专题02整式的加减

专题02整式的加减知识点1代数式1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.2.代数式的书写格式：①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作；④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a4）应写作；注意：分数线具有除号和括号的双重作用；⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米.知识点2：单项式1.单项式定义由数或字母的积组成的式子叫做单项式（单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式）.2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.说明：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况.如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0；（2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次；（3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数；（4）在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“·”或者省略不写。例如：可以写成或.（5）在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.知识点3：多项式（1）定义：几个单项式的和叫多项式.（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.（3）多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.（4）多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.（5）常数项：多项式里，不含字母的项叫做常数项.知识点4：整式（1）单项式和多项式统称为整式.（2）单项式或多项式都是整式.（3）整式不一定是单项式.（4）整式不一定是多项式.（5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式.知识点5：同类项1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.2.合并同类项：（1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.（2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.（3）合并同类项步骤：a．准确的找出同类项.b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变.c．写出合并后的结果.（4）在掌握合并同类项时注意：a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.b.不要漏掉不能合并的项.c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）.说明：合并同类项的关键是正确判断同类项.知识点6：去括号（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；（2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.知识点7：整式的加减几个整式相加减的一般步骤：（1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接；（2）按去括号法则去括号；（3）合并同类项.考点剖析考点一：代数式及列代数式【典例1】下列各式中，符合代数式书写规则的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意；B．符合代数式的书写要求，故此选项符合题意；C．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意；D．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意．故选：B．【变式11】下列各式中，符合代数式书写要求的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】应表示为：，故选项A不符合要求；应表示为：，故选项B不符合要求；应表示为：，故选项C不符合要求；的书写规范，故选项D符合题意，故选：D．【典例2】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，假如现在要买1千克，那么需要付费（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】A【解析】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，那么现价为，∴根据“质量×单价=支付费用”可知需要付费为（元）．故选A．【变式21】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：．故选：D．考点二：单项式及多项式的概念【典例3】下列说法中，正确的是（

）A．单项式的系数是，次数是3B．关于的多项式是三次二项式C．都是单项式，也都是整式D．是多项式的项【答案】C【解析】单项式的系数是，次数是3，故A不符合题意；关于的多项式不是三次二项式，故B不符合题意；都是单项式，也都是整式，故C符合题意；是多项式的项，故D不符合题意．故选C．【变式31】单项式的系数和次数分别是（

）A．3，3 B． C．3，4 D．【答案】D【解析】单项式的系数和次数分别是，4．故选：D．【变式32】对于多项式的描述正确的是（

）A．此多项式的次数为2 B．是该多项式的一项C．它是三次三项式 D．它是三次四项式【答案】D【解析】多项式是三次四项式，该多项式的项分别是，所以A，B，C不正确，D正确．故选：D．【变式33】多项式中不含的项，则k的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】，∵多项式中不含的项，∴，∴，故选：C．【变式34】若多项式是关于a的二次二项式，则的值是（

）A． B．8 C． D．9【答案】B【解析】多项式是关于a的二次二项式，，，，，故选B．考点三：同类项及合并同类项【典例4】计算：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）原式．【变式41】下列运算结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A．，故本选项不符合题意；B．，故本选项符合题意；C．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；D．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意．故选：B．【变式42】下列各式中，与是同类项的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A．与所含字母不同，故错误；B．符合同类项的定义，故正确；C．与所含相同字母的指数不同，故错误；D．与所含字母不同，故错误．故选：B．考点四：整式的加减化简（求值）【典例5】先化简再求值：(1)，其中；(2)，其中，．【解析】（1），当时，原式；（2），当，时，原式．【变式51】先化简，再求值：，其中．【解析】，当时，原式；【变式52】先合并同类项，再求值：(1)，其中；(2)，其中，；【解析】（1）原式，当时，原式．（2）原式．当，时,原式．考点五：代数式求值整体法【典例6】若，则的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】∵∴故选：B．【变式61】已知的值为，则代数式的值为（

）A．0 B． C． D．3【答案】B【解析】由题意得：∵的值为，∴，∴．故选：B．【变式62】代数式的值是1，则的值．【答案】【解析】由题意知，，即，∴，故答案为：考点六：代数式求值面积问题【典例7】【知识学习】学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．(1)【理解应用】若关于的多项式的值与的取值无关，求的值；(2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．(3)【能力提升】有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系．

