数学学案：第一讲一不等式（第课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．不等式的基本性质1．掌握不等式的基本性质．2．会利用基本不等式的性质证明不等式和比较大小．1．两个实数大小的比较(1）a＞b________；(2)a＝ba－b____0；(3）______a－b＜0.2．不等式的基本性质(1）如果a＞b，那么b＜a;如果b＜a，那么______，即________。（2)如果a＞b，b＞c，那么______，即a＞b,b＞c______.（3)如果a＞b，那么a＋c____b＋c.(4)如果a＞b，c＞0,那么ac____bc；如果a＞b，c＜0，那么ac____bc。（5)如果a＞b＞0，那么an____bn（n∈N，n≥2)．（6）如果________，那么eq\r（n,a）＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．作差比较法（1)理论依据：__________;__________;__________.（2）方法步骤:①____；②____；③________；④______.①0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆"．②如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.③如果a＞b＞0,c＞d＞0，那么ac＞bd.④如果ab＞0，且a＞b，那么eq\f（1,a)＜eq\f（1,b).【做一做1－1】若a＞b,则下列不等式一定成立的是()A.eq\f（b，a)＜1 B。eq\f(a,b）＞0 C．－a＞－b D．a－b＞0【做一做1－2】若a＜0，－1＜b＜0，则有（）A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a【做一做1－3】已知不等式组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x>a,,x≥b）)的解集为x≥b，则a与b的大小关系是________．答案：1．(1)a－b＞0（2）＝(3）a＜b2．（1)a＞ba＞bb＜a（2)a＞ca＞c（3）＞（4）＞＜(5）＞（6）a＞b＞03．（1)a－b＞0a＞ba－b＝0a＝ba－b＜0a＜b(2)作差整理判断符号下结论【做一做1－1】D【做一做1－2】D∵a＜0,－1＜b＜0，∴ab＞0，ab2＜0，故排除A,B选项；又∵0＜b2＜1,∴ab2＞a.故选D。【做一做1－3】b＞a1．使用不等式的性质时要注意的问题剖析：（1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b＜ca＜c。（2）在乘法法则中,要特别注意乘数c的符号，例如当c≠0时，有a＞bac2＞bc2；若无c≠0这个条件，则a＞bac2＞bc2就是错误结论（当c＝0时,取“＝”）．（3)a＞b＞0an＞bn＞0成立的条件是“n为大于1的自然数”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1,a＝3，b＝2，那么就会出现3－1＞2－1，即eq\f(1，3）＞eq\f（1，2）的错误结论．2．不等式性质中的“”和“”表示的意思剖析：在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种:“”与“”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系"与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0eq\f（1,a）＜eq\f（1，b），而反之则包含几类情况，即若eq\f（1,a）＜eq\f(1,b），则可能有a＞b，ab＞0，也可能有a＜0＜b，即a＞b，ab＞0与eq\f(1,a）＜eq\f(1，b)是不等价关系．3．文字语言与数学符号语言之间的转换剖析：文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤在数学命题中，文字语言的表述通常要“翻译"成相应的数学符号语言，只有准确地转换，才能正确地解答问题．题型一不等式的基本性质【例1】若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A。eq\f(1，a）＜eq\f(1,b） B．a2＞b2 C.eq\f（a,c2＋1）＞eq\f（b，c2＋1） D．a|c|＞b|c｜反思:对于考查不等式的基本性质的选择题，解答时，一是利用不等式的相关性质，其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特殊值，结合排除法去选正确的选项，这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性，如选取0、正数、负数等．题型二用作差法比较大小【例2】当a≠0时，比较（a2＋eq\r(2)a＋1)（a2－eq\r(2)a＋1)与（a2＋a＋1）（a2－a＋1）的大小．分析：比较两个数的大小，将两数作差，若差值为正,则前者大，反之,则后者大．反思:(1）用作差法比较两个数(式）的大小时，要按照“三步一结论"的步骤进行，即：eq\x(作差）→eq\x(变形)→eq\x(定号)→eq\x（结论)，其中变形是关键，定号是目的．(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断，变形的常用技巧有:因式分解、配方、通分、分母有理化等．