数学自我小测：球的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测第一课时1设M、N是球O半径OP上的两点，且NP＝MN＝OM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面,截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为（)A．3∶5∶6B．3∶6∶8C．5∶7∶92长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝eq\r（3），AA1＝1,则顶点A、B间的球面距离是（）A．2eq\r（2)πB.eq\r(2)πC.eq\f(\r(2)π，2）D.eq\f(\r（2）π,4)3已知地球的半径为R，甲、乙两地都在0°经线上，且甲在赤道上，若甲、乙两地的球面距离为eq\f(π,4)R,则乙地在的纬线是（）A．北纬45°B．南纬45°C．北纬45°或南纬45°D．北纬90°4(2008高考江西卷，理10）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2eq\r(7）、4eq\r(3）,M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1.其中真命题的个数为()A．1B．2C．35半径为12的球面上P、Q、R三点,每两点间的球面距离均为6π，则球心到过P、Q、R的三点的截面的距离是（)A．6eq\r(2)B．6eq\r(6）C．4eq\r(6）D．4eq\r（3）6已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝6,AC＝2eq\r（13），AD＝8，则B、C两点间的球面距离是__________．7如图所示，一个半径为eq\r(21）的球O中有一个各棱长都相等的内接正三棱柱ABC—A1B1C1，则这个正三棱柱的棱长是________．8如图，正四面体的四个顶点都在半径为3的一个球面上，求这个正四面体的高．9A、B、C是半径为1的球面上三点，B、C两点间的球面距离为eq\f（π,3）,点A与B、C两点间的球面距离都为eq\f（π,2),球心为O,求：（1)∠BOC、∠AOB、∠AOC的大小；（2)球心到截面ABC的距离．10设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是eq\f(π,2)，且二面角BOAC的大小为eq\f(π，3)，求从A点沿球面经过B、C两点再回到A点的最短距离．第二课时1一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A.eq\f(\r（6π),6)B.eq\f（\r(2),2)C。eq\f（\r（2π)，2)D.eq\f（3\r（π）,2π)2用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π，则球的体积为（）A.eq\f(8π，3）B.eq\f(8\r(2)π，3）C．8eq\r（2）πD。eq\f（32π,3)3设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB＝BC＝CD＝DA＝3，球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的体积是(）A．8eq\r(6)πB．64eq\r(6)πC．24eq\r（2)πD．72eq\r（2)π4一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为4eq\r（3）π，则该正方体的表面积为__________．5在体积为4eq\r(3)π的球的表面上有A、B、C三点，AB＝1,BC＝eq\r(2），A、C两点的球面距离为eq\f（\r（3）π，3)，则球心到平面ABC的距离为__________．6如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r（3)，则球O的体积等于__________．7设OA是球O的半径，M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于eq\f（7π,4),则球O的表面积等于__________．8已知底面边长为2的正四棱柱内接于半径为2的球，求正四棱柱的体积．9已知圆锥内切球的面积等于底面积与侧面积和的一半，求母线与底面夹角的正弦值．10过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、MB、MC，求证：MA2＋MB2＋MC2为定值．

参考答案第一课时1解析：作出球的轴截面图如右图．设球的半径为3R，则MM′＝eq\r（9R2－R2)＝eq\r（8)R，NN′＝eq\r（9R2－4R2)＝eq\r（5)R。∴所截三个圆的面积之比为：[π·（eq\r（5)R)2]∶［π·(eq\r（8)R）2］∶［π·（3R）2]＝5∶8∶9.答案:D2解析：如图，由题意知球心O为长方体的体对角线BD1的中点．又|BD1|＝eq\r（12＋22＋\r（3)2）＝2eq\r（2)，∴长方体外接球半径为eq\r(2)。∴｜OA|＝｜OB|＝eq\r(2）。又|AB｜＝2,∴|OA|2＋|OB｜2＝｜AB|2.∴∠AOB＝eq\f(π，2).∴A、B间的球面距离为eq\f(π,2）·eq\r(2）＝eq\f(\r(2）π，2).答案：C3解析：甲、乙两地所对的“球心角”为eq\f(180°，4)＝45°.∴乙在北纬45°或南纬45°的纬线上．答案：C4解析：①③④为真命题，②为假命题．答案：C5解析：如图．设两点间的大圆圆弧所对的圆心角为α，则α·r＝l，即α＝eq\f(l，r)＝eq\f（6π，12）＝eq\f(π，2)。又OP＝OQ＝OR＝12，PO⊥QO,PO⊥OR，OQ⊥OR，则PO⊥平面QOR，且PQ＝QR＝PR＝12eq\r（2).设点O到平面PRQ的距离为h.