高三数学（理）一轮复习教师用书第六章不等式推理与证明

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与一元二次不等式1．两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔aeq\a\vs4\al(＞)b.(2)a－b＝0⇔aeq\a\vs4\al(＝)b.(3)a－b＜0⇔aeq\a\vs4\al(＜)b.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋ceq\a\vs4\al(>)b＋c；a>b，c>d⇒a＋ceq\a\vs4\al(>)b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒aceq\a\vs4\al(>)bc；a>b>0，c>d>0⇒aceq\a\vs4\al(>)bd；(5)可乘方性：a>b>0⇒aneq\a\vs4\al(>)bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a>b>0⇒eq\r(n,a)eq\a\vs4\al(>)eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式 Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)有两相等实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≠－\f(b,2a)))R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅eq\a\vs4\al(∅)在不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)中，如果二次项系数a<0，则可根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()(2)若eq\f(a,b)>1，则a>b.()(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．()(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()(5)同向不等式具有可加性和可乘性．()(6)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(7)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√(7)×2．函数f(x)＝eq\r(3x－x2)的定义域为()A．[0,3] B．(0,3)C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选A要使函数f(x)＝eq\r(3x－x2)有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.3．若a<b<0，则下列不等式不能成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a) B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．|a|>|b| D．a2>b2解析：选A取a＝－2，b＝－1，则eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)不成立．4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是()A．(0,4) B．[0,4)C．(0,4] D．[0,4]解析：选D当a＝0时，满足条件；当a≠0时，由题意知a>0且Δ＝a2－4a≤0，得0<a≤4，所以0≤a≤5．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，则a＋b的值是________．解析：由题意知－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－\f(b,a)，,－\f(1,2)×\f(1,3)＝\f(2,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2.))所以a＋b＝－14.答案：－146．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.答案：(－3,3)eq\a\vs4\al(考点一不等式的性质及应用)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容，一般涉及函数、数列等知识.多以选择题形式考查，难度较小.考法(一)比较两个数(式)的大小1．若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，则a____b(填“＞”或“＜”)．解析：易知a，b都是正数，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝log89＞1，所以b＞a.答案：＜2．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则eq\f(S3,a3)与eq\f(S5,a5)的大小关系为________．解析：当q＝1时，eq\f(S3,a3)＝3，eq\f(S5,a5)＝5，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).当q＞0且q≠1时，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝eq\f(a11－q3,a1q21－q)－eq\f(a11－q5,a1q41－q)＝eq\f(q21－q3－1－q5,q41－q)＝eq\f(－q－1,q4)＜0，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).综上可知eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).答案：eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5)[题型技法]比较两个数(式)大小的两种方法考法(二)不等式的性质3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)解析：选B法一：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以eq\f(1,－d)＞eq\f(1,－c)＞0.又a＞b＞0，所以eq\f(a,－d)＞eq\f(b,－c)，所以eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).故选B.法二：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(c＜d＜0⇒cd＞0,c＜d＜0))⇒eq\f(c,cd)＜eq\f(d,cd)＜0⇒eq\a\vs4\al(\f(1,d)＜\f(1,c)＜0⇒,)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－1,d)＞\f(－1,c)＞0,a＞b＞0))⇒eq\f(－a,d)＞eq\f(－b,c)⇒eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).法三：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，排除选项C、D；又∵－eq\f(3,2)＜－eq\f(2,3)，排除A，故选B.4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”5．下列命题中，正确的是()A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，则a<bD．若a>b，c>d，则a－c>b－d解析：选C取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a<b，故B错误；∵eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，∴c≠0，又c2>0，∴a<b，故C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．6．已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．解析：∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.答案：(－4,2)(1,18)[题型技法]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略不等式成立问题熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件与充分、必要条件相结合问题用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围eq\a\vs4\al(考点二一元二次不等式的解法)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)一元二次不等式及分式不等式的解法，主要以选择、填空题的形式出现，常与集合的交、并、补结合，难度不大.含参数的一元二次不等式的解法是难点，应注意对参数的讨论.[典题领悟]解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；(3)eq\f(2x＋1,x－5)≥－1；(4)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤eq\f(4,3)，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(4,3))))).(2)原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－2≤4))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x＋1＞0，,x－3x＋2≤0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3.))借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x＜－1或2＜x≤3)).(3)将原不等式移项通分得eq\f(3x－4,x－5)≥0，等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4x－5≥0，,x－5≠0，))解得x＞5或x≤eq\f(4,3).