中考数学必刷压轴题专题：抛物线之直角三角形（含解析）

中考数学抛物线压轴题之直角三角形

1.如图，抛物线y=-x，bx+c的图象与x轴交于A(-4,0)和点B两点，与y轴交于点C,抛物线的对

称轴是x=-1与x轴交于点D.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点P(m,n)为抛物线上一点，且过点P作PE〃x轴，交抛物线的对称轴x=-1于

点E,作PFLx轴于点F,得到矩形PEDF,求矩形PEDF周长的最大值；

(3)点Q为抛物线对称轴x=-l上一点，是否存在点Q,使以点Q,B,C为顶点的三角形是直角三角形？

若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x?+bx+c过A,B,C三点，点A的坐标是(3,0),点C的

坐标是(0,-3),动点P在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点I),交x轴于点E,垂足为

E,求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；

(3)是否存在点P,使得4ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；

若不存在，说明理由.

3.如图，抛物线y=ax4bx+3经过点B(-1,0),C(2,3),抛物线与y轴的交点A,与x轴的另一个交

点为D,点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t.

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P,设线段PM的长为1,当t为何值时，1的长最大，并求最

大值；(先根据题目画图，再计算)

(3)在(2)的条件下，当t为何值时，^PAD的面积最大？并求最大值；

(4)在(2)的条件下，是否存在点P,使4PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说

明理由.

4.如图，抛物线y=ax'+bx+c经过A(-1,0)、C(0,3)、B(2,3)

(1)求抛物线的解析式；

(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使AABM为直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在,

说明理由(4个坐标).

5.如图，在矩形OABC中，点0为原点，点A的坐标为（0,8）,点C的坐标为（6,0）.抛物线y=-&x=bx+c

9

经过点A、C,与AB交于点D.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP,连接PQ,设CP=

m,△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y=-gx，bx+c的对称轴1上，若存在点F,使△DFQ为直角三角形，请直接写出

9

所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，已知关于x的二次函数y=-x'+bx+c(c>0)的图象与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左

侧)，与y轴交于点C,且0B=0C=3,顶点为M.

(1)求出二次函数的关系式；

(2)点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD,垂足为D.若OD=m,4PCD的面积为S,求

S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；

(3)探索线段MB上是否存在点P,使得4PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请

说明理由.

7.如图，已知抛物线y=-x?+4x+5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)直接写出点A、B、C的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；

(3)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)过点D作DF，x轴于点F,交直线BC于

点E,连接BD,直线BC把ABDE的面积分成两部分，使SABOE:$ABEF=2：3,请求出点D的坐标；

(4)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标.

8.如图，抛物线y=axJ+bx-4a(aWO)经过A(-1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点B,连接AC,

BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点I),连接BD,点P为抛物线上一点，且NDBP=45°,求点P

的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得由点M,A,C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M

的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

9.如图，直线AB经过x轴上一点A(3,0),且与抛物线y=ax?+l相交于B、C两点，点B的坐标为(1,

2).

(1)求抛物线和直线AB的解析式;

(2)若点D是抛物线上一点，且D在直线BC下方，若求点D的坐标;

(3)设抛物线顶点为M,问在抛物线上是否存在点P使△PMC是以MC为直角边的直角三角形？若存在，请

求出点P的坐标；若不存在,

10.如图，抛物线y=ax"-2ax+c的图象经过点C(0,-2),顶点D的坐标为(1,-—),与x轴交于A、

3

B两点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)连接AC,E为直线AC上一点，当△A0CS/IAEB时，求点E的坐标和细■的值.

AB

(3)点F(0,y)是y轴上一动点，当y为何值时，近TC+BF的值最小.并求出这个最小值.

5

(4)点C关于x轴的对称点为H,当近•FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使AQIIF

5

是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

11.已知抛物线1：y=ax2+bx+c（a,b,c均不为0）的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称以N为顶点,

对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线1的衍生抛物线，直线MN为抛物线1的衍生直线.

