1721勾股定理的逆定理和勾股数(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)

17.2.1勾股定理的逆定理和勾股数勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.题型1：勾股定理的逆定理1.下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（）A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算分析，从而得到答案．【解答】解：A、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故选项错误；B、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项错误；C、32+52≠72，不能构成直角三角形，故选项正确；D、62+82＝102，能构成直角三角形，故选项错误．故选：C【变式11】以a、b、c三边长能构成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝32，b＝42，c＝52 C．a＝，b＝，c＝ D．a＝5，b＝6，c＝7【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项逐一代入计算，看是否符合a2+b2＝c2即可．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不符合a2+b2＝c2．∴不能构成直角三角形．B、∵a＝32，b＝42，c＝52，∴a＝9，b＝16．c＝25，∵92+162≠252，不符合a2+b2＝c2，∴不能构成直角三角形．C、+＝，符合a2+b2＝c2，∴能构成直角三角形．D、52+62≠72，不符合a2+b2＝c2，∴不能构成直角三角形．故选：C【变式12】已知a、b、c为△ABC的三边，旦满足（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，则它的形状为三角形．【分析】由已知条件得出a2﹣b2＝0或a2+b2﹣c2＝0，得出△ABC是等腰三角形或直角三角形．【解答】解：∵（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a2﹣b2＝0，或a2+b2﹣c2＝0，∴a＝b，或a2+b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形，或△ABC是直角三角形；故答案为：等腰或直角【变式13】如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；（2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.题型2：判定三边能否构成三角形（具体数值、比值或字母参数）2.现有四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，选取其中三块按如图的方式围成一个三角形，如果要使这个三角形是直角三角形，那么选取的三块纸片的面积分别是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，5【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，即可解答本题．【解答】解：∵四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，∴四块正方形纸片的边长分别是，，，，由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，4，2+3≠4，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2+3＝5，围成的三角形是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，4，5时，2+4≠5，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，3+4≠5，围成的三角形不是直角三角形；故选：B【变式21】如图，已知AD＝6，BD＝8，AC＝26，BC＝24，∠ADB＝90°．问△ABC是直角三角形吗？并说明理由．【分析】由勾股定理求出AB，再求出AB2+BC2＝AC2，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形即可．【解答】解：△ABC是直角三角形；理由如下：∵∠ADB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵AB2+BC2＝100+576＝676＝262，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形【变式22】有一块薄铁片ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示（单位：cm），如果沿着对角线AC剪开，那么得到的两块三角形铁皮的形状都是“直角三角形”吗？请说明理由．【分析】先在△ABC中，由∠B＝90°，可得△ABC为直角三角形；根据勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝130000，得出AD2+CD2≠AC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD不是直角三角形．【解答】解：△ABC是直角三角形，△ADC不是直角三角形．理由如下：连接AC．如图所示：在△ABC中，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形；∴AC2＝AB2+BC2＝2002+3002＝130000，又∵AD2+CD2＝10000+90000＝100000≠130000，∴AD2+CD2≠AC2，∴△ACD不是直角三角形．【变式23】已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．【分析】（1）知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；（2）依据m＞1，a，b，c均为正整数，即可得到直角三角形的边长．【解答】解：（1）∵△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1，而当m＞1时，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1，∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2，即a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；当m＝3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一）互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.注意：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.题型3：互逆命题3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．