所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(4,3)或x>5)))).(4)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，因为a＞0，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.所以当a＞1，即eq\f(1,a)<1时，解为eq\f(1,a)＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1，即eq\f(1,a)>1时，解为1＜x＜eq\f(1,a).综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a)))))；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1)))).[解题师说]1．解一元二次不等式的4个步骤一化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判计算对应方程的判别式三求求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根四写利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≥0≤0，gx≠0.))3．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[冲关演练]1．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，))则不等式f(x)>f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，x＋6>3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，x2－4x＋6>3，))解得－3<x<1或x>3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，则不等式x2－bx－a＜0的解集是()A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：选A由题意知－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)是方程ax2－bx－1＝0的两根，所以由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝\f(b,a)，－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－\f(1,a).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，b＝5，))不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．3．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).当a>0时，不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(a,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a<0时，不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，＋∞)).eq\a\vs4\al(考点三一元二次不等式恒成立问题)eq\a\vs4\al(题点多变型考点——追根溯源)一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.常见的命题角度有：1形如fx≥0fx≤0x∈R确定参数的范围；2形如fx≥0x∈[a，b]确定参数范围；3形如fx≥0参数m∈[a，b]确定x的范围.[题点全练]角度(一)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围1．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[－2,2]C．(－2,2] D．(－∞，－2)解析：选C当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．当a≠2时，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，Δ＝4a－22＋16a－2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，a2<4，))解得－2<a<2.∴实数a的取值范围是(－2,2]．[题型技法]一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0角度(二)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，求实数b的取值范围．解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即eq\f(a,2)＝1，解得a＝2.又因为f(x)的图象开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，所以当x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.所以实数b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[题型技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.角度(三)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，,g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，))解得x<1或x>3.故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．[题型技法]一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．[冲关演练]1．若不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．(－3,0]解析：选D当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))<0，))解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．2．若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．解析：由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝m2＋m2－1<0，,fm＋1＝m＋12＋mm＋1－1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2－1<0，,2m2＋3m<0，))解得－eq\f(\r(2),2)<m<0.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与NA．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：选BM－N＝a1a2－(a1＋a2＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.2．若角α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<π，则α－β的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))解析：选B∵－eq\f(π,2)<α<π，－eq\f(π,2)<β<π，∴－π<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<α－β<eq\f(3π,2).又∵α<β，∴α－β<0，从而－eq\f(3π,2)<α－β<0.3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，则a＋b等于()A．－3 B．1C．－1 D．3解析：选A由题意得，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x<3))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－3<x<2))，所以A ∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x<2))，由根与系数的关系可知a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.4．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：选D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验，可知D正确．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．5．(2018·广东清远一中一模)若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集是(－1,3)．6．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，给出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)；②|a|＋b>0；③a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；④lna2>lnb2.其中正确的不等式的序号是()A．①④ B．②③C．①③ D．②④解析：选C法一：因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4>0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.法二：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0.①中，因为a＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)，故①正确；②中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；③中，因为b<a<0，又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则－eq\f(1,a)>－eq\f(1,b)>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，故③正确；④中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2>lna2，故④错误．