【解析】（1）依题意得，，∵关于的多项式的值与的取值无关，∴，∴．（2）依题意得，∵，∴，∵的值与的取值无关，所以，则．（3）依题意，由图形可知：，，∴，∵当的长变化时，的值始终保持不变，∴．即．【变式71】小明家的房屋平面结构如图，这家房子的主人打算把卧室以外的部分全部都铺上地砖．(1)用含x，y的代数式表示房屋地面的总面积；(2)如果米，米，并且每平方米地砖的造价至少需要200元，你能帮小明算算至少要准备多少钱吗？【解析】（1）依题意得：，答：房屋地面的总面积为．（2），（元），答：至少要准备37800元．【变式72】为培养良好卫生习惯，营造良好寝室文化环境，展现宿舍团结精神，这个学期学校开展“最美寝室”评比活动，小林寝室窗户的窗帘如图1所示，它是由两个半径相同的四分之一圆组成的．(1)用代数式表示窗户能射进阳光的面积（即空白面积）．（结果保留）(2)出于美观考虑，小林寝室的同学们重新将房间的窗帘设计成如图2所示（由两个半径相同的四分之一圆和一个半圆组成），请用代数式表示该种设计下窗户能射进阳光的面积．（结果保留）(3)当时，比较哪种设计射进阳光的面积更大，大多少．（取3）【解析】（1）窗户能射进阳光的面积为：；（2）重新设计后窗户能射进阳光的面积为：；（3）当时，原来窗户能射进阳光的面积为：；重新设计后窗户能射进阳光的面积为：；重新设计后窗户能射进阳光的面积原来窗户能射进阳光的面积，重新设计后射进阳光的面积更大，大6．考点七：代数式求值方案设计问题【典例8】某商场销售一种西装和领带，西装每套定价元，领带每条定价元．国庆节期间商场决定开展促销活动．方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的付款．现某客户要到该商场购买西装套，领带条．(1)若该客户按方式一购买，需付款_____元（用含的式子表示）；若该客户按方式二购买，需付款_____元．（用含的式子表示）(2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？(3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算出所需费用．【解析】（1）根据题意得：客户要到该商场购买西装套，领带条．方案一费用：元；方案二费用：；故答案为：，．（2）当时，方案一：（元），方案二：（元），所以，按方案二购买较合算；（3）先按方案一购买套西装获赠送条领带，再按方案二购买条领带．所需费用为：（元），是最省钱的购买方案．【变式81】为发展校园篮球运动，某城区四个校区决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球服和篮球，已知每套篮球服元，每个篮球元，经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买套篮球服，送一个篮球；乙商场的优惠方案是：若购买篮球服超过套，则购买篮球打八折．(1)若该城区四校联合购买套篮球服和个篮球，则到甲商场购买所花的费用为元，到乙商场购买所花的费用为元；(2)若该城区四校联合购买套篮球服和个篮球，请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买所花的费用；(3)在（2）的条件下，当时，在哪家商场购买篮球服和篮球更优惠？【解析】（1）甲商场的优惠方案是：每购买10套篮球服，送一个篮球，到甲商场购买所花的费用为：（元），乙商场的优惠方案是：若购买篮球服超过套，则购买篮球打八折，实际购买的篮球服不超过套，故不能打折，到乙商场购买所花的费用为：（元），故答案为：，；（2）到甲商场购买所花的费用为：（元），到乙商场购买所花的费用为：（元）；（3）当时，到甲商场购买所花的费用为：（元），到乙商场购买所花的费用为：（元），，到甲商场购买篮球服和篮球更优惠．考点八：代数式求值分段计费问题【典例9】某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：一次性购物优惠办法少于200元不予优惠低于500元但不低于200元八折优惠500元或超过500元其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠(1)周老师一次性购物400元，他实际付款_______元；(2)若周老师在该超市一次性购物x元，当x小于500但不小于200时，他实际付款_______元；当大于或等于500时，他实际付款_______元（用含的式子表示）；(3)如果周老师两次购物货款合计880元，其中第一次购物的货款为a元，请用含的式子表示两次购物周老师实际一共付款多少元．【解析】（1）因为（元），所以周老师一次性购物400元，他实际付款元，故答案为：；（2）当x小于500但不小于200时，整体按照八折付款，则付款为元；当大于或等于500时，其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠，付款为：元，故答案为：；；（3）由题意得：第一次购物货款为元，且，所以第一次付款为：元，第二次购物货款为：元，且，所以第二次付款为：（元），所以两次购物王老师实际付款为：（元），答：两次购物王老师实际付款为元．【变式91】杭州市2023年自来水收费标准如下表：月用水量不超过216米的部分超过216米不超过300米的部分超过300米的部分收费标准（元/米）2.93.836.7备注：①每月居民用水缴费包括实际用水的水费和污水处理费两部分；②以上表中的价格均已包括1元/米的污水处理费，(1)某用户9月份用水220米，则该用户需缴水费多少元？(2)某用户月用水量为米，请用含的代数式表示该用户月所缴的水费．【解析】（1）该用户9月份应缴水费是（元），所以该用户需缴水费元；（2）①时，所缴水费为元，②时，所缴水费为元，③时，所缴水费为元．过关检测一、选择题1．下列各式中，符合代数式书写格式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、应书写为，故不符合题意；B、应写为，故不符合题意；C、应写为，故不符合题意；D、应写为，故该选项符合题意．故选：D．2．下列去括号正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，故A不符合题意；∵，故B不符合题意；∵，故C不符合题意；∵，故D符合题意．故选：D．3．下列各组式子中，是同类项的是（

