2023-2024学年辽宁省抚顺市新宾县九年级（上）期中数学试卷

2023-2024学年辽宁省抚顺市新宾县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处。​每小题3分，共30分）1．（3分）﹣的倒数是（）A．﹣ B． C．﹣3 D．32．（3分）垃圾分类不仅有利于提升全社会的文明程度，还可以减少不同垃圾的相互污染，有利于废旧物质的回收利用．下列垃圾分类标识图片既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）方程x2﹣4＝0的两个根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝x2＝2 D．x1＝2，x2＝04．（3分）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝x B． C．y＝x2 D．y＝x﹣25．（3分）在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（）A．14米 B．12米 C．11米 D．10米6．（3分）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD所对的圆心角的度数是（）A．30° B．25° C．10° D．20°7．（3分）2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．600（1+2x）＝2850 B．600（1+x）2＝2850 C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850 D．2850（1﹣x）2＝6008．（3分）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，∠AOB＝45°，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线OE，过点E分别作EG∥OA交OB于点G，EF⊥OA于点F．若EG＝1，则EF的长为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A． B． C．3 D．2二、填空题（每题3分，共15分）11．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是．12．（3分）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有种选择．13．（3分）2023年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍x支，共比赛了210场，则根据题意可列方程：．14．（3分）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），则这块圆柱形木材的直径是寸．15．（3分）如图，点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，连接OA、OB．若函数的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有个．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣2x＝2x+1；（2）x（2x+3）＝2x+3．17．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1请画出△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为．18．（7分）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）．若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由．19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若AC＝4．AE＝2，求⊙O的直径．20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝42°，D为△ABC内一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，连接DE，BD，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）若DE⊥AC，求∠BAD的度数．21．（10分）“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示：（1）设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为w元，求w与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；（2）若小亮每天想获得的销售利润w为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？22．（12分）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．23．（12分）综合与探究如图，顶点为M的抛物线y＝a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△BCM是不是直角三角形，并说明理由；（3）若P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APB＝S△PCM，直接写出点P的坐标．

2023-2024学年辽宁省抚顺市新宾县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处。​每小题3分，共30分）1．【分析】乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：﹣的倒数是﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．2．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项符合题意；B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．3．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：x2﹣4＝0，x2＝4，∴x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键．4．【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数的一般式是y＝ax2+bx+c，其中a≠0．【解答】解：A、y＝x，是正比例函数，故本选项不符合题意；B、，是反比例函数，故本选项不符合题意；C、y＝x2，符合定义，故本选项符合题意；D、y＝x﹣2，是一次函数，故本选项不符合题意；故选C．【点评】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．5．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：当y＝0时，则﹣x2+x+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝12．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．6．【分析】根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可．【解答】解：如图，连接BC，∵∠AOC＝80°，∴∠ABC＝∠AOC＝40°，∵∠P＝30°，∠ABC＝∠P+∠BCD，∴∠BCD＝10°，∴BD所对的圆心角的度数的度数20°．故选：D．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．7．【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．8．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向上，图象的两交点在坐标轴上，故A正确；B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故B错误；C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向上，图象的两交点不在坐标轴上，故C错误．