突破02方程（组）不等式函数等代数应用题（教师版）

重难点突破突破02方程（组）、不等式、函数等代数应用题目录一览中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一购买、分配类问题►考向二工程、行程类问题►考向三销售、利润类问题►考向四最优方案问题►考向五图形面积问题代数应用题以实际问题为背景，一般为生活中常见的分析决策问题.该题型借鉴PISA理念，考查数学抽象和数学建模以及阅读能力，学会把实际问题变成数学问题，用数学符号建立方程（组）、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系，并设计出适当的解决问题的方案，培养应用意识和模型思想，提高解决实际问题的能力.►考向一购买、分配类问题1．（2023·淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：购票人数（人）每人门票价（元）605040*题中的团队人数均不少于10人现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？【答案】（1）解：设甲团队有人，则乙团队有人，依题意得，，解得，，∴（人），∴甲团队有48人，乙团队有54人；（2）解：设甲团队有人，则乙团队有人，依题意得，，解得，，∴甲团队最少18人．【思路点拨】（1）设甲团队有人，则乙团队有人，根据两个团队分别购票，一共应付5580元，即可得出方程，，解方程即可得出答案；

（2）设甲团队有人，则乙团队有人，根据两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，可列出不等式：，解不等式，即可得出不等式的解集，再求出a的最小整数即可。2．（2023·雅安）李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：品名甲蔬菜乙蔬菜批发价/（元/kg）零售价/（元/kg）（1）若他批发甲、乙两种蔬菜共花元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式；（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？【答案】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜，由题意得：，解得：，乙蔬菜，答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜，（2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，由题意得：，答：m与n的函数关系为：，（3）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，由题意得，解得，答：至少批发甲种蔬菜．【思路点拨】（1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，根据表格数据即可列出一元一次方程，进而即可求解；

（2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，根据题意即可得到m与n的关系式；

（3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，根据题意列出不等式，进而即可得到n的取值范围，再结合题意即可求解。3．（2023·湘潭）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？【答案】（1）解：因每件玩具售价为x元，依题意得；（2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，依题意得：，解得，答：该商店继续购进了件航天模型玩具．【思路点拨】（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元，根据“先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件”即可列出y与x的关系式，进而即可求解；

（2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，根据“当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元”即可列出方程，进而即可求解。4．（2023·连云）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：阶梯年用气量销售价格备注第一阶梯（含400）的部分2.67元若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加.第二阶梯（含1200）的部分3.15元第三阶梯以上的部分3.63元（1）一户家庭人口为3人，年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为元；（2）一户家庭人口不超过4人，年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式；（3）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到）【答案】（1）534（2）关于的表达式为（3）甲户该年的用气量达到了第三阶梯.由（2）知，当时，，解得.又，且，乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯.设乙户年用气量为.则有，解得，.答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气.【规范解答】解：（1）∵人口3人＜4人，年用气量200m3＜400m3，

∴该年此户需缴纳燃气费用为2.67×200=534（元）.

故答案是：534.

【思路点拨】（1）根据人口数和年用气量可以判断，按第一阶梯的费用计算方法计算即可.

（2）因为年用气量x大于1200m3，故需要计算0~400m3，400m3~1200m3，超过1200m3这三个部分的的费用，再相加即可求出y关于x的函数表达式.

（3）先判断甲、乙两户的用气量到达哪个阶段，再根据不同的收费标准求出相应的用气量，最后再比较.5．（2023·益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【规范解答】解：设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，由题意得，

故答案为：A

【思路点拨】设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据“用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。6．（2023·日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）；（2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个；故解得：，故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，（3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，故总成本为（元）；∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，即，解得：，故的取值范围为；设利润为，则，整理得：，∵，故随的增大而增大，故当时，有最大值，最大值为，则此时B种木盒的销售单价定为（元），即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．【规范解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，现有200张规格为的木板材，

∴制作A种木盒x个，则制作B种木盒个；使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材张，

故答案为：；；

【思路点拨】（1）直接根据“要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，现有200张规格为的木板材”即可求解。

（2）先根据题意得到使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，则制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个，进而列出二元一次方程组即可求解；