【解答】解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，则x+3x+2x＝180°，解得，x＝30°，则3x＝90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2＝9：16：25，则如果a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B【变式31】下列命题中，正确的个数是（）（1）三边长分别为、、的三角形是直角三角形；（2）三边长分别为15、20、25的三角形是直角三角形；（3）有两条边的长分别为3和4，另一边的长大于5的三角形不是直角三角形；（4）有两条边的长分别为3和4，另一边的长小于5的三角形不是直角三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．【解答】解：（1）∵（）2+（）2≠（）2，∴三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，故原来的说法是错误的；（2）∵152+202＝252，∴三边长分别为15、20、25的三角形是直角三角形，故原来的说法是正确的；（3）∵32+42＝52，∴有两条边的长分别为3和4，另一边的长大于5的三角形不是直角三角形，故原来的说法是正确的；（4）∵32+42＝52，∴有两条边的长分别为3和4，另一边的长小于5的三角形不是直角三角形，故原来的说法是正确的．故选：C．【变式32】下列命题正确的是（）A．若直角三角形有两条边的长分别为3和4，则第三边一定为5，第三边上的高是2.4 B．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，则AB：AC：BC＝1：2：3 C．三边长为1：1：的三角形是等腰直角三角形 D．因为（）2+（）2≠（）2，所以为边的三角形不是直角三角形【分析】利用直角三角形的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、若直角三角形有两条边的长分别为3和4，则第三边一定为5或，错误；B、在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，则∠C：∠B：∠A＝1：2：3，错误；C、三边长为1：1：的三角形是等腰直角三角形，正确；D、因为（）2+（）2＝（）2，所以为边的三角形是直角三角形，错误；故选：C勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.注意：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；勾股数的求法：如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.题型4：勾股数4.下列各组数中，为勾股数的是（）A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；B、∵32+42＝52，∴这组数是勾股数；C、∵1.52+22＝2.52，但这三个数不都是整数，∴这组数不是勾股数；D、∵52+102≠122，∴这组数不是勾股数．故选：B【变式41】若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可．【解答】解：∵3、4、a为勾股数，∴a＝＝5，∴a的相反数为﹣5，故选：A【变式42】观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：，第n组勾股数是．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；∴第⑤组勾股数为2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61，第n组勾股数是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．故答案为：11，60，61；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1【变式43】满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”，当n＜150时，共有组这样的“完美勾股数”．【分析】由于n＜150，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，可得共有8组这样的“完美勾股数”．【解答】解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，∴共有8组这样的“完美勾股数”．故答案为：8题型5：勾股定理逆定理的应用5如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（）A． B． C． D．【分析】分别求A、B、C、D选项中各三角形的边长，根据勾股定理的逆定理可以判定A、B、D中三角形为直角三角形，C为钝角三角形，即可解题．【解答】解：设网格中每个小正方形的边长是1．图A中各边长为2、4、2，22+42＝（2）2，故该三角形为直角三角形；图B中各边长、2、，（）2+（2）2＝（）2，故该三角形为直角三角形；图C中三角形各边长为、、，（）2+（）2＝（）2，故该三角形为钝角三角形；图D中各边长为、2、5，（）2+（2）2＝52，故该三角形为直角三角形．即A、B、D是直角三角形，C不是直角三角形．故选：C【变式51】如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成个直角三角形．【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出结果．【解答】解：由勾股定理得：AD2＝BD2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝CD2＝25，∵AD2+BD2＝AB2，AC2+AB2＝BC2，∴能够组成2个直角三角形．故答案为：2【变式52】若一个三角形的三边长分别为25cm、15cm、20cm，则这个三角形最长边上的高为12cm．【分析】根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，然后再利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为25cm、15cm、20cm，又∵152+202＝252，∴该三角形为直角三角形．∴这个三角形最长边上的高＝15×20××2÷25＝12（cm）．故答案为：12【变式53】如图，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2（1）试说明AD⊥BC；（2）试求点D到直线AC的距离．【分析】（1）根据已知条件推知AD2+BD2＝AB2，然后利用勾股定理的逆定理推得结论；（2）在直角△ACD中，利用勾股定理可以求得AC的长度，由三角形的面积公式来求点D到直线AC的距离．【解答】解：（1）∵AD2+BD2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；（2）∵∠ADB＝90°，且点D为BC边上的一点，∴∠ADC＝90°，∴由勾股定理得：AC＝＝＝4，∴点D到直线AC的距离为6×2÷2×2÷4＝3【变式54】如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m；求图中阴影部分的面积．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影＝AC×BC﹣AD×CD即可得出结论．【解答】解：在Rt△ADC中，∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，∴