专题04二元一次方程组重难点（参数问题实际应用问题）

专题04二元一次方程组重难点（参数问题、实际应用问题）思维导图核心考点聚焦1.忽略二元一次方程中一次项系数不为02.解二元一次方程组中符号错误或方程变形漏乘3.构造二元一次方程组求解4.二元一次方程组中同解方程组5.已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值6.二元一次方程组的特殊解法7.二元一次方程组的应用——古代问题8.二元一次方程组的应用——方案问题9.二元一次方程组的应用——销售、利润问题10.二元一次方程组的应用——几何问题一、二元一次方程（组）概念及解1.二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程的识别方法①“二元”，即含有两个未知数；②“一次”，即含未知数的次数是1；③“整式方程”，即未知数不能出现在分母中.2.二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组．注意：①含有两个整式方程；②方程中共含有两个未知数；③含未知数的项的次数都是1．3.二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．注意：①二元一次方程的每一个解都是一对数值，而不是一个数；②一般情况下，一个二元一次方程有无穷多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个特殊的解.4.二元一次方程组的解：我们把二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意：①方程组的解同时满足方程组中的每一个方程；②由于方程组需用“｛”括起来，所以方程组的解也要用“｛”括起来．5.二元一次方程组解的情况：（1）唯一解；（2）无数解；（3）无解．二、二元一次方程组的解法1.代入消元法将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.注意：①找准消元对象.消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的）未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简；②在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的第（2）步中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式；③用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单．2.加减消元法把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.注意：①化为标准形式.用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成的标准形式，再设法加减消元，这样不易出错；②选准消元对象.当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单.三、同解问题方法技巧：理解方程组的解的实质，由方程组消去未知系数，构造只含两个未知数的二元一次方程，再根据其他条件求出两个未知数的值，最后回代求出未知数的值.题型：1.一个二元一次方程组和一个二元一次方程的同解，可以理解为三个方程有相同的解，可以选择其中两个构成二元一次方程组求解，再代入另一个方程求参数的值；或理解为三个方程构成一个三元一次方程组求解；2.两个方程组有相同的解可以理解成四个方程具有相同的解，先将不含参数的方程联立成方程组，求出未知数的值，然后代入含有参数的方程即可求出参数的值.四、列方程组解应用题步骤1.列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：=1\*GB3①方程两边表示的是同类量；=2\*GB3②同类量的单位要统一；=3\*GB3③方程两边的数值要相等.2.解应用题的一般步骤为：=1\*GB3①审题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；=2\*GB3②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；=3\*GB3③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；=4\*GB3④解答.五、分析数量关系的常用方法1.直译法分析数量关系将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出等量关系，翻译成含有未知数的等式.2.列表分析数量关系当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析.这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系.六、一次函数与二元一次方程（组）1．一次函数与二元一次方程的关系一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上．2．一次函数与二元一次方程组的关系如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应二元一次方程组的解．所以求两直线交点的方法为：联立函数关系式，求解方程组．已知两直线和相交于一点，求交点坐标．=1\*GB3①联立两个直线的函数关系式得到方程组=2\*GB3②解关于x和y的方程组，得到交点坐标．用一次函数的图象法求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法．七、三元一次方程组的概念三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组.八、解三元一次方程组的方法和步骤三元一次方程二元一次方程一元一次方程1.二元一次方程、二元一次方程组中含参数的问题.2.解二元一次方程组时，去分母漏乘参数项.3.利用二元一次方程组解决实际问题及整数解问题.考点剖析考点一、忽略二元一次方程中一次项系数不为0例题1：若是关于，的二元一次方程，则．【答案】0【解析】∵是关于x，y的二元一次方程，∴且，解得．故答案为：0．考点二、解二元一次方程组中符号错误或方程变形漏乘例题2：解方程组：．【解析】原方程组可变为：，得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程组的解为：．考点三、构造二元一次方程组求解例题3：已知，则的平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，，∴，得，，解得，将代入①，解得，∴，∴的平方根，故选C．考点四、二元一次方程组中同解方程组例题4：方程组与有相同的解，求a，b的值．【解析】由题意得：，解得，把代入，则有,解得．考点五、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值例题5：若关于x、y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是．【答案】1【解析】将代入方程组得：，①+②得：．故答案为：1．考点六、二元一次方程组的特殊解法例题6：阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得．