四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题2

安宁河联盟20232024学年度下期高2022级期中联考数学本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知首项为1的数列中，则（）A． B． C． D．22．已知数列是等差数列，首项，公差，如果成等比数列，那么d等于（）A．2或 B． C．2 D．33．已知，若，则等于（）A．0 B．1 C．e D．2e4．函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．5．若数列满足，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．6．已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知函数，，若，且关于x不等式在上恒成立，其中e是自然对数的底数，则m的取值范围是（）A． B． C． D．8．数列满足，则等于（）A．2565 B．2575 C．2585 D．2595二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．数列是等比数列B．若，，则C．若，则数列是递增数列D．若数列的前n项和，则10．已知在处取得极大值1，则下列结论正确的是（）A． B．对称中心为C． D．11．下列判断正确的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共77分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．等差数列中，，则______．13．已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为______．14．已知，关于x的方程有三个不同实数根，则m取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．（1）求的表达式和数列的通项公式；（2）证明：16．设数列，满足：，，且，对成立．（1）证明是等比数列．（2）求和的通项公式．17．已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的范围．18．雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；……按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Kochsnowflake）．现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设，并作了如下探究：…边数31248192…从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248…从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积…根据小明的假设与思路，解答下列问题．（1）填写表格最后一列，并写出与的关系式；（2）根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．参考数据（，）19．已知函数．（1）当时，求在处的切线方程．（2）设分别为的极大值点和极小值点，记，；①证明：直线与曲线交于另一个点C；②在①的条件下，判断是否存在常数，使得，若存在，求n；若不存在，说明理由．附：，安宁河联盟20232024学年度下期高2022级期中联考数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B解析：因为，，，，，2．【答案】C解析：因为成等比数列，所以，即，因为，所以，解得：（舍去）．3．【答案】B解析：因为，则所以4．【答案】A解析：由的定义域为，，令，解得，所以的单调递减区间为，5．【答案】D解析：因为①，当时，，当时②，①②得，所以，当时也成立，所以；6．【答案】C解析：因为函数，，且是递增数列，则，解得．7．【答案】D解析：8．【答案】D解析：由，得，由，得；…故是以5为首项，24为公差的等差数列的前15项和．所以二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（答案有三个，选对一个得2分，选对2个得4分，全选对得6分，答案有二个，选对一个得2分，全选对得6分）9．【答案】AC解析：由数列是等比数列，知：在A中，，是常数，数列是等比数列，故A正确；在B中，若，，则，故B错误；在C中，若，则，数列是递增数列，故C正确；在D中，若数列的前n项和，则，，，，，成等比数列，，，解得，故D错误．10．【答案】ABD解析：由题意可得，且是函数的极大值点，即，可得，又极大值为1，所以，解得或；当时，，此时，时，，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增；此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去，故C错误；当时，，此时，时，，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减；此时函数在处取得极大值，符合题意，所以，，即，所以A正确，此时，所以对称中心为，B正确，即D正确．11．【答案】ABD解析：对于A选项，设，，由切线放缩得，故，即对于B选项，设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，故对于C选项，因为任意，，所以对于D选项，与结合图形可知，当时，，所以三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】20解析：因为等差数列中，，所以，所以，所以．13．【答案】解析：由题意得的定义域为，所以，因为函数在区间上存在递减区间，即在区间上能成立，即，设，，开口向上，对称轴为，所以当时，单调递增，所以，所以，则．14．【答案】解析：令，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故当时函数有最小值．令，则所求等价于有三个不同实根．当时，不满足，舍去．当时，要使得方程有三个根，则，而，不满足，舍去．故，，设则有，，即，解得四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解析：（1）因是以1为首项1为公差为的等差数列，因此，即，当时，，经检验，满足上式，所以的通项公式是（2）由（1）知：16．解析：（1）移项得到，相加得所以因为，所以是首项为5，公比为的等比数列．（2）根据（1）的结论，得到，又因为，所以对成立所以，对成立所以通项公式为和17．解析：（1）因为，所以①当时，，在上单调递增；②当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；③当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；（2）由（1）可知①当时，，在上单调递增，此时在上的最大值为；②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；在上的最大值只有可能是或，因为在上的最大值为，所以即可，则③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；在上的最大值可能是或，因为在上的最大值为，所以即可，则由①②③得，18．【解析】（1）图形、、…、、…的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，则图形的边数为；从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列，则比前一个图形多出的三角形的个数为；从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以为首项，为公比的等比数列，则比前一个图形多出的每一个三角形的面积是…边数31248192…从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248…从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积…所以，即（2）当时，又因为，符合上式，所以（3）由，得，则，所以，故，由，，故，又因为，所以，所以从第7个图形开始雪花曲线所围成的面积大于．19．解析：（1）当时，，故，所以当时