D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故D错误；故选：A．【点评】应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9．【分析】过点E作EH⊥OB于点H，由题意可知，OE为∠AOB的平分线，即可得EF＝EH，由平行线的性质可得∠BGE＝∠AOB＝45°，则EH＝EF＝＝，从而可得答案．【解答】解：过点E作EH⊥OB于点H，由题意可知，OE为∠AOB的平分线，∴EF＝EH，∵EG∥OA，∴∠BGE＝∠AOB＝45°，在Rt△EHG中，EH＝＝，∴EF＝．故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质及作图方法是解答本题的关键．10．【分析】当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而OE是△ABD的中位线，即可求解．【解答】解：令y＝x2﹣1＝0，则x＝±3，故点B（3，0），设圆的半径为r，则r＝1，当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，则OE＝BD＝（BC﹣r）＝（﹣1）＝2，故选：D．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定BD的最小值，进而求解．二、填空题（每题3分，共15分）11．【分析】根据关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣6x+k2﹣k＝0的一个根是0，可以得到k2﹣k＝0且k﹣1≠0，然后求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣6x+k2﹣k＝0的一个根是0，∴k2﹣k＝0且k﹣1≠0，解得k＝0，故答案为：0．【点评】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，写出关于k的方程，注意二次项系数不等于0．12．【分析】利用轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．即可得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：灰色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，故答案为：3．【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确把握轴对称图形的定义．13．【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝210．故答案为：x（x﹣1）＝210．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．【分析】线段OC垂直且平分线段AB，在Rt△ADO中，OD的长为（R﹣1）寸．【解答】解：1尺＝10寸．根据题意可得AD＝AB＝5（寸）．设圆O的半径为R，（R﹣1）2+52＝R2，∴R＝13寸，∴这块圆柱形木材的直径是：13×2＝26（寸）．故答案为：26．【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．15．【分析】过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P1AB的面积、△P2AB的面积、△P3AB的面积和△P4AB的面积都等于△AOB的面积的一半．【解答】解：过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，所以这样的点P共有4个，故答案为4．【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）x2﹣2x＝2x+1，x2﹣2x﹣2x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，，；（2）x（2x+3）＝2x+3，x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，（2x+3）（x﹣1）＝0，2x+3＝0或x﹣1＝0，．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，解题的关键是要根据方程的特点灵活选用合适的方法17．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；（3）对应点连线的交点即为旋转中心．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）旋转中心Q的坐标为（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，掌握旋转变换，平移变换，中心对称变换的性质是解题的关键．18．【分析】设AB的长为x米，则AD的长为（50﹣x）米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．【解答】解：花园的面积不能为625米2，理由如下：设AB的长为x米，则AD的长为（50﹣x）米，由题意得：x（50﹣x）＝625，解得：x1＝x2＝25，当x＝25时，BC＝50﹣x＝50﹣25＝25，即当AB＝25米，BC＝25米＜30米，∴花园的面积不能为625米2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19．【分析】如图，连接OF．由垂径定理得到DE＝EF，，推出，得到DF＝AC＝4，因此EF＝DF＝2，设OA＝OF＝x，由勾股定理，垂径定理得到，求出x，即可得到圆的直径的长．【解答】解：如图，连接OF，∵DE⊥AB，∴DE＝EF，，∵点D是弧AC的中点，，∴，∴DF＝AC＝4，∴EF＝DF＝2，设OA＝OF＝x，∵OF2＝OE2+EF2，∴．∴x＝4，∴⊙O的直径AB＝2x＝8．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆心角、弧、弦的关系得到DF＝AC，由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．20．【分析】（1）根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝42°，求得∠CAE＝∠BAD，根据全等三角形的性质得到BD＝CE；（2）根据等腰三角形的性质得到∠CAE＝DAE＝21°，根据全等三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转42°，得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝42°，∵∠BAC＝42°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：由（1）知AD＝AE，∠DAE＝42°，∵DE⊥AC，∴∠CAE＝DAE＝21°，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＝21°．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．21．【分析】（1）依据题意，首先求出销售量与单价的函数关系式，再表示出利润W，即可得解；（2）依据题意，由（1）得关系式令W＝910，解方程即可得解，注意减少库存进行取舍．【解答】解：（1）由题意，设每天的销售量y与x的一次函数关系为y＝kx+b，∴，∴．∴销售量与单价的关系为y＝﹣10x+300．∴W＝（x﹣10）（﹣10x+300）＝﹣10x2+400x﹣3000．（2）由题意，令w＝910，∴﹣10x2+400x﹣3000＝910．∴x1＝17，x2＝23．又尽可能地减少库存，﹣10×17+300＞﹣23×10+300，∴x＝17．答：应将销售单价定为17元．【点评】本题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．22．【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由题意知旋转角∠PAP′＝60°，∴△APP′为等边三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案为：150°；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，