘方，底数没有变，指数相乘；

D选项：同底数癌相除，底数没有变，指数相减；

【详解】A选项：a\"没有是同类项，没有能合并，故是错误的;

B选项：a2-a3=a5故是正确的;

C选项：（°3丫=。6,故是正确的；

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D选项：故是错误的；

故选BC.

【点睛】考查了同底数嘉的乘、除法和嘉的乘方的运算，解题关键是牢记运算法则：①同底数

幕相乘，底数没有变，指数相加；②呆的乘方，底数没有变，指数相乘；③同底数鼎相除，底

数没有变，指数相减.

3.叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DM4最先发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米.其

中，0.00005用科学记数法表示为（）

A.0.5xl04B.5xl04C.5xl05D.50x103

【答案】C

【解析】

【详解】值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为"101与较大数的科学记

数法没有同的是其所使用的是负指数黑，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数

所决定，

0.00005=5x10-5,

故选：C.

4.若分式竺1的值等于0,则。的值为（）

a

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】

【详解】由题意得：@+1=0且2#0,解得：a=-l,

故选A.

【点睛】本题考查了分式值为。的条件，解题的关键是要熟记分式值为0时，分子为0且分母

没有为0.

5.如图，点。、E在A/BC的边8c上，△ABDqAACE,下列结论没有一定成立的是（）

A.AC=CDB.BE=CDC.NADE=NAEDD.

NBAE=NCAD

【答案】A

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【解析】

【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等逐一判断即可.

【详解】VAABD^AACE,

，BD=CE,

ABE=CD,

故B成立，没有符合题意；

ZADB=ZAEC,

.*.ZADE=ZAED,

故C成立，没有符合题意；

ZBAD=ZCAE,

ZBAE=ZCAD,

故D成立，没有符合题意；

AC没有一定等于CD,

故A没有成立，符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题

的关键.

6.己知等腰三角形的一个角为70。，则底角为（）

A.70°B.40°C.70。或55。D.40°或70°

【答案】C

【解析】

【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.

【详解】解：①当这个角是顶角时，底角=（180°-70°）+2=55。；

②当这个角是底角时，另一个底角为70。，因为70。+70。＜180。，符合三角形内角和定理；

故选C.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解题的关键是能够进行

分类讨论.

7.已知/一8x+°可以写成一个完全平方式，则。可为（）

A4B.8C.16D.-16

【答案】C

【解析】

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【详解】；/一8》+4可以写成一个完全平方式，

/•x2-8x+a=（x-4）%

又（x-4）2=x2-8x+16,

:.a=16,

故选C.

8.在平面直角坐标系xOy中，以原点0为圆心，任意长为半径作弧，分别交x轴的负半轴和y

轴的正半轴于A点，B点.分别以点A,点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于P点.若

点P的坐标为（a,b）,则（）

A.a=2bB.2a=hC.a=bD.a=­h

【答案】D

【解析】

【详解】根据题意可知OP是第二象限坐标轴夹角的平分线，所以a=-b,

故选D.

9.若Q+6=3,则/一人的值为()

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

【详解】・・・。+6=3,

a2-b2-\-6b

=(a+b)(a-b)+6b

=3(a-/?)+6b

=3a-3b+6b

=3a+3b

=3(a+b)

=9.

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故选c

10.某小区有一块边长为a的正方形场地，修建两条宽为b的绿化带.一如图甲所示，绿化带面

1331

A.0<■k<•-B.—<k<2C.1<左<一D,一<左<1

2222

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可求S甲=2ab・b2,S乙=2ab,代入可求k的取值范围.

【详解】•・・S甲=2ab-b2,S乙=2ab.

.S甲2ab-b2.b

/.k=—=-----------=1------

S乙2ab2a

Va>b>0

Aj<k<l

故选D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，能用代数式正确表示阴影部分面积是本题的关键.

二、填空题（本大题共24分，每小题3分）

11.如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,ZD=40",则NB+NC为.

【答案】230°

【解析】

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【分析】

【详解】•.•NA+NB+NC+ND=(4-2)X180°=360°,ZA=90°,ZD=40°,AZB+ZC=3600-90O-40°=230°,

故答案为230。.

【点睛】本题考查了四边形的内角和，熟记四边形的内角和是360度是解题的关键.

12.已知点P(3,-1)关于y轴的对称点Q的坐标是.

【答案】(-3,-1)

【解析】

【分析】根据关于y轴对称的点的坐标为，纵坐标没有变，横坐标互为相反数即可解答.

【详解】解：,••点Q与点P(3,-1)关于y轴对称，

.♦.Q(-3,-1).

