第四讲模糊数学方法

2013数学建模培训第四讲模糊数学方法一、引言

现实世界中的许多现象和关系具有不确定性。这些不确定性的表现形式是多种多样的，如随机性、模糊性、粗糙性和灰色性等。模糊数学正是利用模糊集及其运算研究、处理模糊不确定现象和关系的数学分支学科。许多数学建模问题包括模糊现象2024/10/314和关系，这类问题往往可以用模糊数学方法处理。本讲主要介绍模糊集、模糊模式识别、模糊聚类和模糊综合评价。本讲要掌握的重点是：

1.理解模糊集相关概念，在数学建模问题中正确选用模糊数学方法；

2.掌握确定隶属度的常用方法，2024/10/315能根据具体问题构造适当的隶属度函数；

3.能编程实现模糊模式识别，能利用提供的程序进行模糊聚类和模糊综合评价。下面给出本讲的问题提纲，以便于大家学习。2024/10/3161.如何理解模糊集、隶属函数以及隶属度？2.模糊集合的常用运算。3.构造隶属函数的常用方法。4.如何理解模糊集合间的贴近度？5.模糊识别的常用原则及适用场合。6.模糊聚类的一般步骤。7.相似系数的确定方法。2024/10/3178.分类水平的含义。9.最佳分类水平的确定。10.模糊聚类程序与练习。11.模糊综合评价的基本思想和具体步骤。12.评价指标权重的确定。13.如何进行模糊合成和综合评价。14.模糊综合评价程序与练习。2024/10/318二、模糊集的相关概念1.模糊集现实中的许多现象及关系比较模糊。如高与矮，长与短，大与小，多与少，穷与富，好与差，年轻与年老等。这类现象不满足“非此即彼”的排中律，而具有“亦此亦彼”的模糊性。需要指出的是，模糊不确定不同2024/10/3110于随机不确定。随机不确定是因果律破损造成的不确定，而模糊不确定是由于排中律破损造成的不确定。为了研究模糊现象和关系，美国控制论专家扎德1965年引入了模糊集概念。

定义设给定论域U，所谓U上的一个模糊集A是指对于任意，都2024/10/3111都能确定一个正数，用其表示x

属于A的程度。映射称为A的隶属函数，函数值称为x对A的隶属度。显然，每个元素都有隶属度的集合即为模糊集。确定模糊集的关键是构造隶属函数。2024/10/3112

下面通过两个例子说明如何构造隶属度，定义模糊集。

例1从下列30条线段中选出长线段。2024/10/3113

解“长”是模糊概念，可用模糊集描述。设xi表示第i(i=1,2,…,30)条线段,则论域U={x1,x2,…,x30}。若A为“长线段”的集合，则线段xi作为集A的成员资格，就是xi对A的隶属度。下面建立A的一种隶属函数。2024/10/3114

因为线段越长，属于A的程度越大，所以线段的长短可作为A的隶属度。从而，令A(x1)=1,A(x30)=0，作直线从而得第i条线段xi属于“长线段”集A的隶属函数2024/10/3115

例2在标志年龄(0～100)的数轴上，标出“年老”和“年轻”区间。

解取论域U=[0,100]，集合A和B分别表示“年老”和“年轻”，扎德给出它们的一种隶属函数2024/10/31162024/10/31172024/10/31182.模糊集的运算由于模糊集中没有元素和集合间的绝对隶属关系，所以模糊集的运算是通过隶属函数完成的。设模糊集A,B的隶属函数为，则A与B的常用运算有

(1)包含：

(2)相等：2024/10/3119(3)交：

(4)补：

(5)内积：

(6)外积：其中分别表示取大，小运算。2024/10/31203.隶属度函数的确定由模糊集的概念可知，模糊数学的基本思想是隶属度，所以应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题。2024/10/3121