（1）如图，抛物线y=2x?-2x-3的衍生抛物线的解析式是,衍生直线的解析式是；

（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=-2X2+1和y=-2x+l,求这条抛物线的解析式；

（3）如图，设（1）中的抛物线y=2x、2x-3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N

旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n,P是直线n上的动点，是否存在点P,使△P0M

为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图1,抛物线y=ax°+bx+6与x轴交于点A(-2,0),B(6,0),与y轴交于点C,顶点为D,直线

AD交y轴于点E.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图2,将AAOE沿直线AD平移得到△NMP.

①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标.

②在aNMP移动过程中，存在点M使AMBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.

13.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(-2,3)两点，与y轴交于点N,其顶

点为D

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求AAPC的面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)在直线AC上是否存在一点M,使△AMN为直角三角形，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理

由.

14.如图，已知直线=-2x+m与抛物线y=ax，'+bx+c相交于A,B两点，且点A(l,4)为抛物线的顶点,

点B在x轴上.

(1)求m的值；

(2)求抛物线的解析式；

(3)若点P是x轴上一点，当4ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标.

15.如图，抛物线y=&x?』x+3与X轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,连结

55

BC.

(1)如图1,点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN.点P是直线AB上的动点.当

△NBC面积取得最大值时，求出点N的坐标及ANBC面积的最大值，并求此时PN+CP的最小值；

(2)如图2,点M、P分别为线段BC和线段0B上的动点，连接PM、PC,是否存在这样的点P,使APCM为

等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

16.如图，抛物线y=-x°+bx+c经过点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,点P为其顶点，对

称轴1与x轴交于点D,抛物线上C、E两点关于对称轴1对称.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点G是线段0C上一动点，是否存在这样的点G,使AODG与4CGE相似，若存在，请求出点G坐标，

若不存在请说明理由.

(3)平移抛物线，其顶点P在直线y=x+3上运动，移动后的抛物线与直线y=x+3的另一交点为M,与原

对称轴1交于点Q,当△PMQ是以PM为直角边的直角三角形时，请写出点Q的坐标.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，ZkABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,A(1,0),B(0,2),二

次函数y=L2+bx-2的图象经过C点.

2

(1)求二次函数的解析式；

(2)平移该二次函数图象的对称轴所在直线1,若直线1恰好将AABC的面积分为1：2两部分，请求出此

时直线1与x轴的交点坐标；

(3)将aABC以AC所在直线为对称轴翻折180°,得到aAB'C,那么在二次函数图象上是否存在点P,使

△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

18.如图，二次函数y=ax'-2ax+c的图象交x轴于A、B两点（其中点A在点B的左侧），交y轴正半轴于

点C,且0B=30A,点D在该函数的第一象限内的图象上.

（1）求点A、点B的坐标；

（2）若ABDC的最大面积为义工平方单位，求点D的坐标及二次函数的关系式；

4

（3）若点D为该函数图象的顶点，且ABDC是直角三角形，求此二次函数的关系式.

19.如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax'+bx+c相交于A,B两点，且点A(l,-4)为抛物线的顶点，

点B在x轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使APOB与apoc全等？若存在，求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由；

(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标.

20.关于x的—•元二次方程x"-mx+m-1=0(mWO)

(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根.

(2)如图，如果抛物线y=x,-mx+m-1(m#0)与x轴交于A、B两点(点B在点A的右边)，与y轴交于

点C,顶点为D,当AABD为直角三角形时，求m的值.

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P,使得APBC是直角三角形，若存在请求出点P的坐标，若

备用图

21.如图，在直角坐标系中，二次函数经过A(-2,0),B(2,2),C(0,2)三个点.

(1)求该二次函数的解析式.

(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D,求当D点坐标为何值时，4ACD的周长最小.

(3)在直线y=x上是否存在一点E,使得4ACE为直角三角形？有，请求出E点坐标；没有，说明理由.

22.如图，直线y=-x-2与抛物线分别交于点A、点B,且点A在y轴上，抛物线的顶点C的坐标为(3,

1).