(3)在定号中,若为几个因式的积，需每个因式均先定号,当符号不确定时，需进行分类讨论．题型三利用不等式的基本性质求范围【例3】已知60＜x＜84，28＜y＜33,则x－y的取值范围为________________，eq\f（x,y)的取值范围为______．反思:本题不能直接用x的范围去减或除以y的范围，应严格利用不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围,再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y"视为整体，即2x＋3y＝eq\f（5,2）(x＋y）－eq\f（1，2)（x－y)，所以需分别求出eq\f（5,2）（x＋y),－eq\f（1,2)(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．题型四易错辨析【例4】已知－eq\f(π，2）≤α＜β≤eq\f(π，2）,求eq\f（α＋β,2)，eq\f（α－β，2)的取值范围．错解：∵－eq\f（π，2）≤α＜β≤eq\f（π，2），∴－eq\f（π,4)≤eq\f（α，2）≤eq\f(π,4），－eq\f(π,4）≤eq\f（β，2）≤eq\f(π，4），因而两式相加得－eq\f(π,2)≤eq\f（α＋β,2)≤eq\f（π,2），又∵－eq\f(π,4）≤－eq\f（β，2)≤eq\f（π，4），∴－eq\f(π,2）≤eq\f(α,2)－eq\f（β,2)≤eq\f（π,2)，∴－eq\f(π，2）≤eq\f（α－β,2)≤eq\f（π,2）.错因分析:在解答本题的过程中易出现－eq\f(π，2）≤eq\f（α＋β，2）≤eq\f（π,2）和－eq\f（π,2)≤eq\f（α－β,2)≤eq\f（π，2）的错误，导致该种错误的原因是忽视了eq\f(α，2）、eq\f（β,2）都不能同时取到eq\f(π,4）和－eq\f(π,4）。反思：求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．答案:【例1】C本题只提供了“a，b,c∈R，a＞b”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选项来进行判断．选项A,还需有ab＞0这个前提条件；选项B,当a，b都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2＞－3，但22＞（－3）2不正确；对于选项C，eq\f(1,c2＋1）＞0，因而正确；选项D，当c＝0时不正确．【例2】解：(a2＋eq\r（2)a＋1)（a2－eq\r（2)a＋1)－（a2＋a＋1）(a2－a＋1)＝(a2＋1）2－2a2－[(a2＋1)2－a2］＝－2a2＋a2＝－a2.又∵a≠0，∴－a2＜0.∴（a2＋eq\r(2)a＋1）(a2－eq\r（2）a＋1)＜（a2＋a＋1)(a2－a＋1）．【例3】(27,56)（eq\f(20,11)，3）x－y＝x＋(－y），∴需先求出－y的范围；eq\f（x，y)＝x×eq\f(1，y），∴需先求出eq\f（1,y）的范围．∵28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28，eq\f（1,33)＜eq\f(1，y）＜eq\f（1，28）.又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，eq\f（60，33）＜eq\f（x,y）＜eq\f(84，28)，即eq\f（20,11)＜eq\f（x,y）＜3。【例4】正解：∵－eq\f（π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π，4）≤eq\f（α，2）＜eq\f(π，4），－eq\f(π,4)＜eq\f（β，2)≤eq\f(π，4）。因而两式相加得－eq\f(π,2)＜eq\f（α＋β，2）＜eq\f(π,2).又∵－eq\f（π,4)＜eq\f(β，2)≤eq\f（π，4)，∴－eq\f(π，4)≤－eq\f(β，2)＜eq\f(π，4)，∴－eq\f（π,2）≤eq\f（α－β，2）＜eq\f(π,2）.又∵α＜β,∴eq\f(α－β，2)＜0，∴－eq\f（π,2）≤eq\f（α－β,2)＜0.即eq\f（α＋β,2)的取值范围为（－eq\f(π，2),eq\f（π,2))，eq\f（α－β，2)的取值范围为［－eq\f(π,2)，0)．1．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是（)A.＜ B.＞ C．a＞b2 D．a2＞2b2．“a＋c＞b＋d"是“a＞b且c＞d”的（)A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设角α，β满足＜α＜β＜，则α－β的取值范围是（）A．－π＜α－β＜0 B．－π＜α－β＜πC．＜α－β＜0 D．＜α－β＜4．设x＝a2b2＋5,y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a,b满足的条件是________．5．比较与2的大小（n≠0）．答案：1．CA项中,若b＜0,则＜不成立；B项中，若a＞b＞0，则＜；C项中，由a＞1,0≤b2＜1，得b2＜a，∴C项正确；D项中，若a＝1。1，b＝0.6,则a2＞2b不成立．2．A∵a＋c＞b＋da＞b且c＞d，但a＞b且c＞da＋c＞b＋d.∴所求条件应为必要不充分条件．3．A∵＜α＜β＜，∴＜－β＜－α＜.∴－π