确定隶属度的常用方法有模糊统计法、二元对比排序法和模糊分布法等。其中，模糊分布法在数学建模中较为常用。模糊分布法将隶属函数看成一种模糊分布，首先根据问题性质选取适当的模糊分布，然后再依据相关数据确定分布中的参数。2024/10/3122

下面介绍几种常用的模糊分布。

(1)梯形与半梯形分布①偏小型2024/10/3123

②偏大型2024/10/3124

③中间型2024/10/3125(2)抛物形分布①偏小型2024/10/3126②偏大型

2024/10/3127③中间型

2024/10/3128(3)柯西分布①偏小型2024/10/3129②偏大型

2024/10/3130③中间型

2024/10/3131

偏小型一般适用于描述“小”、“少”、“浅”、“淡”等偏向小的程度的模糊现象；偏大型正好与偏小型相反；而中间型一般适用于描述处于中间状态的模糊现象。

例3建立“年轻人”的柯西分布隶属函数。

解由题意，应选取偏小型。2024/10/3132

因为大家公认25岁以下的是真正的年轻人，故可选a=25。从25岁开始，“年轻人”的隶属度随年龄的增大而呈非线性衰减。为了方便，可取。2024/10/3133

由于通常35岁作为年轻人是模糊的概念，因此可选参数，使A(35)=1/2。从而2024/10/3134

怎样用Matlab或Maple作出这个分段函数的图形？2024/10/3135三、模糊模式识别

所谓模式识别，就是指把要识别的对象通过与已知模式比较，确定它与哪个模式相近或类同的过程。由于许多客观事物的特征具有模糊性，所以人们让机器模拟人的思维方法，对模糊的客观事物进行识别和分类。如天气预报、自动分拣、卫星侦察、车牌识别等。2024/10/3137

模糊识别通常包括两种情况：特定个体对若干模糊集的归类识别；特定模糊集对若干模糊集的归类识别。模糊模式识别方法基于模糊度量和模糊识别原则进行模式识别。模糊模式识别中采用的度量是隶属度和模糊集的贴近度；常用的识别原则有最大隶属度原则和择近原则。2024/10/31381.模糊集的贴近度

贴近度与距离相反，是反映两个模糊集接近程度的一种度量。常用的贴近度有：

(1)海明贴近度

(2)欧几里得贴近度2024/10/3139(3)格贴近度在实际中需要根据问题的性质和特点选择适当的贴近度。2024/10/31402.模糊识别准则与步骤通常采用最大隶属原则和择近原则进行模糊识别。

(1)最大隶属原则——个体识别设论域U上的模糊集A的隶属函数为。对U中待考察对象x1,x2,…,xn，若存在xk，使得2024/10/3141则应使xk优先属于A。设A1,A2,…,An为U上的n个模糊集,隶属函数分别为。对，若存在Ak，使得则应使x0优先属于Ak。(见例1)(2)择近原则——模糊集识别设A1,A2,…,An为U上的n个模糊集,2024/10/3142被识别对象B也是U上的模糊集。若存在Ak，使得则认为B优先与Ak同类。(见例2)

对模糊识别问题，首先要建立模糊集的隶属函数，然后计算相关贴近度，最后根据最大隶属原则或择近原则进行模糊识别。2024/10/31433.模糊识别示例

例1下表为湖泊水质评价标准。现测得杭州西湖、武汉东湖、青海湖、巢湖、滇池总磷的含量分别为130,105,20,30,25，请根据总磷指标，应用模糊识别方法判别这些湖泊所属级别。2024/10/31442024/10/3145评价指标极贫营养贫营养中营养富营养极富营养总磷<1423110>660耗氧量<0.090.361.87.1>27.1透明度>37122.40.55<0.17总氮<0.020.060.311.24.6

解湖泊所属级别的划分显然具有模糊性，可用模糊识别进行判定。

由于本题仅要求根据总磷这一种指标进行识别，所以结论是显然的。若本题给出了这些湖泊所有评价指标值，仍然可以用模糊识别进行判定，或者用后面介绍的模糊综合评价方法进行评判。2024/10/3146

