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文档简介
专题02整式的加减知识点1代数式1.定义:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.2.代数式的书写格式:①代数式中出现乘号,通常省略不写,如vt;②数字与字母相乘时,数字应写在字母前面,如4a;③带分数与字母相乘时,应先把带分数化成假分数,如应写作;④数字与数字相乘,一般仍用“×”号,即“×”号不省略;⑤在代数式中出现除法运算时,一般写成分数的形式,如4÷(a4)应写作;注意:分数线具有除号和括号的双重作用;⑥在表示和(或)差的代数式后有单位名称的,则必须把代数式括起来,再将单位名称写在式子的后面,如平方米.知识点2:单项式1.单项式定义由数或字母的积组成的式子叫做单项式(单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式).2.单项式的系数:单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.3.单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.说明:(1)计算单项式的次数时,应注意是所有字母的指数和,不要漏掉字母指数是1的情况.如单项式的次数是字母z,y,x的指数和,即4+3+1=8,而不是7次,应注意字母的指数是1而不是0;(2)单项式的指数只和字母的指数有关,与系数的指数无关.如单项式的次数是2+3+4=9而不是13次;(3)单项式是一个单独字母时,它的指数是1,如单项式m的指数是1,单项式是单独的一个常数时,一般不讨论它的次数;(4)在含有字母的式子中如果出现乘号,通常将乘号写作“·”或者省略不写。例如:可以写成或.(5)在书写单项式时,数字因数写在字母因数的前面,数字因数是带分数时转化成假分数.知识点3:多项式(1)定义:几个单项式的和叫多项式.(2)多项式的项:多项式中的每个单项式叫做多项式的项.(3)多项式的次数:多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数.(4)多项式的项数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.(5)常数项:多项式里,不含字母的项叫做常数项.知识点4:整式(1)单项式和多项式统称为整式.(2)单项式或多项式都是整式.(3)整式不一定是单项式.(4)整式不一定是多项式.(5)分母中含有字母的代数式不是整式;而是今后将要学习的分式.知识点5:同类项1.定义:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.2.合并同类项:(1)合并同类项的概念:把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.(2)合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.(3)合并同类项步骤:a.准确的找出同类项.b.逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变.c.写出合并后的结果.(4)在掌握合并同类项时注意:a.如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.b.不要漏掉不能合并的项.c.只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式).说明:合并同类项的关键是正确判断同类项.知识点6:去括号(1)如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;(2)如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.知识点7:整式的加减几个整式相加减的一般步骤:(1)列出代数式:用括号把每个整式括起来,再用加减号连接;(2)按去括号法则去括号;(3)合并同类项.考点剖析考点一:代数式及列代数式【典例1】下列各式中,符合代数式书写规则的是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】A.不符合代数式的书写要求,应为,故此选项不符合题意;B.符合代数式的书写要求,故此选项符合题意;C.不符合代数式的书写要求,应为,故此选项不符合题意;D.不符合代数式的书写要求,应为,故此选项不符合题意.故选:B.【变式11】下列各式中,符合代数式书写要求的是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】应表示为:,故选项A不符合要求;应表示为:,故选项B不符合要求;应表示为:,故选项C不符合要求;的书写规范,故选项D符合题意,故选:D.【典例2】苹果原价是每千克a元,现在按八折出售,假如现在要买1千克,那么需要付费(