(2)点P是线段AB上一动点，射线PM〃x轴并与直线BC和抛物线分别交于点M、N,过点P作PELx轴于

点E,当PE与PM的乘积最大时，在y轴上找一点Q,使IPQ-CQI的值最大，求|PQ-CQ的最大值和此时Q

的坐标;

(3)在抛物线上找一点1),使△ABD为直角三角形，求D点的坐标.

23.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-l,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,-3).

(1)求出该抛物线的函数关系式；

(2)设抛物线y=ax、bx+c的顶点为M：

①求四边形ABMC的面积；

②点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点］),使得四边形ABDC的面积最大？若存在，请

求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在抛物线y=ax?+bx+c上求点Q,使aBCQ是以BC为直角边的直角三角

24.如图，抛物线y=ax?+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点，与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求证：AB平分NCAO；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得aABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐

标；若不存在，请说明理由.

25.如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C,直线y=-2x+3经过点

3与x轴交于点D.

(1)求该抛物线所对应的函数关系式；

(2)点P是(1)中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t(0<t<3).

①求4PCD的面积的最大值；

②是否存在点P,使得4PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明

26.如图1,抛物线y=ax'+bx+3交x轴于点A(-1,0)和点B(3,0).

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)如图2,该抛物线与y轴交于点C,顶点为F,点D(2,3)在该抛物线上.

①求四边形ACFD的面积；

②点P是线段AB上的动点(点P不与点A、B重合)，过点P作PQLx轴交该抛物线于点Q,连接AQ、DQ,

当aAQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标.

27.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-Lx+2交x轴于点P,交y轴于点A.抛物线y=--x2+bx+c的

32

图象过点E(-1,0),并与直线相交于A、B两点.

(1)求抛物线的解析式(关系式)；

(2)过点A作ACLAB交x轴于点C,求点C的坐标；

(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M,使得aMAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不

存在，请说明理由.

28.如图，在平面直角坐标系中，顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点(点B在点

C的左侧)，已知A点坐标为(0,-5).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对

称轴1与。C有什么位置关系，并给出证明；

(3)在抛物线上是否存在一点P,使4ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

29.如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax，bx+c相交于A,B两点，且点A(l,-4)为抛物线的顶点,

点B在x轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使APOB与APOC全等？若存在，求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由；

(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标.

30.如图，抛物线y=ax'+bx+2与x轴交于点A(1,0)和B(4,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC〃x轴，与对称轴右侧的抛

物线交于点C,且四边形0ECF是平行四边形，求点C的坐标；

(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

31.如图，抛物线y=ax?+bx+c经过A(-3,0)、C(0,4),点B在抛物线上，CB〃x轴，且AB平分/CAO.

(1)求抛物线的解析式；

(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使aABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐

标；如果不存在，说明理由.

32.如图，抛物线y=x?+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点,点A的横坐标为-3,点B在y轴上，点P是

y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m,过点P作PC_Lx轴于C,交直线AB于D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当m为何值时，S四边形OBIXESABPD；

(3)是否存在点P,使4PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

33.如图，抛物线y=-x"+bx+c的图象与x轴交于A(-4,0)和点B两点，与y轴交于点C,抛物线的对

称轴是x=-1与x轴交于点D.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点P(m,n)为抛物线上一点，且过点P作PE〃x轴，交抛物线的对称轴x=-1于

点E,作PFLx轴于点F,得到矩形PEDF,求矩形PEDF周长的最大值；

(3)点Q为抛物线对称轴x=-l上一点，是否存在点Q,使以点Q,B,C为顶点的三角形是直角三角形？

若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

34.如图，抛物线y=ax'+bx+3经过点B(-1,0),C(2,3),抛物线与y轴的交点A,与x轴的另一个

交点为D,点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t.

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P,设线段PM的长为1,当t为何值时，1的长最大，并求最

大值；(先根据题目画图，再计算)

(3)在(2)的条件下，当t为何值时，^PAD的面积最大？并求最大值；

(4)在(2)的条件下，是否存在点P,使4PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说

明理由.