故答案为(-3,-I).

【点睛】本题主要考查关于对称轴对称的点的坐标特征，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.

13.已知分式满足条件“只含有字母x,且当x=l时无意义”，请写出一个这样的分式：.

【答案】工

X—I

【解析】

【详解】由分式满足条件“只含有字母X,且当X=1时无意义”，可知分式的分母中含有因式

X-1,

所以这样的分式可以是——(答案没有)，

X-1

故答案为一［.

X—1

14.已知△ABC中，AB=2,ZC=40°,请你添加一个适当的条件，使△ABC的形状和大小都是确

定的.你添加的条件是.

【答案】NN=60。(答案没有)

【解析】

【详解】已知一边和这条边的对角，要想确定的三角形，可以再添加一个角，根据AAS或ASA

即可确定三角形，如添加：ZA=60°,

故答案为答案没有，如：N4=60°.

15.某地过后，小娜同学用下面的方法检测教室的房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边

中点。处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳

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三角尺的直角顶点，由此得出房梁是水平的即挂铅锤的线绳与房梁直），用到的数学原理是

【答案】等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合

【解析】

【分析】根据A/BC是个等腰三角形可得ZC=8C,再根据点。是的中点，即可得出OCUB,

然后即可得出结论.

【详解】解：•••△48C是个等腰三角形，

：.AC=BC,

点。是48的中点，

：.AO=BO,

：.OCLAB.

故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合.

【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从

数学走向生活的指导思想,从而达到学以致用的目的.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，4DEF可以看作是AABC若干次的图形变化（轴对称、平

移）得到的，写出一种由aABC得到4DEF的过程：.

【答案】答案没有，如：将△力旗关于y轴对称，再将三角形向上平移3个单位长度

【解析】

【详解】将aABC关于y轴对称，再将三角形向上平移3个单位长度得到ADEF；

或：将AABC向上平移3个单位长度，再关于y轴对称得到ADEF,

故答案为答案没有，如：将4ABC关于y轴对称，再将三角形向上平移3个单位长度得到ADEF.

17.如图.在A48。中，45=4,4C=6,NNBC和N4C8的平分线交于。点，过点。作

8c的平行线交于加点，交AC于点、N,则A4W的周长为.

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A

【答案】io

【解析】

【分析】利用角平分线及平行线性质，等腰三角形的判定得到“8=〃。，NC=NO,将三角形

/AW周长转化，求出即可.

【详解】解：•••8。为N48C的平分线，C。为乙4。的平分线，

NABO=ZCBO,ZACO=ZBCO,

■:MN//BC,

:.NMOB=NOBC,4N0C=4BC0,

：.NABO=ZMOB,ZNOC=AACO,

：.MB=MO,NC=NO,

：.MN=MO+NO=MB+NC,

"：AB=4,AC=6,

：.△ZA/N周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC^10,

故答案为10

【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和平

行线的性质是解题的关键.

18.已知一张三角形纸片/BC（如图甲），其中N4BC=NC.将纸片沿过点8的直线折叠，使点

C落到48边上的E点处，折痕为8。（如图乙）.再将纸片沿过点E的直线折叠，点/恰好与

点。重合，折痕为EF（如图丙）.原三角形纸片Z8C中，NX8C的大小为°.

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【答案】72°.

【解析】

【分析】根据题意设NZ为x,再根据翻折性质得到NC=N8ED=2x,再根据得出

NABC=NC=2x,然后根据三角形内角和列出方程2x+2x+x=180。，解方程即可.

【详解】解：设乙4为X,

则翻折点/恰好与点D重合，折痕为EF由对应角相等可得/ED4=N4=x,

由NBE。是△/£1£）的外角可得/BEQ=NEZM+N/=2x,

则翻折点C落到月8边上的E点处，折痕为8。由对应角相等可得NC=N8E£>=2x,

"：AB=AC,

N4BC=NC=2x,

在。中，ZABC+ZC+ZA=2x+2x+x=180°,

ZABC=2x=72°.

故答案为72。.

甲乙丙

【点睛】本题主要考查折叠性质，三角形外角性质.三角形内角和定理和等腰三角形的性质，

解一元方程，掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质，折叠性质，解一元方程，三角形外

角性质是解题关键.

三、解答题（本大题共17分，第19题8分，第20题4分，第21题5分）

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19.计算：(1)|-4|-A/9+3-2-(-2O18)0；

(2)(15x2y-1Oxy2)+5xy.

【答案】(1)|(2)3x-2y

【解析】

【详解】试题分析：(1)先分别计算值、算术平方根、负指数累、0次幕，然后再按运算顺序

进行计算即可；

(2)先将被除式因式分解，再将除式利用除法法则进行颠倒，然后再相乘即可.