（3）先根据题意计算出总成本，进而即可得到不等式组，即可求出a的取值范围，设利润为，则，再根据一次函数的性质结合题意即可求解。7．（2023·青岛）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：进价（元/件）4560售价（元/件）6690（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．①请求出W与m的函数关系式；②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．【答案】（1）解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为：，解得，全部售完获利（元）．（2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即，，②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：由①可知，，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值，（元），，服装店第二次获利不能超过第一次获利．【思路点拨】(1)设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，购进A，B两种T恤衫共120件，可得方程：x+y=120①，根据服装店购进货物总金额为6000元，可列方程：45x+60y=6000②，联立①②即可得出方程组，解方程组求得解后，再根据利润计算公式，求得总利润即可；

（2）①根据题意，可得，整理即可得出答案；

②首先根据二次函数最大值，求得服装店第二次获利的最大利润，然后与（1）进行比较大小，即可得出答案。8．（2023·娄底）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．（1）求每棵甲、乙树苗的价格．（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？【答案】（1）解：设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由题意可得：，解得：，答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；（2）解：设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，∴，解得：，∴的最小整数解为100．答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．【思路点拨】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，根据“已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；

（2）设乙种树苗种植数量为m棵，则甲种树苗数量为棵，结合题意即可列出不等式，进而即可得到m的取值范围，从而即可求解。9．（2023·广安）“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元．（1）种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？（2）若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】（1）解：设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，由题意得：，解得，答：种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元．（2）解：设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，，解得，又为正整数，所有可能的取值为18，19，20，①当，时，购买总费用为（元），②当，时，购买总费用为（元），③当，时，购买总费用为（元），所以购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元．【思路点拨】（1）设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，根据“购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；

（2）设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，根据“种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍”即可列出不等式组，进而即可求出m的取值范围，再根据题意即可列出方案。10．（2023·丹东）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售当每千克售价为元时，每天售出大米；当每千克售价为元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价元满足一次函数关系．（1）请直接写出与的函数关系式；（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到元？（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？【答案】（1）解：根据题意设y=kx+b，当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则5k解得：k=-50则y与x的函数关系式为；（2）解：定价为x元，每千克利润(x4)元，由(1)知销售量为，则，解得：舍，，超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；（3）解：设利润为W元，根据题意可得：，即，，对称轴为，当时，W随x的增大而增大，又，时，元当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元.【思路点拨】（1）根据题意设y=kx+b，根据每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，列出二元一次方程组，求解可得k、b的值，从而即可得出y关于x的函数解析式；

（2）定价为x元，每千克利润（x4）元，根据每千克的利润×销售数量=总利润，列一元二次方程，解方程即可；

（3）设利润为W，根据每千克的利润×销售数量=总利润可建立出W关于x的函数解析式，根据二次函数的性质即可求出合适的值.11．（2023·黄冈）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．（1）当时，元/；（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？（3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？【答案】（1）500（2）解：当时，，∵，∴抛物线开口向上，∴当时，有最小值，最小值为，当时，，∵，∴随着x的增大而减小，∴当时，有最小值，最小值为，综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；（3）由题意可得，解得（不合题意，舍去），∴当a为时，2025年的总种植成本为元．【规范解答】解：（1）当200≤x≤600时，设y=kx+b，将（200，20）、（600，40）代入可得

解得，

∴y=x+10.

令y=35，得35=x+10，

解得x=500.

故答案为：500.

【思路点拨】（1）当200≤x≤600时，设y=kx+b，将（200，20）、（600，40）代入求出k、b的值，得到对应的函数关系式，然后令y=35，求出x的值即可；

（2）当200≤x≤600时，根据甲种蔬菜种植成本×种植面积+乙的种植成本×面积=总种植成本可得W与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答；当600<x≤700时，同理可得W与x的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答；

（3）根据甲的种植面积×(成本+10)×(110%)2+乙的种植面积×成本×(1a%)2=总种植成本可得关于a的方程，求解即可.12．（2022·东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）解：设乙种水果的进价是x元/千克，由题意得：，解得：，经检验，是分式方程的解且符合题意，则，答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；（2）解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，由题意得：，∵－1＜0，∴y随a的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴，解得：，∴当时，y取最大值，此时，，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【思路点拨】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据题意列出方程，再求解即可；

（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可。13．（2023·广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用元与该水果的质量千克之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用元与该水果的质量千克之间的函数解析式为．（1）求与之间的函数解析式；（2）现计划用元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？【答案】（1）解：当时，设与之间的函数解析式为，把代入解析式得：，解得，；当时，设与之间的函数解析式为，把和代入解析式得，解得，，综上所述，与之间的函数解析式为；（2）解：在甲商店购买：，解得，在甲商店元可以购买千克水果；在乙商店购买：，解得，在乙商店元可以购买千克，