)A.元 B.元 C.元 D.元【答案】A【解析】苹果原价是每千克a元,现在按八折出售,那么现价为,∴根据“质量×单价=支付费用”可知需要付费为(元).故选A.【变式21】一个两位数,它的十位数字是,个位数字是,那么这个两位数是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】∵一个两位数,它的十位数字是,个位数字是,∴根据两位数的表示方法,这个两位数表示为:.故选:D.考点二:单项式及多项式的概念【典例3】下列说法中,正确的是(
)A.单项式的系数是,次数是3B.关于的多项式是三次二项式C.都是单项式,也都是整式D.是多项式的项【答案】C【解析】单项式的系数是,次数是3,故A不符合题意;关于的多项式不是三次二项式,故B不符合题意;都是单项式,也都是整式,故C符合题意;是多项式的项,故D不符合题意.故选C.【变式31】单项式的系数和次数分别是(
)A.3,3 B. C.3,4 D.【答案】D【解析】单项式的系数和次数分别是,4.故选:D.【变式32】对于多项式的描述正确的是(
)A.此多项式的次数为2 B.是该多项式的一项C.它是三次三项式 D.它是三次四项式【答案】D【解析】多项式是三次四项式,该多项式的项分别是,所以A,B,C不正确,D正确.故选:D.【变式33】多项式中不含的项,则k的值为(
)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】,∵多项式中不含的项,∴,∴,故选:C.【变式34】若多项式是关于a的二次二项式,则的值是(
)A. B.8 C. D.9【答案】B【解析】多项式是关于a的二次二项式,,,,,故选B.考点三:同类项及合并同类项【典例4】计算:(1);(2).【解析】(1)原式.(2)原式.【变式41】下列运算结果正确的是(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】A.,故本选项不符合题意;B.,故本选项符合题意;C.与不是同类项,所以不能合并,故本选项不符合题意;D.与不是同类项,所以不能合并,故本选项不符合题意.故选:B.【变式42】下列各式中,与是同类项的是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】A.与所含字母不同,故错误;B.符合同类项的定义,故正确;C.与所含相同字母的指数不同,故错误;D.与所含字母不同,故错误.故选:B.考点四:整式的加减化简(求值)【典例5】先化简再求值:(1),其中;(2),其中,.【解析】(1),当时,原式;(2),当,时,原式.【变式51】先化简,再求值:,其中.【解析】,当时,原式;【变式52】先合并同类项,再求值:(1),其中;(2),其中,;【解析】(1)原式,当时,原式.(2)原式.当,时,原式.考点五:代数式求值整体法【典例6】若,则的值是()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】∵∴故选:B.【变式61】已知的值为,则代数式的值为(
)A.0 B. C. D.3【答案】B【解析】由题意得:∵的值为,∴,∴.故选:B.【变式62】代数式的值是1,则的值.【答案】【解析】由题意知,,即,∴,故答案为:考点六:代数式求值面积问题【典例7】【知识学习】学习代数式求值时,遇到这样一类题:“代数式的值与的取值无关,求的值”.通常的解题方法是:把,看作字母,看作系数合并同类项,因为代数式的值与的取值无关,所以含项的系数为0,即原式,所以,则.(1)【理解应用】若关于的多项式的值与的取值无关,求的值;(2)已知,,且的值与的取值无关,求的值.(3)【能力提升】有7张如图1的小长方形,长为,宽为,按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分),设右上角的面积为,左下角的面积为,设,当的长变化时,的值始终保持不变,求与的数量关系.
