2024年黑龙江省龙东地区中考数学试题含答案

黑龙江省龙东地区2024年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列计算正确的是（）A. B. C. D.2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A.3 B.4 C.5 D.64.一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A.1 B. C. D.5.关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（）A. B. C.且 D.且6.已知关于x的分式方程无解，则k的值为（）A.或 B. C.或 D.7.国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）A.5 B.4 C.3 D.28.如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是（）A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.59.如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（）

A. B. C. D.10.如图，在正方形中，点H在边上（不与点A、D重合），，交正方形外角的平分线于点F，连接交于点M，连接交于点G，交于点N，连接．则下列结论：①；②点G是的中点；③若点H是的中点，则；④；⑤若，则，其中正确的结论是（）A.①②③④ B.①③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11.国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是亿斤，将亿用科学记数法表示为________．12.在函数中，自变量x的取值范围是________．13.已知菱形中对角线相交于点O，添加条件_________________可使菱形成为正方形．14.七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是________．15.关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________．16.如图，内接于，是直径，若，则________．17.若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________．18.如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是________．19.矩形中，，，将沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线于点（点P不与点B重合），点的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则长为________．20.如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是________．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：，其中．22.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；（2）画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）23.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．（1）求抛物线的解析式．（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．24.为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：组别分组（cm）频数A3BmC20D14E5（1）频数分布表中，扇形统计图中．（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别．（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？25.甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车的速度是；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．26.已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．

（1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．27.为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？（2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？28.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（），的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.【答案】C【解析】解：A、，故选项A计算错误，此选项不符合题意；B、，故选项B计算错误，此选项不符合题意；C、，此选项计算正确，符合题意；D、，故选项D计算错误，此选项不符合题意；故选：C．2.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：B．3.【答案】B【解析】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．故选B．4.【答案】D【解析】平均数为：方差为：故选：D．5.【答案】D【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，且，即，解得：，的取值范围是且．故选：D．6.【答案】A【解析】解：去分母得，，整理得，，当时，方程无解，当时，令，解得，所以关于x的分式方程无解时，或．故选：A．7.【答案】B【解析】解：设购买支笔记本，个碳素笔，依题意得：，．又，均为正整数，或或或，共有4种不同的购买方案．故选：B．8.【答案】A【解析】如图，过点A作，垂足为F，设，，∵轴，，∴轴，，∴，∴，∵E为的中点，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：A．9.【答案】C【解析】解：连接，如图，∵菱形中，与互相垂直平分，又∵点是的中点，∴A、O、C三点在同一直线上，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，故选：C．10.【答案】A【解析】连接，如图，∵四边形是正方形，∴，，，垂直平分，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴点B、H、D、F四点共圆，∴，，∴，故①正确，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点G是的中点，故②正确，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正确，∴，若，则，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故⑤错误，如图，③若点H是的中点，设，即，∴，∴，同理可证明，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴在中，，，故③正确，则正确的有：①②③④，故选：A．二、填空题（每小题3分，共30分）11.【答案】【解析】亿，亿故答案为：12.【答案】##【解析】解：根据题意得，，且，解得，，故答案为：．13.【答案】或【解析】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：；故添加的条件为：或．14.【答案】【解析】解：画树状图如下：由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：，故答案为：．15.【答案】【解析】解：由，得：，由，得：，不等式组恰有3个整数解，这3个整数解是0，1，2，，解得，故答案为：．16.【答案】【解析】解：如图所示，连接，∵内接于，是直径，∴，∵,，∴∴，故答案为：．17.【答案】【解析】根据圆锥侧面积公式：，可得解得：，，解得，侧面展开图的圆心角是．故答案为：．18.【答案】【解析】解：取的中点M，连接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分别是的中点，∴．如图，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值，最大值为，故答案为：．19.【答案】或或10【解析】解：①点的对称点落在矩形对角线上，如图1，∵在矩形中，，，由折叠性质可知：，∴∴∴，∴∴；②点的对称点落在矩形对角线上，如图2，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折叠性质可知：，，∴∴；③点的对称点落在矩形对角线延长线上，如图3，∵在矩形中，，，，∴，∴，由折叠性质可知：，，∴∴；综上所述：则长为或或10．故答案为：或或10．20.【答案】【解析】解：正方形顶点M的坐标为，,是等边三角形，点B坐标是，等边三角形高为，由题知，的坐标是；的坐标是；的坐标是；继续滚动有，的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组，，的坐标与的坐标一样为，故答案为：．三、解答题（满分60分）21.【答案】，【解析】解：原式，当时原式．22.【答案】（1）作图见解析，（2）作图见解析，（3）【解析】【小问1详解】解：如图，为所求；点的坐标为，【小问2详解】如图，为所求；，【小问3详解】，点B旋转到点的过程中所经过的路径长．23.【答案】（1）（2）存在，点P的坐标是，的面积最大值是【解析】【小问1详解】解：将，代入得，解得：【小问2详解】解：对于，令则解得，，∴，∴∵，∴，过点P作轴于点E，如图，设，且点P在第二象限，∴∴∵，∴有最大值，∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为24.【答案】（1）8，40（2）C（3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人【解析】【小问1详解】解：被抽取的学生数为：(人)故（人），，即，故答案为：，；【小问2详解】解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，，，把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C组，答案为：C；【小问3详解】解：（人）答：该校立定跳远成绩合格的男生有人．25.【答案】（1）30，40（2）的函数解析式是（3）经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等【解析】【小问1详解】解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（）∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h，∴乙货车速度，故答案为：30；40【小问2详解】甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点设∴解得：，∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式【小问3详解】设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，①两车到达配货站之前：，解得：,②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：，解得：，③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：，解得：，答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等．26.【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析【解析】解：图②的结论是：证明：∵∴是等边三角形，∴，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，

，，，又即又，，；∵∴，∴，∴，在中,可得：即整理得图③的结论是：证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，

，，，又即又，，在中，，，，在中,可得：即整理得27.【答案】（1）购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元（2）共有3种购买方案（3）学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元【解析】【小问1详解】解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：，解得：，答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；【小问2详解】解：设购买甲种品牌毽子