由以上分析，知①③正确。7．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2，故不等式的解集为{x|0<x<2}．答案：{x|0<x<2}8．若0<a<1，则不等式(a－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集是________．解析：原不等式为(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0，由0<a<1，得a<eq\f(1,a)，∴a<x<eq\f(1,a).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x<\f(1,a)))))9．已知a＋b＞0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是______．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)10．若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.∴a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)B级——中档题目练通抓牢1．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0解析：选C由题意知c<0，a>0，则A、B、D一定正确；当b＝0时，C不正确．2．若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为()解析：选B由根与系数的关系得eq\f(1,a)＝－2＋1，－eq\f(c,a)＝－2，解得a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2(经检验知满足题意)，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，顶点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,4)))，结合图象知选B.3．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为()A．12元 B．16元C．12元到16元之间 D．10元到14元之间解析：选C设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．4．a，b∈R，a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同时成立的条件是________．解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；若ab＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).所以a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同时成立的条件是a＜0＜b.答案：a＜0＜b5．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－eq\f(23,5)，故a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))6．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a∴原不等式可化为a2－6a解得3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3).∴原不等式的解集为{a|3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3)}．(2)f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))7．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)若a＝2，试求函数y＝eq\f(fx,x)(x>0)的最小值；(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．解：(1)依题意得y＝eq\f(fx,x)＝eq\f(x2－4x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)－4.因为x>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2，当且仅当x＝eq\f(1,x)时，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝eq\f(fx,x)的最小值为－2.(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g0≤0，,g2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－0－1≤0，,4－4a－1≤0，))解得a≥eq\f(3,4).则实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).C级——重难题目自主选做1．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则实数a的取值范围是()A．[－4,1] B．[－4,3]C．[1,3] D．[－1,3]解析：选B原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.2．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.答案：[－8,4](二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与NA．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：选BM－N＝a1a2－(a1＋a2＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.2.不等式eq\f(x,2x－1)>1的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．(－∞，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))解析：选A原不等式等价于eq\f(x,2x－1)－1>0，即eq\f(x－2x－1,2x－1)>0，整理得eq\f(x－1,2x－1)<0，不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得eq\f(1,2)<x<1.3.(2018·广东清远一中一模)若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选C关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集是(－1,3)．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为()A．12元 B．16元C．12元到16元之间 D．10元到14元之间解析：选C设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5.在R上定义运算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a),\s\do5(c))\o(\s\up7(b),\s\do5(d))))＝ad－bc，若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x－1),\s\do5(a＋1))\o(\s\up7(a－2),\s\do5(x))))≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,2)解析：选D由定义知，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x－1),\s\do5(a＋1))\o(\s\up7(a－2),\s\do5(x))))≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，∴a2－a≤eq\f(3,4)，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)，则实数a的最大值为eq\f(3,2).6．a，b∈R，a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同时成立的条件是________．解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；若ab＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).所以a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同时成立的条件是a＜0＜b.答案：a＜0＜b7．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－eq\f(23,5)，故a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax，x≥0，,bx2－3x，x＜0))为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为________．解析：若x>0，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x，x≥0，,－x2－3x，x＜0.))当x≥0时，由x2－3x＜4，解得0≤x＜4；当x＜0时，由－x2－3x＜4，解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)9.设实数a，b，c满足：①b＋c＝6－4a＋3a②c－b＝4－4a＋a2试确定a，b，c的大小关系．解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2所以b－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以b>a，从而c≥b>a.10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a∴原不等式可化为a2－6a解得3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3).