苏科版八年级数学上册压轴题攻略专题12易错易混集训：利用勾股定理求解易错压轴题四种模型全攻略(原卷版+解析)

专题12易错易混集训：利用勾股定理求解易错压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】 1【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】 3【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】 8【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】 17【典型例题】【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·湖南湘西·八年级校联考期中）直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为．【变式训练】1．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）某三角形两边的长为4和5，要使该三角形为直角三角形，则第三边长为（）A．3或 B． C．或3 D．不确定2．（2023春·甘肃平凉·八年级校考阶段练习）若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为．3．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____．4．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，为边上的高，，,的面积为12，边的长为．【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的高长为3，且，，则的周长是___________．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．3．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在中，是边上的高，，，，则的面积为______．4．（2023春·广东广州·八年级广州市天河中学校考期中）如图，在中，，动点从点出发沿射线BC以的速度运动，设运动的时间为，为直角三角形时，则的值_______．【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于．

【变式训练】1．（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）如果等腰三角形的两边长为分别为和，那么等腰三角形的周长为．2．（2023·江西新余·统考一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是．3．（2023春·江西九江·八年级统考期中）如图是一张长方形纸片，已知，现要剪下一张等腰三角形纸片（），则等腰三角形的底边长是．

4．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．(1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值．5．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．【解决问题】（3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．

【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（

）．（杯壁厚度不计）A．20 B．25 C．30 D．40【变式训练】1．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去受食，那么它爬行的最短路程是．2．（2023春·山东青岛·八年级统考开学考试）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E，则他滑行的最短距离约为m．（取3）

3．（2023春·安徽六安·八年级校考期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是，在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处沿盒子表面爬到处去吃，求小虫爬行的最短路程．

4．（2023秋·河南郑州·八年级郑州市扶轮外国语学校校考开学考试）如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．

(1)求线段的长；(2)一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?5．（2022春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为，，，如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要______；(2)如图2，长方体的棱长分别为，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？6．（2023秋·海南海口·八年级校考期末）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．

(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．(2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．

专题12易错易混集训：利用勾股定理求解易错压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】 1【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】 3【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】 8【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】 17【典型例题】【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·湖南湘西·八年级校联考期中）直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为．【答案】或5/5或【分析】分4为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：当4为直角边时，由勾股定理，得：第三边的长为；当4为斜边时，由勾股定理，得：第三边的长为；故答案为：或5【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．注意，分类讨论．【变式训练】1．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）某三角形两边的长为4和5，要使该三角形为直角三角形，则第三边长为（）A．3或 B． C．或3 D．不确定【答案】C【分析】根据勾股定理定理可进行求解．【详解】解：当5为该直角三角形的斜边时，则第三边长为；当4、5为该直角三角形的两直角边时，则第三边长为；故选C．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023春·甘肃平凉·八年级校考阶段练习）若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为．【答案】13或【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】解：当12和5均为直角边时，第三边；当12为斜边，5为直角边，则第三边，故第三边的长为13或．故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为_____．【答案】或【分析】先根据非负数的性质求出a与b的长，再分两种情况根据勾股定理计算即可．【详解】解：由题意得，，，解得：，，当为直角边时，直角三角形的第三条边长，当为斜边时，直角三角形的第三条边长，故答案为：或．【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．4．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．【答案】5或##或【解析】【分析】分两种情况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，故答案为：或【点睛】本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，为边上的高，，,的面积为12，边的长为．【答案】5或/或5【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时为锐角三角形，在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理求出的长即可；如图2所示，此时为钝角三角形，同理求出的长即可．【详解】解：分两种情况考虑：∵，，的面积为12，，∴，∴，①当在内，如图所示，在中，根据勾股定理得：，∴，在中，根据勾股定理得：；②当在外，如图所示，在中，根据勾股定理得：，∴，在中，根据勾股定理得：；故答案为：5或．【点睛】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的高长为3，且，，则的周长是___________．【答案】或【分析】分情况利用勾股定理求出各边的长，继而根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：如图1：

，，，所以三角形的周长；如图2：

，，，所以三角形的周长；故答案为：或．【点睛】本题考查勾股定理，关键是根据题意画出图形，分情况讨论．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．【答案】或【解析】【分析】根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．3．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在中，是边上的高，，，，则的面积为______．【答案】30或18/18或30【分析】分两种情况求解，首先利用勾股定理即可求得的长，再利用三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：分两种情况：（1）如图，当在的内部时，是边上的高，，在中，，在中，，，，（2）如图，当在的外部时，是边上的高，，在中，，在中，，，，故答案为：30或18．【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，注意分类讨论求得的长是解决本题的关键．4．（2023春·广东广州·八年级广州市天河中学校考期中）如图，在中，，动点从点出发沿射线BC以的速度运动，设运动的时间为，为直角三角形时，则的值_______．【答案】或【分析】当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的值即可．【详解】在中，由勾股定理得：，，由题意得：．，①当为直角时，如图①，点与点重合，，；②当为直角时，如图②，．，，在中，，在中，，即，解得，故答案为：或．【点睛】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类讨论，否则会出现漏解．【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于．