，

在甲商店购买更多一些．【思路点拨】（1）分0≤x≤5时与5＜x≤10时两段分别利用待定系数法求出y1关于x的函数解析式；

（2）将y=600代入（1）中求出的5＜x≤10这段y1关于x的函数解析式算出对应的x的值，再将y=600代入在乙商店购买水果的费用y2关于x的函数解析式，算出对应的x的值，将两个值比较大小即可得出答案.14．（2023·湘西）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元，销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．（1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）解：设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得：，解得：，答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．（2）解：设购进型品牌小电器台由题意得：，解得，答：购进A种品牌小电器数量的取值范围．（3）解：设获利为元，由题意得：，∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元∴解得：∴随的增大而减小，当台时获利最大，最大元，答：型30台，型120台，最大利润是570元．【思路点拨】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程组即可；

（2）根据甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，列不等式组求解即可；

（3）利用利润公式求出，再根据一次函数的性质计算求解即可。►考向二工程、行程类问题15．（2023·淮安）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图象如图所示．（1）请解释图中点的实际意义；（2）求出图中线段所表示的函数表达式；（3）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．【答案】（1）解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km；（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时30min，则点B的横坐标为，此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为，∴设直线的表达式为∴解得：∴直线的表达式为；（3）解：设快车去乙地的速度为千米/小时，则，解得：∴甲乙两地的距离为千米，设快车返回的速度为千米/小时，根据题意，解得：，∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时）【思路点拨】（1）由于横轴表示的是慢车行驶的时间，纵轴表示的是两车之间的距离，总和题干及图象给出的信息可得：点A的实际意义是快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km；

（2）首先根据题意找出点B（3.5，85），进而根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式；

（3）设快车去乙地的速度为a千米/小时，根据3小时时，快车与慢车相距120千米建立方程可求出a的值；进而根据快车3小时从甲地行驶到了乙地，根据路程=速度乘以时间可求出甲乙两地的距离；设快车返回的速度为v千米/小时，根据相向而行相遇问题的等量关系快车与慢车行驶小时的路程等于两车之间的距离建立方程，求解可得v的值，进而根据路程除以速度等于时间可算出两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶到达甲地所用的时间.16．（2023·绥化）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）.A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元.若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人.（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地.下图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象.根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米.

【答案】（1）设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人，由题意得解得答：每辆A型车、B型车坐满后各载客40人、55人.（2）设租用A型车m辆，则租用B型车辆，由题意得解得：∵m取正整数，∴，6，7，8∴共有4种租车方案设总租金为w元，则∵∴w随着m的增大而减小∴时，w最小∴租8辆A型车，2辆B型车最省钱.（3）设，.由题意可知，甲车经过；乙车经过，两点.∴，，即解得或解得所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时，两车相距25千米.【思路点拨】（1）设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人，根据5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人可得5x+2y=310；根据3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人可得3x+4y=340，联立求解即可；

（2）设租用A型车m辆，则租用B型车(10m)辆，根据A的租金×辆数+B的租金×辆数=总租金可得500m+600(10m)≤5500；根据全校420人可得40m+55(10m)≥420，联立求出m的范围，结合m为整数可得m的取值，进而可得租车方案，设总租金为w元，根据A的租金×辆数+B的租金×辆数=总租金可得w与m的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答；

（3）设S甲=kt，S乙=k1t+b，将（4，300）代入S甲中求出k的值，将（0.5，0）、（3.5，300）代入y乙中求出k1、b的值，据此可得对应的函数关系式，然后令y乙y甲=25求出t的值即可.17．（2023·呼和浩特）甲、乙两船从相距的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行时与从地逆流航行的乙船相遇甲、乙两船在静水中的航速均为，则江水的流速为．【答案】6【规范解答】解：设江水的流速为xkm/h，可列方程，解得x=6，经检验x=6是方程的解，所以江水流速为6km/h.故答案为：6.

【思路点拨】设江水的流速为xkm/h，根据“甲船从地顺流航行时与从地逆流航行的乙船相遇”和“甲、乙两船从相距的，两地同时匀速沿江出发相向而行”，可知甲船顺流航行90km的时间与乙船逆流航行（15090）km的时间相同，可列出方程求解.18．（2023·南通）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息—工程队每天施工面积（单位：）每天施工费用（单位：元）甲3600乙x2200信息二甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．（1）求x的值；（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?【答案】（1）解：由题意列方程，得．方程两边乘，得．解得．检验：当时，．所以，原分式方程的解为．答：x的值为600．（2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．则．，．1400>0，随的增大而增大．当时，取得最小值，最小值为56800．答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．【思路点拨】（1）利用表中数据，根据甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.

