福建省莆田市第一中学高三下学期5月模拟考试数学试题（原卷版）

莆田一中2024届高三模拟卷试卷数学试题本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．1.已知是虚数单位，a，，，则复数的模为（）A.5 B. C.2 D.42.已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（）A.2 B.3 C.4 D.93.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.4.已知，若，则（）A. B. C. D.5.抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（）．A. B. C.4 D.56.生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体，其中四边形与都为等腰梯形，为平行四边形，若面，且，记三棱锥的体积为，则该五面体的体积为（）A B. C. D.7.已知，，则（）．A. B. C. D.8.双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M、N两点．若且，则双曲线的离心率为（）．A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题得目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．9.已知一组正实数样本数据，满足，则（）．A.样本数据的第80百分位数为B.去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C.若样本数据频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数D.将组中的每个数据变为原来的2倍，则所得的新样本数据组的方差变为原数据组方差的2倍10.如图，在正方体中，P为棱上的动点，平面，Q为垂足，则（）．A.B.平面截正方体所得的截面可能为三角形C.当P位于中点时三棱锥的外接球半径最大D.线段的长度随线段的长度增大而增大11.已知，分别是函数和零点，则（）A. B. C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，集合，若，则实数____.13.从甲、乙、丙三位同学中挑选若干人担任四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有__________种．14.已知函数，如图，A，B，C是曲线与坐标轴的三个交点，直线BC交曲线于点M，若直线AM，BM的斜率分别为，3，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线；（2）讨论的单调性；16.已知正项数列的前项和为，且，．（1）求；（2）在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．17.如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点.（1）求证：平面平面；（2）当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离.18.已知椭圆的离心率为，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，为左焦点，且的面积为．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N．（1）求椭圆M标准方程；（2）求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN和直线QC的斜率）．19.设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：