试题解析：(1)原式=4一3+工一1='；

99

(2)原式二(15%》—10肛2_=5xy^x—2yy~—=3x—2y.

20.如图，A,B,C,。是同一条直线上的点，AC=BD,AE//DF,Zl=Z2.求证:

BE=CF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据等式的性质得出48=QC,再利用4"证明A4BE二AOCF.

【详解】证明：•・,力C=/8+8C,BD=BC+CD,AC=BD,

AB—DC,

vAEIIDF,

NA=/D,

在"BE和AZ)。77中,

Z=/D

<AB=DC,

Z1=Z2

\ABE=\DCF,

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BE=CF.

【点睛】考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，利用全等三角形的判定定理

证出\ABE=\DCF是解题的关键.

【答案】x=43

2

【解析】

【详解】试题分析:两边都乘最简公分母x(x-2),没有要漏乘左边没有分母的项，把分式方程

化为整式方程，求出x的值，然后检验.

解：方程两边乘x(x-2),得

x~——2)=3.

3

解得X=一.

2

3

检验：当x=z时，x(x-2)#0.

3

...原分式方程的解为》=—.

2

点睛：本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为

整式方程求解，解分式方程一定要注意验根.

四、解答题(本大题共15分，每小题5分)

22.先化简，再求值：(加++竺±)十竺其中a=3.

mm~

【答案】m2+2m；15

【解析】

【详解】试题分析：括号内先通分进行加减运算，然后再进行除法运算，代入数值进行计算即

可.

匚rs-u〃J+4〃？+4m+2m2+4m+4m2(m+2Ym2

试题解析：原式=----------+一—=------------------=------L——--=〃/+2加，

mm~mm+2)nm+2

当〃z=3时，原式=15.

23.如图，A,B分别为CD,CE的中点，AE_LCD于点A,BD_LCE于点B.求/AEC的度数.

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■E

D

【答案】30°

【解析】

【分析】试题分析：连接。E,由Z,8分别为8,CE的中点，4EJLCD于点4,BDLCE于

点B可证明得到△(7£)£为等边三角形，再利用直角三角形两锐角互余即可得.

【详解】试题解析：连接。E,

'：A,8分别为CD,CE的中点，

AELCD于点A,BDLCE于点、B,

：.CD=CE=DE,

.♦.△CDE为等边三角形，

-60°,

：.N4EC=90°-ZC=30°.

24.列方程解应用题：

中华传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因.为传

承传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》

连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套

数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格.

【答案】每套《水浒传》连环画的价格为120元

【解析】

【分析】设每套《水浒传》连环画的价格为x元，则每套《三国演义》连环画的价格为(x+60)

元，根据等量关系“用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连

环画套数的2倍”列方程进行求解即可得.

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【详解】设每套《水浒传》连环画的价格为X元，则每套《三国演义》连环画的价格为(X+60)

元，由题意，

团4800、3600

得-----=2,----,

xx+60

解得x=120,

经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，

答：每套《水浒传》连环画的价格为120元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到题中的等量关系是解题的关键，注意解完方程后要

进行检验.

五、解答题(本大题共14分，第25、26题各7分)

25.阅读材料

小明遇到这样一个问题：求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多项式的项系数.

小明想通过计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他

想探寻一下，是否有相对简洁的方法.

他决定从简单情况开始，先找(x+2)(2x+3)所得多项式中的项系数.通过观察发现：

(x+2)(2x4-3)=2x2+3x+4x+6

也就是说，只需用x+2中的项系数1乘以2x+3中的常数项3,再用x+2中的常数项2乘以2x+3

中的项系数2,两个积相加1X3+2X2=7,即可得到项系数.

延续上面的方法，求计算(x+2)(2x+3)(3x+4)所得多项式的项系数.可以先用x+2的项系

数1,2x+3的常数项3,3x+4的常数项4,相乘得到12；再用2x+3的项系数2,x+2的常数项

2,3x+4的常数项4,相乘得到16；然后用3x+4的项系数3,x+2的常数项2,2x+3的常数项

3,相乘得到18.将12,16,18相加,得到的项系数为46.

参考小明思考问题的方法，解决下列问题：

(1)计算(2x+l)(3x+2)所得多项式的项系数为.

(2)计算(x+1)(3x+2)(4x-3)所得多项式的项系数为.

(3)若计算(x?+x+l)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式的项系数为0,则a=.

(4)若X?-3x+l是x4+ax2+bx+2的一个因式，则2a+b的值为.

