宁夏银川市高三4月高中教学质量检测数学（文）试题

银川市2018年普通高中教学质量检测数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由于集合A和集合B中都有元素0,1,2,根据交集的定义得,故选B.2.已知为虚数单位，则复数等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题得，故选A.3.已知向量，且，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以由向量垂直的性质得故选B.4.已知等差数列的公差为，若成等比数列，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意，，，因为成等比数列，所以，即，所以，故选.5.已知双曲线的方程是，则其离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题得，所以双曲线的离心率为，故选C.6.定义在上的偶函数在单调递增，且，则的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题得f(x2)≤f(2),由于函数f(x)是偶函数，所以x2到原点的距离小于等于2到原点的距离，所以|x2|≤|2|=2，所以2≤x2≤2，解之得0≤x≤4，故选D.7.若满足，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】不等式组对应到可行域就是图中的阴影部分区域，当直线y=x+z经过点A（）时，直线的纵截距z最大，所以，故选B.8.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示：三棱锥即为所求..故选A.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.函数的部分图象如图所示，则该函数图象的一个对称中心是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题得由于曲线经过点，所以令，当k=3时，.所以函数图像的一个对称中心是，故选C.10.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】s=0,n=1,s=0++1=3,n=2,3＜35；s=3++2=9,n=3,9＜35；s=9++3=20,n=4,20＜35；s=20++4=40,40>35,s=40.故选A.11.周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁思维同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（）A.玩游戏B.写信C.听音乐D.看书【答案】D【解析】由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选D.12.已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若，则抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题得双曲线的方程为，所以.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得.联立双曲线的方程和抛物线的方程得.由抛物线的定义得6a=3a(2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=2，故选C.点睛：本题的难点在于如何找到关于a的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6a=3a(2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】由题得.所以切点坐标为(1,3),所以切线方程为所以切线方程为.故填.14.如图是我国三国时期著名数学家赵爽弦图，图中大正方形的面积是，四个全等直角三角形组成的一个小正方形，直角三角形的较短边长为，现向大正方形内随机抛一粒绿豆，则绿豆落在小正方形的概率为__________．【答案】【解析】设直角三角形的较长的边长为a,则小正方形的边长为a3,由于四个直角三角形的面积和小正方形的面积和等于大正方形的面积，所以.所以绿豆落在小正方形的概率为.故填.15.把边长为的正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积的大小等于__________．【答案】【解析】设AC中点为O,由于OA=OB=OC=OD,所以点O就是球心.由于底面△ABC面积是一定的，所以当三棱锥DABC高最大时，三棱锥体积最大,所以当平面ADC⊥平面ABC时，三棱锥体积最大.所以球的半径为故填2π.点睛：解答几何体的外接球有关的问题，关键是两心三边一方程，两心是截面圆的圆心和球心，三边是圆心和球心的距离、球的半径、圆的半径，一方程指的是通过勾股定理得到的关于球的半径R的方程.这种技巧，大家要理解掌握熟练运用.16.已知是首项为的等比数列，数列满足，且，则数列的前项和为__________．【答案】【解析】由题得，所以是等差数列.所以数列的前n项和.故填.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）3【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用正弦定理把边化角，再化简即得解.（2）第（2）问，化简的面积为得到，再利用余弦定理求出a的值.试题解析：（1）由得又，所以，得，即，所以（2）由及可得又在中，，即，得18.如图四棱锥中，底面是边长为的正方形，其它四个侧面是侧棱长为的等腰三角形，为的中点，为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）试题解析：（1）∵取的中点为，连、，∵为的中点，∴．∵为正方形，为的中点，∴，∴．∴四边形是，∴．又∵，故平面．（2）∵为的中点，，∴，∵为正四棱锥，∴在平面的射影为的中点，∵，，∴，∴，∴．19.某养殖的水产品在临近收获时，工人随机从水中捕捞只，其质量分别在（单位：克），经统计分布直方图如图所示.（1）求这组数据的众数；（2）现按分层抽样从质量为的水产品种随机抽取只，在从这只中随机抽取只，求这只水产品恰有只在内的概率；（3）某经销商来收购水产品时，该养殖场现还有水产品共计约只要出售，经销商提出如下两种方案：方案A：所有水产品以元/只收购；方案B：对于质量低于克的水产品以元/只收购，不低于克的以元/只收购，通过计算确定养殖场选择哪种方案获利更多？【答案】（1）75；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接观察统计分布直方图得到这组数据的众数.（2）第（2）问，利用古典概型概率公式得这只水产品恰有只在内的概率.(3)第（3）问，先分别计算出两种方案的获利，再比较.试题解析：（1）该样本的众数为275.（2）抽取的6只水产品中，质量在和内的分别有4只和2只.(3)方案A：元；方案B：低于300克：元，不低于300克：元，总计元.由，故B方案获利更多，应选B方案.20.已知动点到定点和到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线与曲线交于两点，与相交于一点（交点位于线段上，且与不重合）.（1）求曲线的方程；（2）当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线【解析】试题分析：（1）第（1）问，设点P(x，y)，由题意可得，曲线E的方程.（2）第（2）问，先求出，再利用基本不等式得到m、n的值，最后得到直线的方程.试题解析：（1）设点P(x，y)，由题意可得，，得.∴曲线E的方程是（2）设，由条件可得.当m＝0时，显然不合题意.当m≠0时，∵直线l与圆x2＋y2＝1相切，∴，得.联立消去y得,则△，.，当且仅当，即时等号成立，此时代入得.经检验可知，直线和直线符合题意.点睛：本题第（2）问，探究四边形的面积是最大值，采用了函数的方法，先求出，再想方法求面积的最大值.处理最值，函数的方法是一种常用方法.21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对任意恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用导数求函数的单调区间.（2）第（2）问，先分离参数得到对任意x∈(0，＋∞)，恒成立，再利用导数求函数的最小值得解.试题解析：（1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，，当a>0时，由<0，得；由>0，得，∴f(x)在上递减，在上递增.(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，∴＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－lnx，x∈(0，＋∞).因此，对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立对任意x∈(0，＋∞)，恒成立，令，则，令＝0，得x＝e2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，∴g(x)min＝g(e2)＝，即，故实数b的最大值是1－.点睛：本题的第2问，用到了分离参数求最值的方法，这是处理恒成立问题的常用的一种技巧.处理含参的恒成立问题，常用的方法有分离参数和分类讨论，如果好分离参数，就选分离参数，否则选择分类讨论.22.已知曲线的极坐标方程为.（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；（2）若是曲线上的一个动点，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据椭圆参数方程得，再根据三角函数有界性得最大值试题解析：(1)由ρ2＝，得4ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝36，∴曲线C的直角坐标方程为＋＝1.(2)设P(3cosθ，2