（1）设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用W元，根据题意可得到W关于a的函数解析式，利用一次函数的性质可求解.19．（2023·武汉）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是．【答案】250【规范解答】解：由题意可知，善行者的函数解析式为s=100t，不善行者的函数解析式为s=60t+100，

解之：

∴点P（2.5，250），

∴点P的纵坐标为250.故答案为：250

【思路点拨】利用函数图象和已知条件，可得到两函数解析式，再将两函数解析式联立方程组，解方程组求出点P的坐标，即可求解.►考向三销售、利润类问题20．（2019·天水）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）解：设与的函数解析式为，将、代入，得：，解得：，所以与的函数解析式为（2）解：根据题意知，，，当时，随的增大而增大，，当时，取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【思路点拨】（1）根据图象可知：与之间的函数关系是一次函数，由（10，30）、（16，24）利用待定系数法，即可求出其函数关系式；

（2）每件的利润为（x10）元，根据总利润等于单件的利润乘以销售数量，即可建立出W与x的函数关系式，根据所得函数的性质即可解决问题。21．（2023·宿迁）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元．（1）求两种商品的销售单价．（2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则，解得，答：的销售单价为元、的销售单价为元；（2）解：种商品售价不低于种商品售价，，解得，即，设利润为，则，，在时能取到最大值，最大值为，当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．【思路点拨】（1）设A的销售单价为x元、B的销售单价为y元，根据售出A种20件，B种10件，销售总额为840元可得20x+10y=840；根据售出A种10件，B种15件，销售总额为660元可得10x+15y=660，联立求解即可；

（2）根据A种商品售价不低于B种商品售价可得30m≥24，求出m的范围，由题意可得A商品可售出(40+10m)件，A商品每件的利润为(30m20)元，B商品可售出(40+10m)件，B商品每件的利润为(2420)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与m的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.22．（2023·湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：销售价格x（元/千克）5040日销售量y（千克）100200（1）试求出y关于x的函数表达式．（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？【答案】（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．将x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分别代入，得：，解得：，∴y关于x的函数表达式是：y＝10x+600．（2）W＝（x30）（10x+600）＝10x2+900x18000．当时，在30≤x＜60的范围内，W取到最大值，最大值是2250．答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．【思路点拨】（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据代入可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到函数解析式.

（2）利用销售利润W=每一千克的利润×销售量，可得到W与x的函数解析式，利用二次函数的性质结合x的取值范围，可求出结果.23．（2023·黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元件设第个生产周期设备的售价为万元件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数当时，；当时，．（1）求，的值；（2）设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且与满足关系式．当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．【答案】（1）把时，；时，代入得：，解得，；（2）设第个生产周期创造的利润为万元，由知，当时，，，，，当时，取得最大值，最大值为，工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；当时，，，则与的函数图象如图所示：由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，则只能为，，，当，时，的取值范围．【思路点拨】(1)将两对x、z的值代入，转化为关于m，n的方程组求解；

（2）由（1）得到用x表示z，根据利润算法，列出函数表达式，利用增减性求最值；

根据得到分段函数，再根据x的取值求得a的范围.24．（2023·哈尔滨）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产，两种不同款式的服装，每套款服装所用布料的米数相同，每套款服装所用布料的米数相同，若套款服装和套款服装需用布料米，套款服装和套款服装需用布料米．（1）求每套款服装和每套款服装需用布料各多少米；（2）该中学需要，两款服装共套，所用布料不超过米，那么该服装厂最少需要生产多少套款服装？【答案】（1）解：每套A款服装用布料a米，每套B款服装需用布料b米，根据题意得，，解得：，答：每套A款服装用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；（2）解：设服装厂需要生产x套B款服装，则生产（100x）套A款服装，根据题意得，，解得：，∵为正整数，∴的最小值为60，答：服装厂需要生产60套B款服装．【思路点拨】（1）每套A款服装用布料a米，每套B款服装需用布料b米，根据1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米列出方程组，求解即可；

（2）设服装厂需要生产x套B款服装，则生产（100x）套A款服装，由生产x套B款服装所用的布料+生产（100x）套A款服装所用布料不超过168米建立不等式，求出其最小整数解即可.25．（2023·抚顺）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，由已知得，解得，因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W，由题意得，，W关于x的二次函数图象开口向上，，且x为整数，当时，W取最大值，最大值为1800，即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．【思路点拨】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，再将x，y的两组对应值分别代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到函数解析式.