【答案】(1)7(2)-7(3)-3(4)-15

【解析】

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【详解】试题分析：⑴用2x+l中的项系数2乘以3x+2中的常数项2得4,用2x+l中的常数

项1乘以3x+2中的项系数3得3,4+3=7即为积中项的系数；

(2)用x+1中的项系数1,3x+2中的常数项2,4x-3中的常数项-3相乘得-6,用x+1中的常数

项1,3x+2中的项系数3,4x-3中的常数项-3相乘得-9,用x+1中的常数项1,3x+2中的常数

项2,4x-3中的项系数4相乘得8,-6-9+8=-7即为积中项系数;

(3)用每一个因式中的项系数与另两个因式中的常数项相乘，再把所得的积相加，列方程、解

方程即可得；

(4)设/+改2+笈+2可以分成(X2-3X+1)(x2+kx+2),根据小明的算法则有k-3=0,

a=-3k+2+l,b=-3X2+k,解方程即可得.

试题解析：(1)2X2+1X3=7,

故答案为7；

(2)1X2X(-3)+3X1X(-3)+4XlX2=-7,

故答案为-7；

(3)由题意得：lXaX(-l)+(-3)XlX(-l)+2XlXa=0,解得：a=-3,

故答案为-3；

(4)设/+〃匠2+6x+2可以分成(x2-3x+l)(x2+kx+2),

则有k-3=0,a=-3k+2+l,b=-3X2+k,

解得：k=3,a=-6,b=-3,

所以2a+b=-l5,

故答案为-15.

b=3-6=-3

26.如图，CN是等边A/BC的外角N4C朋■内部的一条射线，点力关于CM的对称点为。，连

接力D,BD,CD,其中8。分别交射线CW于点E,P.

(1)依题意补全图形;

(2)若NACN=a,直接写出N8DC的大小(用含c的式子表示);

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（3）用等式表示线段尸8,PC与PE之间的数量关系，并证明.（第（2）问中的结论可以直接

使用）

【答案】（1）作图见解析；（2）60°-«;（3）PB=PC+2PE,证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意作图即可；

（2）根据等边三角形的性质求解即可；

（3）在P8上截取尸产使=连接CF,证明ACP尸是等边三角形，在证明

/\BFC三4DPC即可得解；

【详解】（1）根据题意作图如下：

(2):点/与点。关于CN对称，

:.CN是AD的垂直平分线，

CA—CD，

■:ZACN=a,

ZACD=2ZACN=2a,

,/△NBC是等边三角形，

CA=CB=CD,4c8=60°,

NBCD=ZACB+NACD=60°+2a,

NBDC=NDBC=1(180°-/BCD)=60。-a；

故答案是：60°-a；

(3)PB=PC+2PE,证明过程如下：

在P8上截取PF使PE=PC,连接CF,

第15页/总18页

AN

VCA=CD,ZACD=2a，

：.ZCDA=ZCAD=90。一a,

VZ5Z）C=60°-a,

NPDE=Z.CDA-NBDC=30°,

PD=2PE,

•：NCPF=ZDPE=90°-ZPDE=60°,

...ACPb是等边三角形，

:.NCPF=NCFP=60°,

：.NBFC=NDPC=120。,

...在△8RC和△。尸。中，

'NCFB=NCPD

<NCBF=NCDP,

CB=CD

4BFC三ADPC，

；•BF=PD=2PE,

PB=PF+BF=PC+2PE.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，轴对称作图，等边三角形的判定与性质，

准确分析证明是解题的关键.

附加题：（本题10分，可计入总分，但全卷总分没有超过100分）

27.对于0,1以及真分数p,q,r,若p<q<r,我们称q为p和r的中间分数.为了帮助我们找

中间分数，制作了下表：

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0111II231432334s61

⑦f51,31I亍，亍M1571ZIf

・••••••♦••IB.———•••——w*«W»•M*«MM«

两个没有等的正分数有无数多个中间分数.例如：上表中第③行中的3个分数;、/、彳，有

33

-<-<-.所以;为，和刍的一个中间分数，在表中还可以找到《和目的中间分数2,

3232333357

一4，一3.把这个表一直写下去，可以找到一1和彳2更多的中间分数.

7533

（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：

①上表中括号内应填的数为：

②如果把上面的表一直写下去，那么表中个出现的不和:的中间分数是:

Z7CClC

（2）写出分数一和上（a、b、c、d均为正整数，一<上，c<d）的一个中间分数（用含a、

bdbd,'

b、c、d的式子表示），并证明；

（3）若三与乙（m、n、s、t均为正整数）都是2和§的中间分数，则相〃的最小值

mn1715

为.

25

【答案】（1）①