模糊识别和模糊综合评价方法常用于污染水质的综合评价。2024/10/3147

设A,B,C,D,E分别表示总磷属于从极贫营养到极富营养各级别，根据问题的特点，可构造隶属函数如下：2024/10/31482024/10/31492024/10/31502024/10/31512024/10/3152经计算，2024/10/3153

根据最大隶属原则，就总磷而言，杭州西湖和武汉东湖属富营养，青海湖、巢湖、滇池属中营养。2024/10/3154

例2评价茶叶的因素集U={条索,色泽,净度,汤色,香气,滋味}。茶叶五种等级的模糊集为I=(0.5,0.4,0.3,0.6,0.5,0.4),II=(0.3,0.2,0.2,0.1,0.2,0.2),III=(0.2,0.2,0.2,0.1,0.1,0.2),IV=(0,0.1,0.2,0.1,0.1,0.1),V=(0,0.1,0.1,0.1,0.1)。现有一种茶叶A=(0.4,0.2,0.1,0.4,0.5,0.6)，试确定A的等级。2024/10/3155

解经计算，A与各模糊集的海明贴近度、欧氏贴近度、格贴近度各为2024/10/3156

可见，无论采用何种贴近度，A均属于I级。2024/10/3157四、模糊聚类

对研究对象按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是数理统计中的一种多元分析方法。聚类分析用统计方法定量地确定样本的亲疏关系，从而客观地划分类型。但有些聚类问题的分类界限具有模糊性，对于这类问题，可以采用模糊聚类方法。2024/10/3159

模糊聚类通常按照下列步骤进行:1.数据标准化；

2.建立模糊相似矩阵；

3.按一定原则模糊聚类。2024/10/31601.数据标准化

设U={x1,x2,…,xm}为待分类的对象,每个对象又由n个指标表示其性态,即xi={xi1,xi2,…,xin}，i=1,2,…,m，从而得原始数据矩阵2024/10/3161

数据标准化包括两个方面：(1)标定——将原始数据的均值变为0，方差变为1；(2)将上述数据压缩至区间[0,1]。

(1)平移—标准差变换——标定利用平移—标准差变换法将原始数据中第j个指标标定：2024/10/3162

其中是第j个指标的平均值，是第j个指标的标准差。变换后,每个指标的均值为0，标2024/10/3163准差为1，且消除了量纲的影响。

(2)平移—极差变换——压缩经过变换后，则。由此得到的矩阵称为标准化矩阵。2024/10/31642.建立模糊相似矩阵

(1)模糊矩阵

定义称为模糊矩阵。标准化矩阵显然即为模糊矩阵。

(2)模糊相似矩阵

定义若模糊矩阵R满足：

①rii=1；(自反性)2024/10/3165②rij=rji；(对称性)则称之为模糊相似矩阵。

(3)相似系数设U={x1,x2,…,xm}为待分类的对象，每个对象的n个指标为xi={xi1,xi2,…,xin}(i=1,2,…,m)，下面的问题是如何建立xi与xj之间的相似关系。

定义若xi与xj之间的相似程度为2024/10/3166rij=R(xi,xj)，则称之为相似系数。确定相似系数有下列方法：①数量积法；②相关系数法；③夹角余弦法；④最大最小法；⑤算术平均法；⑥几何平均法。2024/10/3167

上述方法中的具体公式见相关资料书籍。至于选择上述何种方法，要视具体情况而定。显然，由相似系数构成的矩阵为模糊相似矩阵。2024/10/31683.模糊聚类方法与原则模糊聚类分析方法大致分为三类:(1)基于模糊等价关系的传递闭包法；(2)基于模糊相似关系的直接聚类法；(3)模糊C—均值聚类法。其中，传递闭包法较为常用。传递闭包法是一种动态聚类法，基本思路是根据不同的分类水平λ，2024/10/3169将对象分成不同的类。