（2）利用总利润W=每一件的利润×销售量，可得到W与x的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出结果.►考向四最优方案问题26．（2023·河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．【答案】（1）解：选择活动1时，需花费元选择活动2时，需花费元选择活动1更合算。（2）解：设一件这种健身器材的原价是元根据题意得：解得：答：一件这种健身器材的原价是400元.（3）或.【规范解答】解：（3）当300≤a<600时，有a80<0.8a，

解得a<400，

∴300≤a<400.

当600≤a<900时，有a160<0.8a，

解得a<800，

∴600≤a<800.

综上可得：300≤a<400或600≤a<800.

【思路点拨】（1）选择活动1时，费用为(450×0.8)元；选择活动2时，费用为(45080)元，求出结果，然后进行比较即可判断；

（2）设一件这种健身器材的原价是x元，根据选择活动一和选择活动二的付款金额相等可得0.8x=x80，求解即可；

（3）分300≤a<600、600≤a<900，表示出活动一、二的费用，然后根据选择活动二比选择活动一更合算就可求出a的范围.27．（2023·通州模拟）某学校带领名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用，，三种型号客车去农场，其中，，三种型号客车载客量分别为人、人、人，租金分别为元、元、元为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是元【答案】A、、三种型号客车分别租辆、辆、辆答案不唯一；【规范解答】解：设、、三种型号各车分别租辆、辆、辆，

由题意得，即，

学校同时租用、、三种型号客车去农场，要求每辆车必须满载，

，都是正整数，

满足条件的，，有：

x=1y=3z=2或x=1y=2z=5或x=1y=3z=2或x=2y=1z=4或x=2y=2z=1，

写出一种满足要求的租车方案可以是：、、三种型号客车分别租辆、辆、辆答案不唯一；

租用、、三种型号客车每人的费用分别元、元、元，

而，

若、、三种型号客车分别租辆、辆、辆，

则费用为元；

若、、三种型号客车分别租辆、辆、辆，

则费用为元，

满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是元．

【思路点拨】设、、三种型号各车分别租辆、辆，z辆，由题意列出关系式，求出x，y，z的正整数解，即可求出满足条件的租车方案；求出租用每种型号客车的人均费用，得出“多租型号客车且少租型号客车费用较低”，代入计算即可求出答案。28．（2023·河西模拟）天津农业大学的大学生参加助农活动，帮助果农销售砂糖桔砂糖桔的销售分为线上和线下两种销售方式，具体费用标准如下：线下销售方式：元千克：线上销售方式：质量不超过千克时，每千克元，质量超过千克时，超出部分每千克按五折出售设购买砂糖桔千克，所需费用为元，可知两种销售方式的与之间的函数关系大致如图所示．

（1）根据题意，填写表格：购买砂糖枯千克用线下销售方式购买所需费用元▲▲用线上销售方式购买所需费用元▲▲（2）请直接写出这两种销售方式对应的函数表达式；（3）请问如何选择购买方式更省钱？为什么？【答案】（1）解：线下销售：当时，；

当时，；

线上销售：当时，；

当时，；

故答案为：，；，；（2）解：线下销售时与之间的函数关系式为：；

线上销售时：当时，；

当时，．

与之间的函数关系式为：；（3）解：当时，即当时，线上购买更省钱；

当时，即当时，两种销售方式花费一样；

当时，即当时，线下购买更省钱．【思路点拨】（1）根据题意计算求解填表即可；

（2）分类讨论，求函数解析式即可；

（3）分类讨论，列出不等式或方程计算求解即可。29．（2023·新余模拟）为弘扬学生“为人民服务”的精神，月份我区共青团委举办了“弘扬雷锋精神争做美德少年”主题演讲比赛比赛前购买了，两种装饰品对比赛场地进行了美化已知用元购买种装饰品与用元购买种装饰品的数量相等，且每个种装饰品的价格比种多元．（1）A，B两种装饰品的单价各为多少元？（2）计划购买，两种装饰品共个，其中种装饰品的数量不低于种装饰品的，且不超过种装饰品数量的，请求出共有几种购买方案？【答案】（1）解：设A种装饰品的单价为元，则种装饰品的单价为元，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：种装饰品的单价为元，种装饰品的单价为元；（2）解：设购买A种装饰品个，则购买种装饰品个，由题意得：，解得：，为正整数，，，，共有种购买方案．【思路点拨】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用。找准等量关系，列出方程，和不等式组。

