沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形15-3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质定理及其推论课件

第15章轴对称图形与等腰三角形15.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质定理及其推论知识点1等腰三角形的性质定理1基础过关全练1.(2024广东惠州期末)如图,若AB=AC,BD=CD,∠B=20°,∠

BDC=120°,则∠A等于()A.70°

B.80°

C.90°

D.100°B解析如图,连接BC,∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠DBC=∠

DCB=30°.∵∠ABD=20°,∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=50°.∵

AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=50°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-50°=80°,故选B.2.(2024河北张家口宣化期末)如图,在△ABC中,AB=AC,以点

C为圆心,CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连接BD,

若∠A=32°,则∠CDB的大小为

()A.30°

B.45°

C.50°

D.37°D解析∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ACB=∠ABC=

=74°.又∵BC=DC,∴∠CDB=∠CBD=

∠ACB=37°.3.(2024安徽六安金安校级期末)如图,△ABC中,AB=AC,AD=

DE,∠BAD=24°,∠EDC=12°,则∠DAE的度数为

()A.58°

B.60°

C.62°

D.64°B解析∵AB=AC,AD=DE,∴∠B=∠C,∠DAE=∠DEA.∵∠

ADC=∠BAD+∠B,∠DEA=∠C+∠EDC,∴∠ADE=∠ADC-

∠EDC=∠B+24°-12°=∠B+12°,∠DAE=∠DEA=∠B+12°,∴∠DAE=∠DEA=∠ADE,∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,∴

∠DAE=

×180°=60°.4.(2024湖北咸宁通山期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在

BC上,点E在AC上,且AE=AD,若∠BAD=48°,则∠EDC的度数

为

()A.24°

B.28°

C.30°

D.38°A解析由题图易得∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠

BAD,∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴

∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC,即∠BAD=2∠EDC.∵∠

BAD=48°,∴∠EDC=24°.5.(情境题·数学文化)“三等分角”是古希腊三大几何问题

之一.如图,这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA,OB组

成,两根棒在O点相连并可绕O点转动,C点固定,OC=CD=DE,

点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=72°,则∠AOB=

°.24解析∵OC=CD=DE,∴∠COD=∠CDO,∠DCE=∠DEC.∵

∠DCE=∠COD+∠CDO=2∠COD,∴∠DEC=2∠COD,∴∠

BDE=∠DEC+∠COD=3∠COD,∵∠BDE=72°,∴∠COD=24°,即∠AOB=24°.6.(2024吉林松原乾安期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D为

AC上一点,且满足AD=BD=BC.点F在BC延长线上,连接FD并

延长,交AB于点E,连接AF,求∠BAC和∠ACB的度数.解析设∠BAC=x°,∵AD=BD,∴∠ABD=∠BAC=x°,∴∠BDC=2x°.∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=2x°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2x°.∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴x+2x+2x=180,解得x=36,则∠BAC=36°,∠ACB=72°.知识点2等腰三角形的性质定理27.(一题多变)如图,AD是等腰△ABC的顶角的平分线,BC=10,

则CD的长为()A.6B.5C.4D.3B解析∵△ABC是等腰三角形,AD是△ABC的顶角的平分

线,∴AD是△ABC的中线,∴BD=CD.∵BC=10,∴CD=

BC=5.[变式1]如图,在△ABC中,AC=BC,CD为AB边上的高,∠ACB=

92°,则∠ACD的度数为()A.45°B.46°C.50°D.60°B解析∵AC=BC,CD⊥AB,∴∠ACD=

∠ACB=

×92°=46°.[变式2]如图,AD是△ABC的中线,CE是△ABC的角平分线.若

AB=AC,∠BAD=28°,则∠ACE=

.31°解析∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∴AD是△ABC的角平

分线,∠B=∠ACB,∴∠BAD=∠CAD,∵∠BAD=28°,∴∠CAB=2∠BAD=56°,∴∠ACB=∠B=

=62°.∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=

∠ACB=31°.8.如图,已知△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,过点D作DF⊥

AB,交AC于点E,交BC的延长线于点F.求证:∠F=

∠A.证明如图,过点A作AG⊥BC于点G,

则∠AGB=90°,∴∠B+∠BAG=90°.∵DF⊥AB,∴∠BDF=90°,∴∠B+∠F=90°,∴∠F=∠BAG.∵AB=AC,AG⊥BC,∴AG平

分∠BAC,∴∠BAG=

∠BAC,∴∠F=

∠BAC.知识点3等腰三角形性质定理1的推论9.(2024安徽亳州利辛期末)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥

BC,E为AD上一点,∠CED=55°,则∠ABE等于

()A.10°

B.20°

C.25°

D.30°C解析∵三角形ABC是等边三角形,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,

BD=CD,即AD垂直平分BC.∵点E在AD上,∴BE=CE,∴∠E-

BC=∠ECB.∵∠CED=55°,∴∠EBC=∠ECB=90°-55°=35°.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABE=∠ABC-∠E-

