人教B版必修一课后作业第一章集合与函数的概念章末复习课

学习目标1.深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．2．元素与集合有且只有两种关系：∈，∉.3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图，常用数集字母代号．4．集合间的关系与集合的运算符号定义Venn图子集A⊆Bx∈A⇒x∈B真子集A?BA⊆B且存在x0∈B但x0∉A并集A∪B{x|x∈A或x∈B}交集A∩B{x|x∈A且x∈B}补集∁UA(A⊆U){x|x∈U且x∉A}5.常用结论(1)∅⊆A.(2)A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔A⊇B.(3)A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.(4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.类型一集合的概念及表示法例1下列表示同一集合的是()A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}B．M＝{2,1}，N＝{1,2}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}D．M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}答案B解析A选项中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；B选项中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；C选项中M，N均为数集，显然有M?N；D选项中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1的值域，故选B.反思与感悟要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.答案{(4,4)}解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,2x－3y＋4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))∴A∩B＝{(4,4)}．类型二集合间的基本关系例2若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集合．解由题意得，P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－eq\f(1,a)，为满足S⊆P，可使－eq\f(1,a)＝－3或－eq\f(1,a)＝2，即a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,2).故所求集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，－\f(1,2))).反思与感悟(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．跟踪训练2下列说法中不正确的是________．(只需填写序号)①若集合A＝∅，则∅⊆A；②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；③已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a>2.答案③解析∅是任何集合的子集，故①正确；∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，∴A＝B，故②正确；若A⊆B，则a≥2，故③错误．类型三集合的交、并、补运算命题角度1用符号语言表示的集合运算例3设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．跟踪训练3已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁UB)等于()A．{1} B．{3,6}C．{4,5} D．{1,3,4,5,6}答案B解析∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，∴∁UB＝{0,2,3,6}，又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁UB)＝{3,6}，故选B.命题角度2用图形语言表示的集合运算例4设全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}．则图中阴影部分表示的集合为________．答案{x|1≤x<2}解析图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)，因为∁UB＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(∁UB)＝{x|1≤x＜2}．反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．跟踪训练4学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？解设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如图)，则没有参加过比赛的同学有：45－(12＋20－6)＝19(名)．答这个班共有19名同学没有参加过比赛．类型四关于集合的新定义题例5设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A.其中正确结论的序号是________．答案②④解析①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④.反思与感悟新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．跟踪训练5设数集M＝{x|m≤x≤m＋eq\f(3,4)}，N＝{x|n－eq\f(1,3)≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果b－a叫做集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,12)D.eq\f(5,12)答案C解析方法一由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m＋\f(3,4)≤1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)≥0，,n≤1，))解得0≤m≤eq\f(1,4)，eq\f(1,3)≤n≤1.取字母m的最小值0，字母n的最大值1，可得M＝{x|0≤x≤eq\f(3,4)}，N＝{x|eq\f(2,3)≤x≤1}，所以M∩N＝{x|0≤x≤eq\f(3,4)}∩{x|eq\f(2,3)≤x≤1}＝{x|eq\f(2,3)≤x≤eq\f(3,4)}，此时得集合M∩N的“长度”为eq\f(3,4)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,12).方法二集合M的“长度”为eq\f(3,4)，集合N的“长度”为eq\f(1,3).由于M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，而{x|0≤x≤1}的“长度”为1，由此可得集合M∩N的“长度”的最小值是(eq\f(3,4)＋eq\f(1,3))－1＝eq\f(1,12).1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个 B．4个C．6个 D．8个答案B2．下列关系中正确的个数为()①eq\f(\r(2),2)∈R；②0∈N＋；③{－5}⊆Z.A．0B．1C．2D．3答案C解析①③正确．3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B等于()A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}答案A解析由A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，得A∪B＝{x|－1＜x＜3}．故选A.4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁IM)∩(∁IN)等于()A．∅ B．{d}C．{b，e} D．{a，c}答案A5．已知P＝{y|y＝a2＋1，a∈R}，Q＝{m|m＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是()A．P⊆Q B．P⊇QC．P＝Q D．P∩Q＝∅答案D1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．课时作业一、选择题1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于()A．{1,4} B．{－1，－4}C．{0} D．∅答案D解析因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N＝∅，故选D.2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}答案D解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁UA)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}答案D解析画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．4．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是()A．－1B．0C．1D．1或－1答案A解析由M∩N＝N得N⊆M.当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．5．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁UA)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a＞3 B．a≥3C．a≥7 D．a＞7答案A解析因为A＝{x|x＜3或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x＜7}，又(∁UA)∩B≠∅，则a＞3.6．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()答案A解析如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.二、填空题7．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∪(∁UB)＝________.答案{1,4}解析∵∁UB＝{x|x<2或x>3}，∴A∩(∁UB)＝{1,4}．8．设集合A＝{1，－1，eq\r(a)}，B＝{1，a}，A∩B＝B，则a＝______.答案0解析∵A∩B＝B，即B⊆A，∴a∈A.要使eq\r(a)有意义，a≥0.∴a＝eq\r(a)，∴a＝0或a＝1，由元素互异，舍去a＝1.∴a＝0.9．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________.答案{(3，－1)}解析M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中的元素也是点，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))∴M∩N＝{(3，－1)}．10．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是________．答案{a|－eq\f(1,2)≤a≤2或a>3}解析①若A＝∅，则A∩B＝∅，此时2a>a＋3，即a>3.②若A≠∅，如图，由A∩B＝∅可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得－eq\f(1,2)≤a≤2.综上所述，a的取值范围是{a|－eq\f(1,2)≤a≤2或a>3}．三、解答题11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.解结合图形可得M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(xy≥0，－2≤x≤\f(5,2)，－1≤y≤\f(3,2))))).12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(3)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．解(1)因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＋1>2m－1，则m<2，符合；当B≠∅时，根据题意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.综上可得，实数m的取值范围是m≤3.(2)当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.(3)当B＝∅时，由(1)知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,2m－1<－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1>5，))解得m>4.综上可得，实数m的取值范围是m<2或m>4.13．设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1