∴原不等式的解集为{a|3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3)}．(2)f(x)>b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))B级——拔高题目稳做准做1．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则实数a的取值范围是()A．[－4,1] B．[－4,3]C．[1,3] D．[－1,3]解析：选B原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.2.(2018·云南统检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≥1，,21－x－2，x<1，))则不等式f(x－1)≤0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0≤x≤2)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0≤x≤3))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1≤x≤2)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1≤x≤3))解析：选D由题意，得f(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2－2，x≥2，,22－x－2，x<2.))当x≥2时，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；当x<2时，由22－x－2≤0，解得1≤x<2.综上所述，不等式f(x－1)≤0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1≤x≤3)).3．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.答案：[－8,4]4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b∈R))的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．解析：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋b－eq\f(a2,4).因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－eq\f(a2,4)＝0，即b＝eq\f(a2,4).所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2.又f(x)<c，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2<c，即－eq\f(a,2)－eq\r(c)<x<－eq\f(a,2)＋eq\r(c).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－\r(c)＝m，①,－\f(a,2)＋\r(c)＝m＋6.②))②－①，得2eq\r(c)＝6，所以c＝9.答案：95．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)若a＝2，试求函数y＝eq\f(fx,x)(x>0)的最小值；(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，求实数a的取值范围．解：(1)依题意得y＝eq\f(fx,x)＝eq\f(x2－4x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)－4.因为x>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2，当且仅当x＝eq\f(1,x)时，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝eq\f(fx,x)的最小值为－2.(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g0≤0，,g2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－0－1≤0，,4－4a－1≤0，))解得a≥eq\f(3,4).则实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).6.已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)＝eq\f(gx,x).(1)求a，b的值；(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因为a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g2＝1，,g3＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))(2)由已知及(1)可得f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2，f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋eq\f(1,2x)－2≥k·2x，化简得1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)))2－2·eq\f(1,2x)≥k，令t＝eq\f(1,2x)，则t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).即k≤t2－2t＋1，记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，故h(t)max＝1，所以实数k的取值范围是(－∞，1]．第二节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤以上简称为“直线定界，特殊点定域”.3．简单的线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6<0，,x－y＋2≥0))表示的平面区域是()解析：选Cx－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C所示阴影部分．3．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：选C平面区域如图中阴影部分所示．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4))可得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，|BC|＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×1＝eq\f(4,3).4．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))则z＝2x＋y的最小值是()A．－15 B．－9C．1 D．9解析：选A法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.5．若点(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________．解析：∵点(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，∴2m＋3－5>0，即m答案：(1，＋∞)6．若实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－6≤0，))则x－2y的最大值为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x－2y，可知z＝x－2y在点A(1,1)处取得最大值－1.答案：－1考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)二元一次不等式组表示的平面区域问题，高考主要考查：1求平面区域的面积；2已知平面区域求参数的取值或范围，一般以选择题、填空题出现，难度不大.(一)直接考——求平面区域的面积1．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面区域的面积为()A．4 B．1C．5 D．无穷大解析：选B不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2，2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)×(2－1)×2＝1.2．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,y≥2，,0≤x≤2))所表示的平面区域的面积为________．解析：如图，平面区域为直角梯形，易得A(0,2)，B(2,2)，C(2,7)，D(0，5)，所以AD＝3，AB＝2，BC＝5.故所求区域的面积为S＝eq\f(1,2)×(3＋5)×2＝8.答案：8[题型技法]解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．(二)迁移考——根据平面区域满足的条件求参数3．已知约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为()A．1 B．－1C．0 D．－2解析：选A作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k＝0时，此三角形的面积为eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)≠1，所以不成立，所以k>0，则必有BC⊥AB，因为x＋y－4＝0的斜率为－1，所以直线kx－y＝0的斜率为1，即k＝1，故选A.4．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．(0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))) D．