35.已知抛物线1：y=axJ+bx+c（a,b,c均不为0）的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称以N为顶点,

对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线1的衍生抛物线，直线MN为抛物线1的衍生直线.

（1）如图，抛物线y=2x?-2x-3的衍生抛物线的解析式是,衍生直线的解析式是；

（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=-2X2+1和y=-2x+l,求这条抛物线的解析式；

（3）如图，设（1）中的抛物线y=2x、2x-3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N

旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n,P是直线n上的动点，是否存在点P,使△P0M

为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

36.抛物线y=x'+（m+2）x+4的顶点C在x轴正半轴上，直线y=x+2与抛物线交于A,B两点（点A在点

B的左侧）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P是抛物线上一点，若S„=2$AABC,求点P的坐标；

（3）将直线AB上下平移，平移后的直线y=x+t与抛物线交于A',B'两点（A'在B'的左侧），当以点A',

B'和（2）中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值.

备用图

■QQ

解析

1.【解答】解：(1)...抛物线y=-x、bx+c的对称轴是x=-1,

--^-=-1,b=-2,

-2

/.y=-x2-2x+c,

把A(-4,0)代入得：-16+8+c=0,

/.c=8,

二抛物线的函数表达式为:y=-x2-2x+8；

(2);•点P(m,n)为抛物线上一点，且如图1,

•.■四边形PEDF是矩形,

二矩形PEDF的周长=2PE+2PF=2(-1-m)+2(-m2-2m+8)=-2m2-6m+14=-2(m+—)

22

V-2<0,

.•.当m=-3时，矩形PEDF的周长有最大值是21；

22

(3)存在点Q,使以点Q,B,C为顶点的三角形是直角三角形，

.点Q为抛物线对称轴x=-1上一点，

•••设Q(-1,y),

由对称得：B(2,0),

VC(0,8),

.,.QB?：(2+1)、/=9+,，

QC2=(-1)2+(y-8)2=1+(y-8)2,

BC2=22+82=4+64=68,

分三种情况：

①当NQCB=90°时，QB是斜边，

.,.QB2=QC2+BC2,

；.9+/=1+(y-8)2+68

解得：y=1L

4

/.Q(-1,—

4

②当NQBC=90°时，QC是斜边，

,.,QC2=BC2+QB2,

.,.1+(y-8)2=68+9+/,

解得：y=-l,

4

.,.Q(-1,--)；

4

③当/BQC=90°时，BC是斜边，

,.,BC^BQ^+QC2,

.".68=1+(y-8)2+9+y2,

解得：y=4±7T3»

•'-Q(-1,4+^/13)或(-1,4-

综上，点Q的坐标是(-1,—)或(-1,-—)或(-1,4+V13)或(-1,4-V13).

44

2.【解答】解：(1)将点A、C的坐标代入函数表达式得：/9+3b+c=0,解得：fb=-2,

lc=-3lc=-3

故：函数的表达式为:y=x?-2x-表,•①；

(2)设直线AC的表达式为：y=kx+b,则：(3k+b=0,

Ib=-3

故直线AC的表达式为：y=x-3,

设点P(X,X2-2X-3),则点D(x,x-3),

V-l<0,抛物线开口向下，当x=3时，PD的最大值为9,

24

此时，点P（3,一至）；

24

（3）存在，理由：

故直线CP的表达式为：y=-x-3…②，

①②联立并解得：x=l或0（舍去x=O）,

故点P坐标为（1,-4）；

②当/P'AC=90"时，

设直线AP'的表达式为：y=-x+b,

将x=3,y=O代入并解得：b=3,

故：直线AP'的表达式为：y=-x+3…③，

联立①③并解得：x=-2或3（舍去x=3）,

故：点P'的坐标为（-2,5）；

故点P的坐标为（1,-4）或（-2,5）.

3.【解答】解：(1)把点B(-1,0),C(2,3)代入y=axZ+bx+3,

则有「廿3=0,

I4a+2b+3=3

解得，

lb=2

二抛物线的解析式为y=-X2+2X+3.