分类水平(0≤λ≤1)可理解为聚类时要求同类成员达到的相似程度。显然，λ越大,分类数越多；λ越小，分类数越少。也就是说，不同的分类水平对应不同的聚类结果。2024/10/31704.最佳分类水平λ的确定在应用传递闭包法进行聚类时，当λ值变动时形成了一个动态聚类。这固然便于我们全面了解聚类情况，但也产生了一个问题：哪个λ对应的分类是最合理的呢？即如何选择阈值λ。除了凭经验外，一般用F-统计量来选取。2024/10/3171

通常用类内距和类间距这两个指标来衡量聚类的优劣。类内距是指同类对象到该聚类中心的距离，而类间距则反映的是所有聚类中心间的距离。显然，类内距越小而类间距越大,则聚类效果越好。然而，类内距和类间距这两个指2024/10/3172标通常是冲突的。因此，需要均衡考虑这两个指标。根据数理统计原理，可构造一个F-统计量其分子表示类间距，分母表示类内距,故F值越大，说明分类越合理。2024/10/3173

在聚类时，可计算出对应不同分类水平λ的F值，则最大的F对应的λ即为最佳分类水平，此时的分类最为合理。在建模竞赛中，如遇分类问题，则不仅要选择适当的聚类方法(统计方法或模糊方法)，还要注意想方设法说明分类结果的合理性。2024/10/31745.模糊聚类程序及示例与练习

用Matlab编制了具有模糊识别,模糊聚类以及模糊综合评价功能的大型综合程序。该程序可用多种方法给出模糊相似矩阵，计算传递闭包，确定适当的分类水平，给出各分类水平下的分类方案，画出动态分类图，并求出最合理的分类方案。2024/10/3175

例3设U={x1,x2,…,x7},x1=(7,9,2,5),x2=(3,5,5,6),x3=(7,7,5,4),x4=(7,6,7.2,3),x5=(6,4,2,6),x6=(3,8,5,4),x7=(4,7,6,3)。试用算术平均法建立模糊相似矩阵，用传递闭包法进行模糊聚类。

解利用程序按下列6步计算：

(1)输入原始数据矩阵A；2024/10/3176(2)计算A的标准化矩阵B；

(3)用算术平均法建立B的模糊相似矩阵R；

(4)计算R的传递闭包tR；

(5)根据闭包计算分类水平λ，λ是tR中所有互异的数(从小到大)；

(6)求不同水平下的分类方案，并求出最合理的分类方案。2024/10/31772024/10/3178动态聚类图

练习1

设U={x1,x2,x3,x4,x5}表示父,子,女,邻居,母五人组成的一个集合，请根据下列相貌相像程度对这五人进行合理模糊分类。2024/10/3179

练习2根据下表对各地区生产力水平进行模糊聚类分析：2024/10/3180地区GDP固定资本人力资本地区GDP固定资本人力资本北京2.065.94891.3600黑龙江0.931.42081.2810天津1.834.03081.3990上海3.078.03961.7480河北0.821.62230.8690江苏1.292.24501.0880山西0.541.03370.7960浙江1.463.10380.8940内蒙0.651.10990.9310安徽0.520.81120.6140辽宁1.202.03141.3850福建1.242.05231.1550吉林0.761.31141.0220江西0.520.74940.7850

2024/10/3181地区GDP固定资本人力资本地区GDP固定资本人力资本山东1.041.65340.9470贵州0.290.57560.2990河南0.591.92100.6530云南0.481.01660.4660湖北0.781.38201.0000西藏0.531.35880.5240湖南0.600.91710.6660陕西0.501.03070.5740广东1.372.72981.0260甘肃0.420.85440.4590广西0.470.83420.5460青海0.581.59080.5500海南0.691.94700.9280宁夏0.531.50360.5180重庆0.570.81270.6200新疆0.802.02260.9110四川0.511.04100.5630

