《3.3.2 简单的线性规划问题》讲义

《3.3.2简单的线性规划问题》讲义一、知识简介1、二元一次不等式（组）表示的平面区域对于二元一次不等式$Ax＋By+C>0$（或$＜0$），在平面直角坐标系中，它表示直线$Ax＋By＋C＝0$某一侧所有点组成的平面区域。我们可以通过取特殊点（一般取原点$（0,0)＄，当$C\neq0$时）来判断区域。如果特殊点满足不等式，那么这个点所在的一侧就是不等式表示的区域；如果不满足，那么另一侧就是。例如，对于不等式$x＋y1>0$，把原点$（0,0)＄代入，得到$0＋0-1=－1<0$，所以原点不在$x＋y1>0$表示的区域内，那么$x＋y1>0$表示的区域就是直线$x＋y1＝0$不含原点的那一侧。2、线性规划的有关概念目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量$x$，＄y$的解析式，例如$z＝2x＋y$。线性目标函数：目标函数是关于变量$x$，＄y$的一次解析式，就像上面的$z＝2x＋y$就是线性目标函数。约束条件：由变量$x$，＄y$的不等式（组）组成的不等式组，例如$＼begin{cases}x＋y\leqslant3\＼x\geqslant0\＼y\geqslant0\end{cases}＄。线性约束条件：约束条件中的不等式都是关于变量$x$，＄y$的一次不等式。可行解：满足线性约束条件的解$（x,y)＄。可行域：由所有可行解组成的集合，也就是线性约束条件表示的平面区域。最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。二、精讲精练（一）求线性目标函数的最值1、例1设$z＝2x＋y$，式中变量$x$，＄y$满足约束条件$＼begin{cases}x＋y\geqslant1\＼xy\leqslant1\＼y\leqslant3\end{cases}＄，求$z$的最大值和最小值。首先，我们要画出可行域。对于$x＋y\geqslant1$，直线$x＋y＝1$，取点$（0,0)＄代入不等式，＄0+0＝0<1$，所以$x＋y\geqslant1$表示直线$x＋y＝1$含点$（1,0)＄和$（0,1)＄那一侧。对于$xy\leqslant1$，直线$xy＝1$，取点$（0,0)＄代入，＄00=0\leqslant1$，所以$xy\leqslant1$表示直线$xy＝1$含原点那一侧。对于$y\leqslant3$，就是直线$y＝3$及其下方的区域。那么可行域就是这几个区域的公共部分。然后，我们把目标函数$z＝2x＋y$变形为$y=－2x＋z$，＄z$的几何意义就是直线$y=－2x＋z$在$y$轴上的截距。当直线$y=－2x＋z$经过可行域内的点时，截距$z$就会发生变化。我们通过平移直线$y=－2x$来找到截距的最值。经过计算，当直线经过点$（1,2)＄时，＄z$取得最小值，＄z_{min}＝2\times(－1)＋2＝0$；当直线经过点$（2,3)＄时，＄z$取得最大值，＄z_{max}＝2\times2+3＝7$。（二）互动环节1、同学们，现在大家自己试着改变一下这个目标函数，比如设$z＝3x2y$，约束条件不变，来求一下$z$的最大值和最小值。（给同学们一些时间去计算，然后让同学分享自己的思路和答案）（三）实际应用中的线性规划问题1、例2某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、B种矿石不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t），能使利润总额达到最大？设生产甲产品$x$吨，生产乙产品$y$吨。利润$z＝600x+1000y$。约束条件为：＄＼begin{cases}10x＋4y\leqslant300\＼5x+4y\leqslant200\＼4x＋9y\leqslant360\＼x\geqslant0,y\geqslant0\end{cases}＄。同样，先画出可行域。对于$10x＋4y\leqslant300$，直线$10x＋4y＝300$，取点$（0,0)＄代入，＄0+0＝0\leqslant300$，表示直线含原点那一侧。对于$5x+4y\leqslant200$，直线$5x＋4y＝200$，取点$（0,0)＄代入满足不等式，表示含原点那一侧。对于$4x＋9y\leqslant360$，直线$4x＋9y＝360$，取点$（0,0)＄代入满足不等式，表示含原点那一侧。然后把目标函数$z＝600x＋1000y$变形为$y=＼frac{3}｛5}x+＼frac{z}｛1000}＄。通过平移直线找到最优解。经过计算（这里计算过程同学们要仔细哦），当$x＝12.4$，＄y＝34.4$时，＄z$取得最大值。三、仿真练习1、设$z＝x＋3y$，变量$x$，＄y$满足约束条件$＼begin{cases}xy\geqslant1\＼x＋y\leqslant4\＼y\geqslant1\end{cases}＄，求$z$的最大值和最小值。2、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的$＼frac{2}｛3}＄倍，且对每个项目的投资不能低于5万元。对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润。该公司如何分配资金才能使获得的利润最大？设投资甲项目$x$万元，投资乙项目$y$万元。四、课后作业1、设$z＝4x2y$，变量$x$，＄y$满足约束条件$＼begin{cases}x＋y3\geqslant0\＼x2y\geqslant0\＼y\leqslant3\end{cases}＄，求$z$的最大值和最小值。2、一家化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？五、参考答案1、仿真练习对于第一题：画出可行域后，把目标函数$z＝x＋3y$变形为$y＝＼frac{1}｛3}x+＼frac{z}｛3}＄。当直线经过点$（1,1)＄时，＄z$取得最小值，＄z_{min}＝1＋3\times1＝4$；当直线经过点$（3,1)＄时，＄z$取得最大值，＄z_{max}＝3+3\times1＝6$。对于第二题：利润$z＝0.4x＋0.6y$，约束条件为$＼begin{cases}x＋y\leqslant60\＼x\geqslant\frac{2}｛3}y\＼x\geqslant5,y\geqslant5\end{cases}＄。画出可行域，把目标函数变形为$y＝＼frac{2}｛3}x+＼frac{5}｛3}z$。通过计算（这里大家要认真算哦），当$x＝24$，＄y＝36$时，＄z$取得最大值。2、课后作业对于第一题：画出可行域，把目标函数$z＝4x2y$变形为$y＝2x\frac{z}｛2}＄。当直线经过点$（6,3)＄时，＄z$取得最大值，＄z_{max}＝4\times62\times3＝18$；当直线经过点$（2,1)＄时，＄z$取得最小值，＄z_{min}＝4\times2-2\times1＝6$。对于第二题：设生产甲种肥料$x$车皮，生产乙种肥料$y$车皮，利润$z＝10000x+500