(2)

在y=-x?+2x+3中,令y=0可得0=-x?+2x+3,解得x=-1或x=3,

?.D(3,0),且A(0,3),

二直线AD解析式为y=-x+3,

设M点横坐标为m,则P(t,-t2+2t+3),M(t,-t+3),

V0<t<3,

...点M在第一象限内，

.\1=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t=-(t--)2+—,

24

.,.当t=3时，i有最大值，i最大=9；

24

(3),.,SAPAD=—XPMX(XD-XA)=WPM,

22

.'PM的值最大时，APAD的面积中点，最大值=gx9=&

248

：.t=3时，4PAD的面积的最大值为2工.

28

(4)如图设AD的中点为K,设P(t,-t2+2t+3).

y

4PAD是直角三角形，

当NAPD=90°时，PK=AAD,

2

...(t-3)、(-t?+2t+3-3)2=J1X18,

224

整理得t(t-3)(t2-t-1)=0,

解得t=0或3或出区，

2

...点P在第一象限，

.1W5

••L1.

2

当/PAD=90°,可得P(1,4),

,t=1,

综上所述，满足条件的t的值为1或上近.

2

4.【解答】解：(1)...抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、C(0,3)、B(2,3),

a-b+c=0

・•<c=3，

4a+2b+c=3

'a=-l

解得，b=2，

c=3

所以，抛物线解析式为y=-x'+2x+3；

(2)设直线AB的解析式为y=kx+b(kWO),

则(i+b=0,

I2k+b=3

解得『=1,

Ib=l

所以，直线AB的解析式为y=x+l,

设点P的横坐标为x,：PQ〃y轴，

二点Q的横坐标为x,

.\PQ=(-X2+2X+3)-(x+1),

=-X2+X+2,

=-(x-A)2+9,

24

•..点P在线段AB上，

二-l〈xW2,

••.当x=工时，线段PQ的长度最大，最大值为a；

24

(3)由(1)可知，抛物线对称轴为直线x=l,

①AB是直角边时，若点A为直角顶点，则直线AM的解析式为y=-x-1,

当x=l时，y=-l-l=-2,

此时，点M的坐标为(1,-2),

若点B为直角顶点，则直线BM的解析式为y=-x+5,

当x=l时，y=-1+5=4,

此时，点M的坐标为(1,4),

②AB是斜边时，设点M的坐标为(1,m),

则(-1-1)2+m2—4+m2,BM'—(2-1)'+(m-3)2—1+(m-3)

由勾股定理得，AM2+BM2=AB2,

所以，4+m2+l+(m-3)2=(-1-2)2+(0-3)2,

整理得,m2-3m-2=0,

解得歪,

2__

所以，点M的坐标为(1,老H豆)或a,3-VT7),

22__

综上所述，抛物线的对称轴上存在点M(1,-2)或(1,4)或(1,也亘)或(1,主正)，使4ABM

22

为直角三角形.

5.【解答】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得

'c=8

■4，

-^X36+6b+c=0

y

解得：｛3,

c=8

二抛物线的解析式为y--Ax2+Ax+8;

93

(2)①•；0A=8,0C=6,

•'-AC=VOA2-H)C2=10,

过点Q作QE±BC与E点，则sin/ACB=QZ=3殳=§

QCAC5

.QE_3,

10-m5

.•.QE=3(10-m),

5

.\S=A.CP*QE=2mx3(10-m)=--^-m2+3m；

22510

②CP«QE=XnX且（10-m）=-^-m2+3m=-（m-5）?+至,

22510102

当m=5时，S取最大值；

在抛物线对称轴1上存在点F,使△FDQ为直角三角形，

•••抛物线的解析式为y=-lx2+Ax+8的对称轴为x=3,

932

D的坐标为（3,8）,Q（3,4）,

当/FDQ=90°时，件（3,8）,

2

当NFQD=90°时，则F?（旦，4）,

2

当/DFQ=90°时，设F(3,n),

2

则FD2+FQ2=DQ2,

即9+(8-n)2+—+(n-4)2—16,

44

解得：n=6±且，

2_

/.Fa6+区)，F”(旦，6-瓜),

2222

满足条件的点F共有四个，坐标分别为

6+五），F,（旦，6-

22冬

/.B(3,0),C(0,3)