下列给出一种较为合理的分类结果，供参考检验。2024/10/3182类别地区名称一类

上海北京二类

天津辽宁浙江广东江苏福建三类

黑龙江山东新疆湖北海南吉林河北内蒙山西四类

河南江西青海湖南宁夏西藏重庆安徽陕西四川广西云南甘肃贵州五、模糊综合评价

评价是人类社会中经常性的、极为重要的认识活动。对一个事物的评价通常要涉及多个因素或多个指标，评价是在多因素相互作用下的一种综合评判。综合评价是数学建模竞赛中较为常见的问题，如长江水质的评价与预测(2005A),艾滋病疗法的评价及疗效2024/10/3184的预测(2006B),2010上海世博会影响力的定量评估(2010B)。综合评价的方法众多，常用的有灰色评价法、层次分析法、模糊综合评价法、数据包络分析法、人工神经网络评价法、理想解法等。有时，还可将两种评价方法集成为组合评价方法。2024/10/3185

各种评价方法出发点不同，解决问题的思路不同，适用对象不同，各有优缺点。不同的评价方法会产生不同的评价结论，有时甚至结论相左，即综合评价的结果不是唯一的。虽然大部分情况下最优的评价方法是不存在的，但原则上可参考下列2024/10/3186几个方面选择具体评价方法：

(1)所选方法能正确反映评价对象和评价目的；

(2)所选方法必须有坚实的理论基础，能为人们所信服；

(3)所选方法应简洁明了，尽量降低算法的复杂性；

(4)尽量选择熟悉的评价方法。2024/10/3187

模糊综合评价作为模糊数学的一种具体应用，最早由我国学者汪培庄提出。基本思想是：以模糊数学为基础，应用模糊关系合成原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级状况进行综合评价。具体步骤为：首先确定被评价对象的因素集和评价集，2024/10/3188然后再分别确定各因素的权重及它们的隶属度向量，获得模糊评价矩阵，最后将模糊评价矩阵与因素的权向量进行模糊运算并归一化，从而得到模糊评价综合结果。模糊综合评价法简单易掌握，对多因素、多层次的复杂问题评价效果较好，很难为其它评价方法所替代。2024/10/31891.确定评价指标和评价等级设U={u1,u2,…,um}为刻画被评价对象的m种因素，即评价指标；V={v1,v2,…,vn}为刻画每一因素所处状态的n种评语，即评价等级。这里，m为评价因素的个数，通常由具体指标体系决定;n为评语的个数,一般划分为3～5个等级。2024/10/3190

例如，某服装厂欲采用模糊综合评价法来了解顾客对某种服装的欢迎程度。顾客是否喜欢某种服装，通常与这种服装的花色、样式、价格、耐用度和舒适度等因素有关，故确定评价服装的因素集为U={花色,样式,价格,耐用度,舒适度}。2024/10/3191

综合评价的目的是弄清楚顾客对衣服各方面的欢迎程度。因此，评价集应为V={很欢迎,欢迎,一般,不欢迎}。2024/10/31922.构造模糊综合评价矩阵在确定了评价指标和评价等级后，接着就要对每个评价指标ui(i=1,2,…m)逐一进行模糊评价。具体评价方法是：对评价指标ui给出其能被评为等级vj的隶属度rij。rij可理解为指标ui对于等级vj的隶属度，通常要将rij归一化以便于使用。2024/10/3193

设指标ui的模糊评价为ri=(ri1,ri2,…,rin)，则对所有评价指标ui(i=1,2,…,m)进行的模糊评价构成的矩阵称为各指标的模糊综合评价矩阵。2024/10/3194