（1）根据“用元购买种装饰品与用元购买种装饰品的数量相等，且每个种装饰品的价格比种多元．”可列出分式方程；

（2）根据A、B共100个，A不低于B的，可列出A、B的数量不等式组，得出A的数量范围，可知购买方案。30．（2023·红花岗模拟）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，某中学组织九年级全体学生前往某研学基地开展研学活动，在此次活动中，若每位老师带队名学生，则还剩名学生没老师带；若每位老师带队名学生，就有一位老师少带名学生学校计划此次研学活动共租辆车，租金总费用不超过元现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：

甲型客车乙型客车载客量人辆租金元辆（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？（2）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【答案】（1）解：设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，

依题意得，

解得：，

答：参加此次研学活动的老师有人，学生有人；（2）解：租车总辆数为辆，

设租甲型客车辆，则乙型客车辆，

依题意得：，

解得：，

为正整数，

，，，，

共有种租车方案．

设租车总费用为元，则，

，

的值随值的增大而增大，

当时，取得最小值，最小值为．

学校共有种租车方案，最少租车费用是元．【思路点拨】（1）设参加此次研学活动的老师有人，学生有人，根据题意列出方程组，解方程组即可求出答案；

（2）设租甲型客车辆，则乙型客车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组求出m的值，根据总费用=代入计算即可求出答案。31．（2023·朝阳模拟）一个人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚元，三人间每晚元说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付元（1）若该旅游团一晚的住宿房费为元，则他们租住了间一人间；（2）若该旅游团租住了间一人间，且共有名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元【答案】（1）1（2）1600【规范解答】(1)设该旅游团租住了间一人间，间三人间，

根据题意得：，

，

又，均为自然数，且，

∴x=1y=11，

他们租住了间一人间．

故答案为：；(2)当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少．

人，间，人，间，间，

租住一晚的住宿房费最少的租住方案为：租住的间一人间里面间住男士，间住女士，另租住间三人间，

此时租住一晚的住宿房费为元，

租住一晚的住宿房费最少为元．

故答案为：．

【思路点拨】（1）设该旅游团租住了间一人间，间三人间，根据题意列出方程，再结合x、y为整数求解即可；

（2）先分别求出所有方案的费用，再比较大小即可.►考向五图形面积问题32．（2019·南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【答案】解：设扩充后广场的长为，宽为.根据题意，得.解得（不合题意，舍去）.所以.答：扩充后广场的长和宽应分别为和【思路点拨】设扩充后广场的长为，宽为，扩建后广场的面积为3x·2x平方米，扩建后的广场铺设地砖费用为3x·2x×100元；扩建部分的面积为（3x·2x50×40）平方米，扩建部分的费用为30（3x·2x50×40）元，根据扩建部分的费用+扩建后的广场铺设地砖费用=642000元，列出方程，求解并检验即可。33．（2023·常州）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？【答案】解：设页边距为则列方程为：，解得：，（舍去），答：页边距为1cm．【思路点拨】设页边距为xcm，则打印区域的长为（162x）cm，打印区域的宽为（102x）cm，根据长方形面积的计算公式及打印区域的面积占纸张的70％列出方程，求解即可.34．（2023·淮安）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．【答案】解：设AB=xm，则AD=BC=(18x）m，根据题意得，，解得：，答：AB的长为8米或10米．【思路点拨】设AB=xm，则AD=BC=(18x）m，进而根据矩形的面积=长×宽列出方程，求解可得答案.35．（2023·大庆）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【规范解答】解：过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，过点P作PE⊥BC于点E，

由题意可知，PA=t，，

设AB=x，则，BP=xt，

∵∠ABC=120°，

∴∠ABE=180°120°=60°，

∴，

∴

由图象可知y的最大值为3，

∴，

解之：x=±4，

∵x＞0，

∴x=4，

∴AB=4，；

在Rt△ABF中，，

∴S平行四边形ABCD=.

故答案为：C.

【思路点拨】过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，过点P作PE⊥BC于点E，利用点的运动方向和速度，