.f0=-9+3b+c

,l3=c

解得(b=2l分

1c=3

二二次函数的解析式为y=-X2+2X+3；

(2)Vy=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

?.M(1,4)

设直线MB的解析式为y=kx+n,

则有(4=k+n

10=3k+n

解得“k=-2,

1n=6

二直线MB的解析式为y=-2x+6

；PDJ_x轴，0D=m,

二点P的坐标为(m,-2m+6)

S—X(-2m+6)•m=-m~+3m(1Wm<3)；

2

(3)...若NPDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上,

.../PDCW90。，

在4PCD中，当NDPC=90°时，

当CP/7AB时，

VPD1AB,

.\CP1PD,

：.PD=0C=3,

.♦.P点纵坐标为：3,代入y=-2x+6,

；.x=3,此时p(3.,3).

22

二线段BM上存在点P(3,3)使APCD为直角三角形.

2

当/P'CD'=90°时，△«)□'s/MVCP',

此时CD'2=C0・P'D',

即9+i/=3(-2m+6),

mJ+6m-9=0,

解得:m=-3±3*^2>

•・TWmV3,

.,.m=3(V2-1)，

：.Pr(3^2-3,12-6^2)

综上所述：P点坐标为：(慨，3),(3加-3,12-6&).

7.【解答】解：(1)令y=0,则x=-1或5,令x=0,则y=5,

故点A、B、(:的坐标分别为：(-1,0)、(5,0),(0,5)；

(2)抛物线的对称轴为：x=2,

点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交抛物线对称轴于点P,则点P为所求,

当x=2时，y=3,故点P(2,3)；

(3)设点D(x,-X2+4X+5),则点E(x,-x+5),

SABDE：SAB£F=2：3,贝

DF5

9

即.-m+4m+5+irr52

-m2+4m+55

解得：m=2或5(舍去5),

3

故点D(2,毁)；

39

(4)设点M(2,m),而点B、C的坐标分别为：(5,0)、(0,5),

则MB，=9+01?,MC2=4+(m-5)2,BC2=50,

①当MB为斜边时，则9+m2=4+(m-5)、50,解得：m=7；

②当MC为斜边时，同理可得：m=-3；

③当BC为斜边时，同理可得：m=6或-1；

综上点M的坐标为：(2,7)或(2,-3)或(2,6)或(2,-1).

8.【解答】解：(1)-4a=4,解得：a=-1,

则抛物线的表达式为：y=-x'+bx+4,

将点A的坐标代入上式并解得：b=3,

故抛物线的表达式为：y=-x?+3x+4…①；

(2)抛物线的对称轴为：x=3,点D(3,4),

2

过点D作x轴的垂线交BP于点H,交x轴于点G,

过点H作HRJ_BD与点R,

4

设：HR=BR=x,则DR=4x,

BD=5X=V1+16—A/TZ>X=^^,

5

BH=^2x,BG=1,则GH=J2x2一］=~，

5

故点H（3,—）,而点B（4,0）,

5

同理可得直线HB的表达式为：y=-3x+卫…②，

55

联立①②并解得：x=4或-2（舍去4）,

5

故点P（-2,也）；

525

（3）设点M（3,m）,而点A（-1,0）、点C（0,4）,

2

则人小/=至+«12,CM2=—+（m-4）2,AC2=17,

44

①当AM是斜边时，至+1））2=且+（m-4）2+17,解得：m=29；

448

②当CM是斜边时，同理可得：m=-$；

8

③当AC是斜边时，同理可得：m=$或3；

22

综上，点M的坐标为：（3,29）或（旦，-1）或（3,回）或（旦，1）.