BC=25°.10.(2024北京大兴期末)如图,△ABC是等边三角形,AB=2,AD

平分∠BAC交BC于点D,则线段BD的长为

.1解析∵△ABC是等边三角形,AD平分∠BAC,∴BD=CD,BC

=AB=2,∴BD=

BC=1.11.(教材变式·P140T10)如图,在等边三角形ABC中,D、E分

别是BC、AC上的点,且AE=CD.(1)求证:AD=BE;(2)求∠BFD的度数.解析(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAE=∠C=60°,

AB=CA.在△ABE和△CAD中,

∴△ABE≌△CAD(SAS),∴AD=BE.(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.又∵∠BFD=∠BAD

+∠ABE,∴∠BFD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°.能力提升全练12.(易错题)(2024安徽合肥长丰期末,8,★☆☆)已知等腰△

ABC的一个外角的度数为100°,则∠A的度数不可能是()A.20°

B.50°

C.60°

D.80°C解析当100°的角是顶角的补角时,顶角的度数为180°-100°=80°,底角的度数为100°÷2=50°;当100°的角是底角的补角时,两个底角的度数都为180°-100°=80°,顶角的度数为180°-2×80°=20°.故∠A的度数不可能是60°.故选C.易错警示

本题是陷阱题,没有说明这个外角是顶角的补角还是底

角的补角,所以应该分两种情况进行分析.13.(2024安徽蚌埠禹会期中,6,★★☆)如图,△ABC是等边三

角形,CB=CD,∠ABD=12°,则∠BAD的度数为

()A.10°

B.15°

C.18°

D.20°C解析∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°,∵∠ABD=12°,∴∠DBC=60°+12°=72°.∵CB=CD,∴∠BCD=180°-72°-72°=36°,∴∠DCA=60°-36°=24°.∵CD=CB=CA,∴∠DAC=

×(180°-24°)=78°,∴∠BAD=78°-60°=18°.14.(2024安徽淮南谢家集期中,9,★★☆)如图,在△ABC中,D

为△ABC内一点,过点D的直线EF分别交AB,BC于点E,F,若点

E在AD的垂直平分线上,点F在CD的垂直平分线上,∠ADC=120°,则∠B的度数为()A.55°

B.60°

C.65°

D.70°B解析∵∠ADC=120°,∴∠DAC+∠ACD=60°,∠ADE+∠

CDF=60°.∵E在AD的垂直平分线上,F在CD的垂直平分线

上,∴AE=DE,DF=CF,∴∠EAD=∠ADE,∠CDF=∠DCF,∴

∠EAD+∠DCF=∠ADE+∠CDF=60°,∴∠BAC+∠BCA=60°

+60°=120°,∴∠B=180°-120°=60°.故选B.15.(2022辽宁鞍山中考,5,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,

∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数

为()A.39°

B.40°

C.49°

D.51°A解析∵AB=AC,∠BAC=24°,∴∠B=∠ACB=78°.∵CD=AC,∴∠D=∠CAD,∵∠ACB=∠D+∠CAD,∴∠D=

∠ACB=39°.16.(2024安徽亳州期末,12,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,

∠A=50°,点D是△ABC内的一点,连接BD,CD.若∠1=∠2,则

∠D的度数为

.115°解析∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠1=∠2,∴∠ABD=∠

BCD,∴∠2+∠BCD=∠1+∠ABD.∵∠2+∠BCD+∠1+∠ABD=180°-∠A=180°-50°=130°,∴∠2+∠BCD=

×130°=65°,∴∠D=180°-65°=115°.17.(易错题)(2024安徽合肥庐江期末,13,★★☆)若等腰三角

形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的

底角度数是

.65°或25°解析在等腰△ABC中,AB=AC,BD为腰AC上的高,∠ABD=40°.当BD在△ABC内部时,如图1,∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∴

∠BAD=90°-40°=50°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=

×(180°-50°)=65°.当BD在△ABC外部时,如图2,∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-40°=50°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵

∠BAD=∠ABC+∠ACB,∴∠ACB=

∠BAD=25°.综上所述,这个等腰三角形底角的度数为65°或25°.易错分析

本题易由于只画出一个符合题意的三角形,遗漏另一个

符合题意的图形导致漏解.18.(2024安徽合肥包河期末,12,★★☆)定义:等腰三角形的

顶角与其一个底角的度数的比值k,称为这个等腰三角形的

“特征值”.在等腰△ABC中,若∠A=50°,则它的“特征值”

k等于

.

或解析当∠A为顶角时,∠B=∠C=

(180°-∠A)=65°,∴k=

=

;当∠A为底角时,顶角=180°-2∠A=80°,∴k=

=

.思路点拨

分∠A为顶角与∠A为底角两种情况考虑,当∠A为顶角

时,利用三角形内角和定理可求出底角的度数,结合“特征

值”的定义即可求出k的值;当∠A为底角时,利用三角形内角

和定理可求出顶角的度数,结合“特征值”的定义即可求出

k的值.19.(2021