【解析】(1)依题意得,,∵关于的多项式的值与的取值无关,∴,∴.(2)依题意得,∵,∴,∵的值与的取值无关,所以,则.(3)依题意,由图形可知:,,∴,∵当的长变化时,的值始终保持不变,∴.即.【变式71】小明家的房屋平面结构如图,这家房子的主人打算把卧室以外的部分全部都铺上地砖.(1)用含x,y的代数式表示房屋地面的总面积;(2)如果米,米,并且每平方米地砖的造价至少需要200元,你能帮小明算算至少要准备多少钱吗?【解析】(1)依题意得:,答:房屋地面的总面积为.(2),(元),答:至少要准备37800元.【变式72】为培养良好卫生习惯,营造良好寝室文化环境,展现宿舍团结精神,这个学期学校开展“最美寝室”评比活动,小林寝室窗户的窗帘如图1所示,它是由两个半径相同的四分之一圆组成的.(1)用代数式表示窗户能射进阳光的面积(即空白面积).(结果保留)(2)出于美观考虑,小林寝室的同学们重新将房间的窗帘设计成如图2所示(由两个半径相同的四分之一圆和一个半圆组成),请用代数式表示该种设计下窗户能射进阳光的面积.(结果保留)(3)当时,比较哪种设计射进阳光的面积更大,大多少.(取3)【解析】(1)窗户能射进阳光的面积为:;(2)重新设计后窗户能射进阳光的面积为:;(3)当时,原来窗户能射进阳光的面积为:;重新设计后窗户能射进阳光的面积为:;重新设计后窗户能射进阳光的面积原来窗户能射进阳光的面积,重新设计后射进阳光的面积更大,大6.考点七:代数式求值方案设计问题【典例8】某商场销售一种西装和领带,西装每套定价元,领带每条定价元.国庆节期间商场决定开展促销活动.方案一:买一套西装送一条领带;方案二:西装和领带都按定价的付款.现某客户要到该商场购买西装套,领带条.(1)若该客户按方式一购买,需付款_____元(用含的式子表示);若该客户按方式二购买,需付款_____元.(用含的式子表示)(2)若,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?(3)当时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?请写出你的购买方案,并计算出所需费用.【解析】(1)根据题意得:客户要到该商场购买西装套,领带条.方案一费用:元;方案二费用:;故答案为:,.(2)当时,方案一:(元),方案二:(元),所以,按方案二购买较合算;(3)先按方案一购买套西装获赠送条领带,再按方案二购买条领带.所需费用为:(元),是最省钱的购买方案.【变式81】为发展校园篮球运动,某城区四个校区决定联合购买一批篮球运动装备,市场调查发现,甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球服和篮球,已知每套篮球服元,每个篮球元,经洽谈,甲商场的优惠方案是:每购买套篮球服,送一个篮球;乙商场的优惠方案是:若购买篮球服超过套,则购买篮球打八折.(1)若该城区四校联合购买套篮球服和个篮球,则到甲商场购买所花的费用为元,到乙商场购买所花的费用为元;(2)若该城区四校联合购买套篮球服和个篮球,请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买所花的费用;(3)在(2)的条件下,当时,在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠?【解析】(1)甲商场的优惠方案是:每购买10套篮球服,送一个篮球,到甲商场购买所花的费用为:(元),乙商场的优惠方案是:若购买篮球服超过套,则购买篮球打八折,实际购买的篮球服不超过套,故不能打折,到乙商场购买所花的费用为:(元),故答案为:,;(2)到甲商场购买所花的费用为:(元),到乙商场购买所花的费用为:(元);(3)当时,到甲商场购买所花的费用为:(元),到乙商场购买所花的费用为:(元),,到甲商场购买篮球服和篮球更优惠.考点八:代数式求值分段计费问题【典例9】某超市在春节期间对顾客实行优惠,规定如下:一次性购物优惠办法少于200元不予优惠低于500元但不低于200元八折优惠500元或超过500元其中500元部分给予八折优惠,超过500元部分给予七折优惠(1)周老师一次性购物400元,他实际付款_______元;(2)若周老师在该超市一次性购物x元,当x小于500但不小于200时,他实际付款_______元;当大于或等于500时,他实际付款_______元(用含的式子表示);(3)如果周老师两次购物货款合计880元,其中第一次购物的货款为a元,请用含的式子表示两次购物周老师实际一共付款多少元.