确定隶属度rij的方法通常有下列两种。对于主观或定性的指标可采用等级比重法，即计算评价者给出的等级比重。应用等级比重法时要注意:(1)评价者的人数要足够多;(2)评价者对被评事物要有相当的了解。对于客观和定量指标，可以采用2024/10/3195频率法，即以评价值在各等级区间中出现的频率作为隶属度。例如，在前例中，对该服装的花色，众多被调查者中有20%认为“很欢迎”,50%认为“欢迎”，30%认为“一般”，没有人认为“不欢迎”，则u1的评价向量为R1=(0.2,0.5,0.3,0)。同理可得其它指标的评价向量为2024/10/3196R2=(0.1,0.3,0.5,0.1)，R3=(0,0.1,0.6,0.3),R4=(0,0.4,0.5,0.1),R5=(0.5,0.3,0.2,0)。由此可得模糊综合评价矩阵为

2024/10/31973.评价指标权重的确定确定了模糊综合评价矩阵，尚不足以对事物做出评价。原因在于，各评价指标在评价目标中有不同的地位和作用，即各评价指标在综合评价中占有不同的权重。通常引入一个模糊向量A=(a1,a2,…,an)来表示各评价指标在目标中所2024/10/3198占权重，称之为权重向量。其中ai为ui的权重，且满足。确定权重通常有主观和客观两类方法。主观法也称专家评测法，即请若干专家就各指标的重要性进行评分，平均后即得各指标权重。客观法是根据各指标间的联系，利用数学方法计算出各指标的权重，如质量分数2024/10/3199法、变异系数法等。其实，利用灰色关联分析法和层次分析法确定权重是非常新颖、有效的方法。这涉及到多种方法的融合，较为复杂。下面用实例介绍变异系数法。

例4已知5个投资方案如下表，试确定4个评价指标的权重。2024/10/31100

变异系数法的设计原理是：若某项指标的数值差异较大，能明确区分2024/10/31101方案目标A1A2A3A4A5投资额5.2010.085.259.726.60期望净现5.206.704.205.253.75风险盈利4.735.713.825.543.30风险损失0.4731.5990.4731.3130.803开各被评价对象，说明该指标的分辨信息丰富，因而应给该指标以较大的权重；反之，若各个被评价对象在某项指标上的数值差异较小，那么这项指标区分各评价对象的能力较弱，因而应给该指标较小的权重。因为方差可以描述取值的离散程度，即某指标的方差反映了该指标的2024/10/31102的分辨能力，所以可用方差定义指标的权重。由于方差的大小是相对的，还需考虑指标取值的大小、量级，故指标的分辨能力可定义为

解根据变异系数法，可按照下列步骤确定各指标的权重：2024/10/31103(1)计算第i项指标的均值与方差

(2)令，则归一化的vi即为各指标的权重，即经计算，2024/10/31104

同理，从而，4项评价指标的权重为2024/10/311054.模糊合成与综合评价模糊综合评价矩阵R中的不同行反映了被评价事物从不同的指标评价对各等级的隶属程度。用权向量A将不同的行进行综合，就可得到被评价事物从总体上对各等级的隶属程度，即模糊综合评价结果。通常采用所谓“模糊合成”来实现2024/10/31106上述综合，基本思想是：对评价矩阵R和权向量A进行某种适当的模糊运算,将两者合成为一个模糊向量B={b1,b2,…,bn}，即B=AR，然后对B按照一定法则进行综合分析后即可得出最终的模糊综合评价结果。常用的模糊合成算子有：2024/10/31107(1)(2)(3)(4)

上述模糊合成算子的特点是：2024/10/31108

其实，也可以取为普通的矩阵乘法，此时合成即为加权平均。至于到底取何种算子取决于问题的性质和算子的特点。2024/10/31109

通常，采用主因素突出型和加权平均型算法的结果大同小异。但在实际中还是要注意这两类算法的特点。

主因素突出型适用于模糊矩阵中数据相差很悬殊的情形，而加权平均型则常用于因素很多的情形，可以避免信息丢失。2024/10/31110B称为模糊综合评价向量，bj满足，且需要归一化。bj可理解为被评价对象对第j等级的隶属度。对B分析处理后即可获得综合评价结果。分析处理B的常用方法有：