28282222

9.【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：1°=3k+b,解得：（k=-l

12=k+bIb=3

故直线AB的表达式为：y=-x+3…①，

同理将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：

抛物线的表达式为：y=x?+l…②；

(2)联立①②并解得：x=l或-2,故点C(-2,5),

如图1,过点D作y轴的平行线交BC于点H,

设点D(x,x2+l),则点H(x,-x+3),

则SABCD=3=LXDHX(XB-XC)=』(-x+3-x2-1)X(1+2),

22

解得：x=1或-2,

故点1)(1,2)或(-2,5)；

(3)如图2,点M的坐标为:(0,1),点C(-2,5),

则直线CM函数表达式中的k值为：-2,

(I)当NPCM=90°时，

则直线CP的函数表达式为：y=』x+m,

将点C的坐标代入上式并解得：m=6,

故直线PC的表达式为：y=^x+6…③，

2

联立②③并解得：X=-2或互（舍去-2）,

2

故点p的坐标为：（§,空）；

24

（II）当NCMP（P'）=90°时，

同理可得：点P（P'）（2，区），

24

综上，点p的坐标为：（5，22）或（工，旦）.

2424

，c=-2（上

10.【解答】解：（1）由题可列方程组：8,解得：|@而

=

Ia-2a+c-737lc=-2r

二抛物线解析式为：y=2--gx-2；

33

（2）如图1,ZA0C=90°,AC=旄，AB=4,

设直线AC的解析式为：y=kx+b,则卜k+b=0,解得：1k=-2

Ib=-2Ib=-2

直线AC的解析式为：y=-2x-2；

当△AOCS/XAEB时

S（

AAOC_/ACx2=泥、2=5

品嬴ABT16'

•"c_i•c____16

•OAAOC1,••3△AEB9

5

A—ABX|yE|=—,AB=4,则yE=-@,

255

则点E（-L,-&）；

55

由△AOCs/XAEB得：地上返

ACAB75

.AE

•----=-娓--;

AB5

(3)如图2,连接BF,过点F作FGLAC于G,

贝UFG=CFsinZFCG=^CF,

5

...匹CF+BF=GF+BF》BE,

5

当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，

由（2）可知/ABE=/ACO

.,.BE=ABCOSZABE=ABCOSZAC0=4X-L=^ZE,

V55

|y|=OBtan/ABE=OBtan/ACO=3X2=3,

22

.•.当y=-2时，即点F（o,-3）,近"CF+BF有最小值为色区;

2255

（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：

由（3）易得F（0,-3）,

2

设Q(l,m),过点Q作QMJ_y轴于点M.

贝(IRtAQHM^RtAFQM

.,.QM2=HM»FM,

.•.「=(2-m)(m+3),

2

解得：m=1土病,

4_

则点Q(1,出旦或(1,土运)

44

当点H为直角顶点时：

点H(0,2),则点Q(1,2)；

当点F为直角顶点时：

同理可得：点Q(1,一旦)；

2

综上，点Q的坐标为：(1,上后1.)或(1,上叵.)或Q(1,2)或Q(1,一旦).

442

11.【解答】解：(1):•抛物线y=2x?-2x-3过(0,-3),

二设其衍生抛物线为y=ax?-3,

；y=2x2-2x-3=2(x~—)2~—,

22

二衍生抛物线为y=ax?-3过抛物线y=2x?-2x-3的顶点(［，-工)，

22

.7_1Q

24

解得a=-2,

二衍生抛物线为y=-2x2-3.

设衍生直线为y=kx+b,

：y=kx+b过(0,-3),(1,-4),

.[-3=0+b

I-4=k+b

.(k=-l

"lb=-3'

,衍生直线为y=-x-3.

故答案是：y=-2x?-3；y=-x-3；

(2)I•衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点,

f2

・二将y=-2x?+l和y=-2x+l联立，得,y—2x+1,

y=-2x+l

解得(x=°或卜=1,

Iy=lly=-l

:衍生抛物线y=-2x?+l的顶点为(0,1),

二原抛物线的顶点为(1,-1).

设原抛物线为y=a(x-1),-I,

Vy=a(x-1)'-1过(0,1),

1=a(0-1)~-1,

解得a—2,

原抛物线为y=2x2