【答案】或或【分析】根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t．【详解】解：在中，，由勾股定理得：（cm），由题意可知共三种情况，如下：①时，，则，

∴，解得；②当时，，

所以，③当时，即，

所以，综上所述，当t的值为或或；故答案为：或或【点睛】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分类讨论思想，能够正确地分类是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）如果等腰三角形的两边长为分别为和，那么等腰三角形的周长为．【答案】或/13或11【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：等腰三角形的两边长为分别为和，∴①边长分别为，，，∵，即，能构成等腰三角形，∴该等腰三角形的周长为：；②边长分别为，，，∵，即，能构成等腰三角形，∴该等腰三角形的周长为：；故答案为：或．【点睛】本题主要考查等腰三角形三边关系，掌握构成三角形三边大小关系，等腰三角形的性质是解题的关键．2．（2023·江西新余·统考一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是．【答案】或或【分析】分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到的值．【详解】解：，，，，，分三种情况讨论：如图所示，当点与点重合时，，

，，，，即是等腰三角形，此时，；如图所示，当时，是等腰三角形，

，由折叠可得，，，又，是等腰直角三角形，设，则，中，，解得，舍去，；如图所示，当点与点重合时，，

，，即是等腰三角形，此时，综上所述，当是等腰三角形时，的值是或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．3．（2023春·江西九江·八年级统考期中）如图是一张长方形纸片，已知，现要剪下一张等腰三角形纸片（），则等腰三角形的底边长是．

【答案】或或5【分析】分情况讨论：①当时，则是等腰直角三角形，得出底边即可；②当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等边即可；③当时，底边；即可得出结论．【详解】解：如图所示：

①当时，∵，∴是等腰直角三角形，∴底边；②当时，∵，∴，∴底边；③当时，底边；综上所述：等腰三角形的底边长为或或5；故答案为：或或5．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．4．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．(1)求边的长；(2)当为直角三角形时，求t的值；(3)当为等腰三角形时，求t的值．【答案】(1)3cm(2)3或(3)5或6或【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；（2）由题意可得：，，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；（3）当为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．【详解】（1）解：∵在中，，，，∴．（2）解：当时，点与点重合，∴，即；当时，如下图所示：∴．∵，∴，解得：．综上：当为直角三角形时，或；（3）解：当时，如下图所示：∵，∴，即．当时，如下图所示：∴；当时，如下图所示：则，，在中，，即，解得：．综上：当为轴对称图形时，或或．【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．5．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．【解决问题】（3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．

【答案】（1）不是（2）的度数为或（3）的长为或【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解；（2）分两种情况求解，或，分别求解即可；（3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可．【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为，∴等腰三角形的两个底角度数分别为，，∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”；（2）∵是“准等边三角形”，，，∴分两种情况：当时，∴，∴；当时，∵，∴，∴°，∴；

………．综上所述：的度数为或；（3）∵，，，∴，，∵是“准等边三角形”，∴分两种情况：当时，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴；当时，过点D作，垂足为E，

∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，设，在中，，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；综上所述：的长为或．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题．【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（

）．（杯壁厚度不计）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去受食，那么它爬行的最短路程是．【答案】【分析】将台阶展开，得到一直角边长为，另一直角边为的直角三角形，求其斜边即可．【详解】将台阶展开，得到一直角边长为，另一直角边为的直角三角形，所以最短距离为，故答案为：．【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理，熟练掌握展开图，勾股定理是解题的关键．2．（2023春·山东青岛·八年级统考开学考试）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E，则他滑行的最短距离约为m．（取3）

【答案】【分析】要求滑行的最短距离，需将该U形池的侧面展开，进而根据两点之间线段最短，得出结论．【详解】解：U形池的侧面展开图如图：

由题意，，，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了最短路径问题，把U形池的侧面展开矩形，化曲面为平面是解题的关键．3．（2023春·安徽六安·八年级校考期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是，在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处沿盒子表面爬到处去吃，求小虫爬行的最短路程．

【答案】从E处爬到C处的最短路程是．【分析】根据题意易知可分两种情况进行展开，如图所示，然后根据勾股定理求出最短路程，最后比较即可．【详解】解：分两种情况：①如图展开，连接EC，

在中，，，由勾股定理得：；②如图展开，连接EC，

根据勾股定理同法可求；故从E处爬到C处的最短路程是．【点睛】本题主要考查几何图形的展开图及勾股定理，熟练掌握几何图形的展开图及勾股定理是解题的关键．4．（2023秋·河南郑州·八年级郑州市扶轮外国语学校校考开学考试）如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．

(1)求线段的长；(2)一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?【答案】(1)(2)蚂蚁爬行的最短距离是【分析】（1）根据长方体的性质求出，利用勾股定理即可求解；（2）将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解,根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较．【详解】（1）解：，，，线段的长为．（2）解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图

∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∴蚂蚁爬行的最短距离是．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．5．（2022春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为，，，如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要______；(2)如图2，长方体的棱长分别为，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部