(1)最大隶属度法,即认定被评价对象的等级为最大隶属度对应的等级,适用于某隶属度明显大于其它隶属度2024/10/31111的情形；

(2)加权平均法，具体方法是:给评价集V={v1,v2,…,vn}中的各等级赋以适当的分值C={c1,c2,…,cn}，用归一化的综合评价向量B={b1,b2,…,bn}对C的加权平均值做为模糊综合评价结果。2024/10/31112

例如,设评价等级集为{很好,好,一般,差}，综合评价向量B={0.4,0.3,0.2,0.1},。按最大隶属度法，评价等级为“很好”。若给评价集分别赋值{4,3,2,1}，则加权平均值为即评价等级为“好”。2024/10/31113

例5在教学过程的综合评价中，取U={清楚易懂,教材熟悉,生动有趣,板书整齐清晰},V={很好,较好,一般,不好}。设某班学生对教师的教学评价矩阵为2024/10/31114若考虑权重A=(0.5,0.2,0.2,0.1),试求学生对这位教师的综合评价。

解根据A和R，利用四种合成算子，编程计算得2024/10/31115

结果表明，学生对该老师在“教材熟悉”方面最认可，“清楚易懂”次之，“板书整齐清晰”则得不到认可。

显然，例5过于简单。不仅给出了模糊综合评价矩阵R，而且还直接给出了权重向量A。其实，实际问题往往只提供了一系列的评价对象以及每个对象的若干2024/10/31116评价指标，并且这些指标可能数值差异很大，性质也不同。此时，不仅指标的权重向量A需要根据适当的方法确定，就连评价矩阵R也要按照某种方法对评价指标进行处理后才能获得。确定权重向量A的常用方法是前面介绍的变异系数法，而处理评价指2024/10/31117标获取评价矩阵R的常用方法有相对偏差法和相对优属度法。这两种方法简单、实用，在建模竞赛中可考虑与灰色关联分析结合使用。2024/10/311185.相对偏差模糊矩阵评价法相对偏差模糊矩阵评价法与灰色关联分析有点类似。首先虚拟一个理想方案u，然后按照某种方法建立各方案与u的偏差矩阵R，再确定各评价指标的权重A，最后用A对R加权平均得各方案与u的综合距离F,则根据F即可对方案进行排序。2024/10/31119

相对偏差评价法步骤如下：

(1)虚拟理想方案u=(u1,u2,…,un)其中

(2)建立相对偏差模糊矩阵R2024/10/31120

其中2024/10/31121(3)确定各评价指标权重wi(4)对各方案的偏差加权平均

(5)根据Fj值进行综合评价若Ft<Fs，则第t个方案排在第s个方案之前。2024/10/31122

例6现有下列5个农业技术经济方案，试评价各方案的优劣。2024/10/31123指标方案产量(x1)投资(x2)耗水量(x3)用药量(x4)劳力(x5)除草剂(x6)肥力(x7)A1100012050001501.51A270060400024022A390060700017014A48007080001.5400.56A580080400023025

解上述评价指标中，产量、劳力和肥力是效益型，而投资、耗水量、用药量和除草剂为成本型。

(1)理想方案为u=(1000,60,4000,1,70,0.5,6)(2)相对偏差模糊矩阵为2024/10/31124(3)根据变异系数法,各指标权重系数为0.0546,0.1285,0.1306,0.1342,0.1327,0.1875,0.2319。2024/10/31125(4)各方案的加权平均偏差为

0.2383,0.2697,0.1107,0.1448,0.2365，故方案的优劣次序为3,4,5,1,2。2024/10/311266.相对优属度模糊矩阵评价法相对偏差法的评价依据是各方案与理想方案的偏差，而相对优属度评价法的基本思想是：首先用适当的方法将所有指标(效益型、成本型、固定型)转化为效益型(成本型)，得到优属度矩阵R，再确定各评价指标的权重A,最后用A对R加权平均得各方案2024/10/31127的综合优属度F,则根据F即可对方案进行排序。相对优属度评价法步骤如下：