【解析】(1)因为(元),所以周老师一次性购物400元,他实际付款元,故答案为:;(2)当x小于500但不小于200时,整体按照八折付款,则付款为元;当大于或等于500时,其中500元部分给予八折优惠,超过500元部分给予七折优惠,付款为:元,故答案为:;;(3)由题意得:第一次购物货款为元,且,所以第一次付款为:元,第二次购物货款为:元,且,所以第二次付款为:(元),所以两次购物王老师实际付款为:(元),答:两次购物王老师实际付款为元.【变式91】杭州市2023年自来水收费标准如下表:月用水量不超过216米的部分超过216米不超过300米的部分超过300米的部分收费标准(元/米)2.93.836.7备注:①每月居民用水缴费包括实际用水的水费和污水处理费两部分;②以上表中的价格均已包括1元/米的污水处理费,(1)某用户9月份用水220米,则该用户需缴水费多少元?(2)某用户月用水量为米,请用含的代数式表示该用户月所缴的水费.【解析】(1)该用户9月份应缴水费是(元),所以该用户需缴水费元;(2)①时,所缴水费为元,②时,所缴水费为元,③时,所缴水费为元.过关检测一、选择题1.下列各式中,符合代数式书写格式的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】A、应书写为,故不符合题意;B、应写为,故不符合题意;C、应写为,故不符合题意;D、应写为,故该选项符合题意.故选:D.2.下列去括号正确的是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】∵,故A不符合题意;∵,故B不符合题意;∵,故C不符合题意;∵,故D符合题意.故选:D.3.下列各组式子中,是同类项的是(
)A.2023与2024 B.与 C.与 D.与【答案】A【解析】A、2023与2024是同类项,符合题意;B、与,相同字母的指数不同,不是同类项,不符合题意;C、与,所含字母不相同,不是同类项,不符合题意;D、与,所含字母不相同,不是同类项,不符合题意.故选A.4.已知单项式与的和为单项式,则等于(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】∵单项式与的和为单项式,∴与是同类项,即:,,解得:,,∴,故选:B.5.在一次数学考试中,七年级()班名男生平均得分,名女生平均得分,则这个班全体同学的平均分是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由名男生平均得分,名女生平均得分,则全体同学的总分:,∵全体同学的人数:,∴全体同学的平均分:,故选:.6.下列说法正确的是()A.单项式的系数是3B.的次数是5C.与是同类项D.是五次三项式【答案】C【解析】.单项式的系数是,原说法错误,故本选项不符合题意;.的次数是,原说法错误,故本选项不符合题意;.与是同类项,原说法正确,故本选项符合题意;.是三次三项式,原说法错误,故本选项不符合题意.故选:C.7.若,则的值为(
)A.1 B.4 C.9 D.25【答案】D【解析】,,,,,,故选D.8.周长为的长方形教具,其中一边长为,则另一边长为()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵邻边之和为:,∴另一边长:,故选:A.9.若关于x的多项式与的和不含二次项,则(
)A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】==令,∴,故选:A.10.单项式的系数和次数分别是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】单项式的系数是,次数是,故选D.11.如图,观察图中的图形,则第n个图形中三角形的个数y与n之间的关系式是()
A. B. C. D.【答案】D【解析】第一个图形中三角形的个数为4;第二个图形中三角形的个数为8;第三个图形中三角形的个数为12;从而可知第n个图形中三角形的个数y与n之间的关系式是:.故选:D.二、填空题12.某种桔子的售价是每千克x元,用面值为100元的人民币购买了6千克,应找回元.【答案】(1006x)【解析】应找回(1006x)元,故答案为:(1006x).13.单项式的系数是,次数是.【答案】;5【解析】=,∴系数是,次数是,故答案为:;5.14.已知是关于的三次二项式,则,.【答案】3;【解析】∵是关于的三次二项式,∴,,解得:,,故答案为:3;.15.若多项式中不含项,则k的值为.【答案】【解析】∵多项式中不含项,∴,∴,故答案为:.16.若,则代数式.【答案】【解析】∵,故将代入原式得:,故答案为:.三、解答题17.计算:(1);(2).【解析】(1);(2).18.化简或求值:(1)化简:;(2)先化简,再求值:,其中,.【解析】(1);(2),当,时,原式.19.先化
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