(1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组．(2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______．【解析】（1）对于，令，则原方程组可化为，解得，∴，即，解得；（2）∵方程组的解是，∴，解得．考点七、二元一次方程组的应用——古代问题例题7：我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．【解析】设合伙人数为人，羊价为钱，依题意有：，解得，答：合伙人数为21人，羊价为150钱．考点八、二元一次方程组的应用——方案问题例题8：某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．【解析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．根据题意得，解得．答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．（2）设安排A货车m辆，B货车n辆，依题意，得，即，又因为均为正整数，所以或或，所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）；方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）；方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）；因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元．考点九、二元一次方程组的应用——销售、利润问题例题9：某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：进价（元/个）售价（元/个）冰墩墩3550雪容融3040(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？【解析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，有题意得解得答：冰墩墩和雪容融分别进了20个和30个；（2）由表格得，设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个，∴35a+30b=600∴∵a，b为正整数∴可得，∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个．考点十、二元一次方程组的应用——几何问题例题10：如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积．【解析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：，解得，∴阴影部分的面积为14×（6+2×2）6×8×2=44（）．答：阴影部分的面积为44．过关检测一、选择题1．下列各式中属于二元一次方程的有（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】根据定义可知①②③是二元一次方程，④中未知数的次数是2次，而不是1次，它不是二元一次方程；⑤是代数式，不是方程；⑥是分式方程，⑦整理后为，是二元一次方程．故正确的有①②③⑦，共4个，故选．2．若是关于x、y的二元一次方程的解，则m的值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【解析】∵是关于x、y的二元一次方程的解，∴，解得，故选B．3．《孙子算经》下卷中有一道题，原文是：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：现在鸡和兔关在一个笼子里，共有35个头，94只脚，问鸡和兔各多少只．设鸡为x只，兔为y只，则下列符合题意的方程组是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设鸡有只，兔有只，根据题意，得，故选D．4．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】将代入得：，解得，，解得，故选D．二、填空题5．的正整数解为．【答案】【解析】由已知，得．要使都是正整数，必须满足：，是3的倍数．根据以上两个条件可知，合适的只能是．故答案为：．6．已知关于x，y的方程是二元一次方程，则．【答案】1【解析】∵关于x，y的方程是二元一次方程，∴，解得，∴，故答案为：1．7．若二元一次方程组的的解也是二元一次方程的解，则k的值为【答案】2【解析】解方程组，得，∵二元一次方程组的的解也是二元一次方程的解，∴，解得．故答案为：2．8．在平面直角坐标系中，若点和关于y轴对称，则．【答案】【解析】∵点和关于y轴对称，∴，，得，故答案为：．三、解答题9．解方程组【解析】设，，则原方程组可变形为，整理可得，用加减消元法解得，∴，解得，∴原方程组的解为．10．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱六十，乙得甲太半而亦钱六十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱60．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱60．甲、乙两人各带了多少钱？【解析】设甲带钱x，乙带钱y，根据题意，得，解得．∴甲带了45钱，乙带了30钱．11．已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？【解析】∵凡团体入住一律五折优惠，∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元），设三人间有a间，双人间有b间，根据题意得：，解得，答：租住了三人间8间、双人间13间．12．已知关于x，y的方程组，其中a是实数．(1)请用含a的代数式分别表示x，y．(2)若x，y满足，求的值．(3)试说明不论a取何实数，的值始终不变．【解析】（1），，得，解得，将代入，得，解得，∴；（2），，，，将（1）中结果代入得：，解得，；（3）证明：，不论取何实数，的值始终不变．13．为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草和价格相同）．求：(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？(2)若计划购买A、B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，①求购买花草的总费用W（元）与m之间的函数关系式；②请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用．【解析】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：，解得；答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．（2）①由题意得：；②由①可得：，∵，且，∴W随m的增大而增大，∴当时，W取得最小值，此时，答：购进A种花草的数量为10棵、B种20棵，费用最省，最省费用是300元．14．某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．