）A．2023与2024 B．与 C．与 D．与【答案】A【解析】A、2023与2024是同类项，符合题意；B、与，相同字母的指数不同，不是同类项，不符合题意；C、与，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意；D、与，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意．故选A．4．已知单项式与的和为单项式，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵单项式与的和为单项式，∴与是同类项，即：，，解得：，，∴，故选：B．5．在一次数学考试中，七年级（）班名男生平均得分，名女生平均得分，则这个班全体同学的平均分是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由名男生平均得分，名女生平均得分，则全体同学的总分：，∵全体同学的人数：，∴全体同学的平均分：，故选：．6．下列说法正确的是（）A．单项式的系数是3B．的次数是5C．与是同类项D．是五次三项式【答案】C【解析】．单项式的系数是，原说法错误，故本选项不符合题意；．的次数是，原说法错误，故本选项不符合题意；．与是同类项，原说法正确，故本选项符合题意；．是三次三项式，原说法错误，故本选项不符合题意．故选：C．7．若，则的值为（

）A．1 B．4 C．9 D．25【答案】D【解析】，，，，，，故选D．8．周长为的长方形教具，其中一边长为，则另一边长为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵邻边之和为：，∴另一边长：，故选：A．9．若关于x的多项式与的和不含二次项，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【解析】==令，∴，故选：A．10．单项式的系数和次数分别是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】单项式的系数是，次数是，故选D．11．如图，观察图中的图形，则第n个图形中三角形的个数y与n之间的关系式是（）

A． B． C． D．【答案】D【解析】第一个图形中三角形的个数为4；第二个图形中三角形的个数为8；第三个图形中三角形的个数为12；从而可知第n个图形中三角形的个数y与n之间的关系式是：．故选：D．二、填空题12．某种桔子的售价是每千克x元，用面值为100元的人民币购买了6千克，应找回元．【答案】（1006x）【解析】应找回（1006x）元，故答案为：（1006x）．13．单项式的系数是，次数是．【答案】；5【解析】=，∴系数是，次数是，故答案为：；5．14．已知是关于的三次二项式，则，．【答案】3；【解析】∵是关于的三次二项式，∴，，解得：，，故答案为：3；．15．若多项式中不含项，则k的值为．【答案】【解析】∵多项式中不含项，∴，∴，故答案为：．16．若，则代数式．【答案】【解析】∵，故将代入原式得：，故答案为：．三、解答题17．计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．18．化简或求值：(1)化简：；(2)先化简，再求值：，其中，．【解析】（1）；（2），当，时，原式．19．先化