因为VO—PQR＝VP-ROQ，所以eq\f（1,3)S△PQR·h＝eq\f(1,3）S△OQR·PO。解得h＝4eq\r(3)。答案：D6解析：如图所示，由条件可知AC⊥CD,以AD为球的定弦，分别连结球面上的B、C两点，均有AB⊥BD，AC⊥CD。由此可知AD为该球的直径,设AD的中点为O,则O为球心，连接OB、OC，由AB＝6,AD＝8，AC＝2eq\r(13）得球的半径OB＝OC＝OA＝OD＝4，BC＝4，所以球心角∠BOC＝eq\f（π，3）.所以B、C两点间的球面距离为eq\f（4π，3）。答案:eq\f(4π,3）7解析：设△A1B1C1的外接圆的圆心为O1，半径为r，连结OC1、OO1、O1C设棱长为a，eq\f（a，\f（\r(3）,2))＝2r,r＝eq\f（a,\r(3))。在Rt△OO1C1中，OC1＝R,OO1＝eq\f(a,2）,O1C1＝r，∴R2＝r2＋OOeq\o\al（2，1)。∴21＝eq\f（a2，3）＋eq\f(a2，4）。∴a2＝36。∴a＝6.答案：68解：设正四面体的棱长为x,△ABC的中心为H,球心为O.在Rt△AHO中,OH2＝OA2－AH2＝32－(eq\f（\r（3）,3）x)2，又在Rt△AHS中,SH2＝SA2－AH2，∴SH2＝x2－(eq\f（\r（3）,3）x）2＝eq\f(2，3)x2,SH＝eq\r（\f（2，3）)x,OH＝eq\r(\f(2，3））x－3。∴(eq\r（\f(2，3))x－3）2＋(eq\f(\r(3）,3）x）2＝9。则x＝2eq\r（6).∴正四面体的高为eq\r(SA2－AH2)＝eq\r(2\r(6）2－\f(2，3）×\f(\r（3），2)×2\r(6）2）＝4，即正四面体的高为4。9解：（1）∠BOC＝eq\f(\f(π,3),1)＝eq\f（π，3)，∠AOB＝eq\f(\f（π,2),1)＝eq\f(π，2)，∠AOC＝eq\f（\f(π,2)，1）＝eq\f（π,2).(2）连结OA、OB、OC、AB、AC、BC得三棱锥O—ABC，设OH⊥平面ABC于H，则h＝OH为球心到截面ABC的距离．由OA⊥OB，OA⊥OC得OA⊥平面OBC,VO—ABC＝eq\f(1，3）·1·S△OBC＝eq\f（1，3）×eq\f（\r(3)，4）＝eq\f(\r（3）,12）。又VO—ABC＝eq\f（1,3)·h·S△ABC＝eq\f（1,3)·h·eq\f（1,2）·eq\f(\r(7),2)，∴eq\r（3）＝eq\r（7)h，即h＝eq\f(\r（21）,7）。10解：如图所示，因为A到B、C两点的球面距离都是eq\f(π，2）,又球的半径为1，所以∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,2），即AO⊥OB,AO⊥OC.所以∠BOC即为二面角BOAC的平面角,即∠BOC＝eq\f（π,3）.所以B、C两点间的球面距离为eq\f（π，3）。从而从A点沿球面经过B、C两点再回到A点的最短距离是eq\f(π,2)＋eq\f(π，2)＋eq\f（π，3)＝eq\f(4π,3).第二课时1答案:A2解析：截面面积为π,则该小圆的半径为1，设球的半径为R,则R2＝12＋12＝2,∴R＝eq\r（2），V＝eq\f（4π,3)R3＝eq\f(8\r（2)π，3).答案:B3解析:A、B、C、D所在平面截球面得一圆，且A、B、C、D内接于该圆．由AB＝BC＝CD＝DA可知四边形ABCD为边长是3的正方形．故该圆半径r＝eq\f(3，2）eq\r(2）.设该圆圆心为O1，球心为O，球半径为R,则在Rt△OO1A中，OA2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1A2,即R2＝（eq\f(R,2））2＋(eq\f（3,2)eq\r（2)）2，于是R＝eq\r(6)。于是，球体积V＝eq\f（4,3）πR3＝eq\f(4,3)π·6eq\r(6）＝8eq\r（6）π。答案:A4解析：设正方体的棱长为a，球的半径为r，则2r＝eq\r（3）a,∴a＝eq\f(2,3）eq\r（3)r。∵eq\f(4，3）πr3＝4eq\r(3）π,∴r＝eq\r(3)。∴a＝2。∴正方体的表面积为6a2＝24.答案：245解析：设球的半径为R,则eq\f（4π,3）R3＝4eq\r(3）π,∴R＝eq\r(3）.设球心为O,则∠AOC＝eq\f（π，3)，∴AC＝eq\r（3).∵AB＝1，BC＝eq\r（2)，∴∠ABC＝90°。∴球心到平面ABC的距离为eq\r(\r(3)2－\f(\r(3),2）2）＝eq\f(3，2）.答案：eq\f(3,2）6解析：球O即棱长为eq\r（3）的正方体的外接球,其半径r＝eq\f(\r(\r(3）2＋\r(3)2＋\r(3）2）,2）＝eq\f（3,2）。V＝eq\f(4π，3）r3＝eq\f（9π,2).答案：eq\f（9π，2）7解析：如图所示,设球半径为R,球心O到截面圆的距离为d，在Rt△ONB中，d2＝R2－BN2。①又∵π·BN2＝eq\f(7π,4）,∴BN2＝eq\f(7,4）.在△ONM中，d＝OM·sin45°＝eq\f(R，2)·eq\f（\r(2），2）,②将②代入①得eq\f（R2,8)＝R2－eq\f（7,4）,∴R2＝2.∴S球＝4πR2＝8π.答案：8π8解：设正四棱柱的高为h,则其对角线长为eq\r（22＋22＋h2)。∵正四棱柱内接于球，∴正四棱柱的对角线长等于球的直径．∴eq\r（22＋22＋h2）＝2×2。∴h＝2eq\r(2)。∴V正四棱柱＝22·2eq\r(2）＝8eq\r(2)，即正四棱柱的体积为8eq\r(2).9解：圆锥的轴截面是等腰三角形，球的大圆O恰是△ABC的内切圆，设圆锥的母线为l,底面半径为r，球半径为R，母线和底面夹角为2θ，则r＝Rcotθ，l＝eq\f(r，cos2θ）＝eq\f(Rcotθ，cos2θ）。则有4πR2＝eq\f(1，2)［πRcotθ（Rcotθ＋eq\f（Rcotθ，cos2θ))］,化简整理，得(3cos2θ－2）2＝0，∴cos2θ＝eq\f（2，3），sin2θ＝eq\f（1，3).∴sin2θ＝2sinθ·cosθ