数学课前导引：从力做的功到向量的数量积_第1页
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学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§5从力做的功到向量的数量积课前导引问题导入【问题】向量的数量积与向量的加法、减法，实数与向量的积之间有何区别？思路分析:两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算,其结果是数量(而不是向量）；前面学习的向量的加法、减法，实数与向量的积,其结果仍然是向量，这个区别应引起重视。知识预览一、两平面向量的夹角两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角.1。如右图，已知两个向量a、b，作,=a，=b，则∠AOB叫做向量a、b的夹角.2.两个向量a、b的夹角θ∈［0,π］。当θ=0时,a、b同向；当θ=π时，a、b反向;当θ=90°时，两向量a与b垂直，并记作a⊥b。二、平面向量数量积的含义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b｜cosθ叫做a与b的数量积（linnerproduct）(或内积）,记作a·b,即规定a·b=|a｜|b｜cosθ.其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ（｜b|cosθ)叫作向量a在b方向上（b在a方向上）的投影（projection）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.三、平面向量数量积的运算律1。已知向量a、b、c和实数λ，则有：(1）a·b=b·a；(2)（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb)；(3）（a+b)·c=a·c+b·c。2.运算律的证明：(1）a·b=|a｜|b|cosθ=|b|｜a｜cosθ=b·a.(2)(λa）·b=λ｜a|｜b|cosθ=λ(｜b|｜a|cosθ）=λa·b，又λ|a||b|cosθ=aλbcosθ=a·（λb），∴（λa)·b=λ（a·b）=a·（λb）。（3)如右图所示，任取一点O,作=a，=b，=c。因为a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和,即|a+b|cosθ=|a｜cosθ1+｜b｜cosθ2,∴|c｜|a+b|cosθ=｜c|｜a|cosθ1+｜c||b｜cosθ2。∴c·(a+b)=c·a+c·b.∴(a+b）·c=a·c+b·c.说明：①两个向量的数量积是个实数，而不是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角的余弦的乘积,其

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