(0,1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))解析：选D不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面区域如图中阴影部分所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,2x＋y＝2，))得Aeq\f(2,3)，eq\f(2,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,2x＋y＝2，))得B(1,0)．若原不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中a的取值范围是0<a≤1或a≥eq\f(4,3).[题型技法]根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．eq\a\vs4\al(考点二求目标函数的最值)eq\a\vs4\al(题点多变型考点——追根溯源)简单的线性规划问题是高考的重点，而简单的线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透.,常见的命题角度有：1求线性目标函数的最值及范围；2求非线性目标函数的最值；3线性规划中的参数问题.[题点全练]角度(一)求线性目标函数的最值及范围1．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6≤0，,x≥0，,y≥0，))则z＝x－y的取值范围是()A．[－3,0] B．[－3,2]C．[0,2] D．[0,3]解析：选B作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．2．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0，))则z＝3x－2y的最小值为________．解析：画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0))所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝eq\f(3,2)x－eq\f(z,2)过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝1，,2x＋y＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.))即A(－1,1)．所以zmin＝－5.答案：－5[题型技法]求目标函数最值的一般步骤角度(二)求非线性目标函数的最值3．(2018·太原模拟)已知实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＋3≥0，,2x－y＋2≤0，,x＋2y－4≤0，))则z＝x2＋y2的取值范围为()A．[1,13] B．[1,4]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，13)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，4))解析：选C不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值为点O到直线BC：2x－y＋2＝0的距离的平方，zmin＝eq\f(4,5)，最大值为点O与点A(－2,3)的距离的平方，zmax＝|OA|2＝13.[题型技法]常见的2种非线性目标函数及其意义(1)点到点的距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；(2)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a)，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．角度(三)线性规划中的参数问题4．当实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1≤ax＋y≤4恒成立，结合图可知，a≥0且在A(1,0)处取得最小值，在B(2,1)处取得最大值，所以a≥1，且2a＋1≤4，故a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))[题型技法]求解线性规划中含参问题的基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[题“根”探求]1．学会“3转化”(1)线性约束条件eq\o(→,\s\up7(转化),\s\do5())可行域．(2)线性目标函数z＝Ax＋Byeq\o(→,\s\up7(转化),\s\do5())一组平行线y＝－eq\f(A,B)x＋eq\f(z,B).(3)最值eq\o(→,\s\up7(转化),\s\do5())平行线组的最大(小)纵截距eq\f(z,B).2．活用“2结论”(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——与y轴上的截距相关的数．[冲关演练]1．(2017·浙江高考)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y－3≥0，,x－2y≤0，))则z＝x＋2y的取值范围是()A．[0,6] B．[0,4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)解析：选D作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x＋2y，得y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)，∴eq\f(z,2)是直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)在y轴上的截距，根据图形知，当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)过A点时，eq\f(z,2)取得最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,x＋y－3＝0，))得x＝2，y＝1，即A(2,1)，此时，z＝4，∴z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．2．(2018·成都一诊)若实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4≤0，,x－2y－2≤0，,x－1≥0，))则eq\f(y－1,x)的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为eq\f(y－1,x)表示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率．由图知，点P与点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)))连线的斜率最小，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,x)))min＝kPA＝eq\f(－\f(1,2)－1,1－0)＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)3．(2018·郑州质检)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x＋y≤4，,2x－y－m≤0.))若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为________．解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：3x＋y＝0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝10，,x＋y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))∴2×3－1－m＝0，m＝5.由图知，平移l经过B点时，z最小，∴当x＝2，y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5.答案：5eq\a\vs4\al(考点三线性规划的实际应用)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)利用线性规划解决实际问题是高考主要考查的一个知识点，试题通常是解决实际问题的最值问题，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大.[典题领悟](2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x∈N，y∈N.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤300，,10x＋3y≤900，,5x＋3y≤600，,x∈N，y∈N.))目标函数为z＝2100x＋900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋3y＝900，,5x＋3y＝600，))解得M(60,100)．则zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．答案：216000[解题师说]1．解线性规划应用题3步骤转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题求解解这个纯数学的线性规划问题作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[冲关演练]某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元 B．36000元C．36800元 D．38400元解析：选C设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y－x≤7，,36x＋60y≥900，,x，y∈N.))目标函数为z＝1600x＋2400y.画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N时，取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x＝7，,36x＋60y＝900，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝12，))故N(5,12)，故zmin＝1600×5＋2400×12＝36800(元)．(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,2x＋y<6))所表示的平面区域内的整点个数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C由不等式2x＋