(1)建立模糊效益矩阵R=(rij)2024/10/31128其中是第j个指标的适度值。

(2)确定各评价指标权重wi(4)对各方案的优属度加权平均

(5)根据Fj值进行综合评价若Ft>Fs，则第t个方案排在第s个方案之前。2024/10/31129

例7对例4中的五个方案进行综合评价。

解在例4的4个指标中，投资额、风险损失为成本型，期望净现值、风险盈利值为效益型。按前述方法建立相对优属度模糊矩阵2024/10/31130

由变异系数法求得各指标权重系数为0.2444,0.1717,0.1723,0.4115。2024/10/31131

各方案的加权平均优属度为

0.2580,0.1639,0.2427,0.1608,0.1746，故方案排序为1,3,5,2,4。2024/10/311327.讨论由于灰色关联分析、相对偏差法和相对优属度法均属综合评价类方法,且都有解决同样的问题，所以自然产生一个问题：这三种方法评价同一问题的结论完全一致吗？首先分别用相对偏差法和相对优属度法评价例7和例6。2024/10/31133

相对偏差法评价例7的结果是：加权平均偏差为

0.0696,0.2901,0.1252,0.2786,0.2365，故方案排序为1,3,5,4,2。相对优属度法的排序结果是：1,3,5,2,4。两个方法的结果略有差异。2024/10/31134

相对优属度法评价例6的结果是:0.1665,0.1698,0.2309,0.2418,0.1910，故方案排序为4,3,5,2,1。相对偏差法的排序结果是：3,4,5,1,2。两个方法的结果差异稍大。究竟哪个方法的结果更可靠呢？2024/10/31135

下面再利用灰色关联分析对例6和例7进行综合评价。灰色关联分析对例6中的方案的排序结果是:3,4,1,2,5，例7的排序结果为:1,3,2,4,5，与前两个方法的结果均不完全相同。考虑到灰色关联分析将每个指标视为等权重，出现这个结果其实并不2024/10/31136意外。

如果在灰色关联分析中采用与前两个方法一样的权重，则例6的排序结果为:3,4,5,1,2,与相对偏差法完全一致；例7的排序结果为:1,3,2,5,4，与相对优属度法几乎完全一致。若将分辨系数设为0.9，则例7灰色关联分析的结果与相对优属度法完2024/10/31137全一致。综上，可以得出如下结论：

(1)由于考虑到了各指标的权重,相对偏差法和相对优属度法通常优于灰色关联分析；

(2)考虑各指标权重,可提高灰色关联分析结果的可靠性；

(3)在实际中,对于综合评价类问2024/10/31138题，可同时应用上述几种方法评价，以提高评价的可靠性。请各位利用提供的程序对练习3~6做灰色关联分析和模糊综合评价。2024/10/31139

练习3下表为三峡水利工程枢纽确定正常蓄水位的四个技术方案。对其进行综合评价，找出最优方案。2024/10/31140

方案评价指标方案1(150)方案2(160)方案3(170)方案4(180)防洪(减少淹没)面积474754.758.8航运(改善航道里程)500500600660发电效益677732785891工程投资214.8236.4270.7311.4移民费用53.469.597.8123.3泥沙淤积77.8277.9782.0790.15生态环境影响1122与上游衔接111.52

练习42005年安徽省各地市水资源数据如下表，对其进行综合评价。2024/10/31141地区水资源总量(万方)地表水资源量地下水资源量人均水资源量总计719.25672.20195.410.12合肥23.3923.385.670.05淮北13.3610.325.660.07亳州43.8333.9118.430.08宿州43.0331.1417.960.07蚌埠31.7525.4612.270.10阜阳66.5454.4923.140.08淮南9.907.984.260.04