三角函数周期性的定义教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版

教学设计教师姓名微课名称三角函数周期性的定义知识点来源学科：数学 年级：高一教材版本：人教A版必修一所属章节：第五章三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性质录制工具和方法先用电脑录频软件XBox将数学软件Geogebra中动画录制好，再用录制要输入的音频，制成PPT，用CamtasiaStudio软件录制设计思路本节内容是三角函数周期性的定义，它既是对前面三角函数定义及部分诱导公式的一次理解“升华”，又是研究三角函数图象与性质的基础.有了周期性，学生才可能认识到作三角函数的图象时并不需要画出整个定义域内的所有图象，而可以通过“局部”的图象特征去反映“整体”的图象特征，用“有限”来刻画“无限”.本节微课从学生已有的经验“正弦函数的图象”引入，并举出生活中大量周而复始的现象，得出结论：周期现象是，每隔一特定时间就出现相同结果，再利用“每隔7天都是周六”抽象得到函数表达式，结合诱导公式归纳结论：周期函数就是，自变量每增加或减少一个固定的值时函数值就相等，从而得到“周期性”的严格定义.并举例强调表达式中和的要求，以及从图象的角度解析该公式的本质含义.然后从正弦函数和常函数出发概括出了最小正周期的定义，进一步得出正切函数的周期.最后通过习题帮助学生掌握研究函数周期性的一般方法.本节课体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程，即突出三角函数的周期性，也不弱化周期性的本质.教学设计内容教学目的知识与技能：了解正弦函数、余弦函数图象“周而复始”的几何特征，了解周期函数的应用背景；理解周期函数、（最小正）周期的定义.过程与方法：经历观察发现、概括归纳的探究过程，学习数学由具体到抽象、由特殊到一般的思维方式.情感态度价值观：感受三角函数周期的简洁美、概括美、统一美；理解将无限问题转化为有限问题的化归思想，培养数学探究的意识；体会周期性的科学价值和应用价值，形成崇尚数学的精神.教学重点难点重点：研究函数图象与周期性的一般思路和方法.难点：周期函数、（最小正）周期的定义．教学过程一、创设情境，引入课题（1）趣味引入师：同学们好，前面我们学习了正弦函数的图象，然后经过平移变换得到了余弦函数的图象，它们都是一条周而复始、波浪起伏的曲线，我们把这一别致的几何特征叫做“周期性”.今天，我们要从代数的角度给出函数周期性的严格定义，这样我们就能掌握研究函数周期性的一般方法了.师：事实上，周而复始的现象在我们生活中随处可见，比如：摩天轮和钟表的转动、一周课表，比如：十二生肖、十二星座，再比如：黑夜白昼、潮起潮落、春去秋来、阴晴圆缺、花谢花开等等，都是“每隔一特定时间就出现相同结果”.具体地，咱们举例来说：（1）抽象问题问题1:2022年的元旦是周六，你知道2023年的元旦是周几吗？生：周日！师：为什么？生：因为每隔7天都是周六，364天后还是周六，第365天就是周日.师：很好！每隔7天都是周六，每隔7天都是相同的结果，你能用数学函数表达式来描述吗？生：.师：太棒了！即自变量每增加7或者7的整数倍时，与对应的函数值是相等的.再比如诱导公式表示自变量每增加的整数倍时，与对应的函数值是相等的.因此周期现象是：每隔一特定时间就出现相同结果；那么周期函数就是：自变量每增加或减少一个固定的值时函数值就相等.即.【设计意图】数学源于生活，高于生活，同时服务于生活.数学是自然规律的高度概括与抽象.引导学生通过生活中的实例抽象出周期函数的定义，并对学习内容产生浓厚兴趣.二、尝试定义、深化理解（1）创设障碍师：表达式中是任意的吗？生：不是，，如果，表达式恒成立，意味着任意函数都是周期函数.而我们学过的二次函数、指数函数、对数函数就不具有周而复始的现象.所以.师：它对自变量有没有要求呢？我们先来看看以下问题.问题2：下列命题正确吗？（1）当时，，所以是的周期.（2）当时，，所以一定不是的周期.师：第（1）题对吗？生：错误，诱导公式可知，这个等式只是取某些值时才成立，不是对定义域中的每一个都成立.师：太好了！第（2）题呢？生：正确.如果对定义域中的某个值使表达式不成立，那这个常数就一定不是周期.师：哇，真厉害！所以周期性是函数的一个整体性质，必须对定义域中的每一个，都成立才行.【设计意图】通过对函数周期性概念的辨析，理解“非零常数”和“定义域内的每一个值”，而不是“某一个值”的意义．反例或错误可以让学生更深入地理解概念.让学生感受到对数学本质的研究是逐步认识和完善的.（2）形成周期函数概念周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数.非零常数就叫做这个函数的周期.（3）数形结合，深化理解例：下列函数图象中，哪一些反映了函数具有周期性？生：老师，好像都是周期函数.师：到底是不是，得问周期函数的定义哦！，这个式子从图象上来说即函数的图象往左（右）平移个单位后与原函数图象重合.你再仔细看看.生：第(3)不是！原点附近的图象经过左右平移后，不会和原函数的图象重合.师：对的，你找到了问题的关键所在！【设计意图】从函数图象的角度帮助学生理解周期性的概念.（4）特殊入手问题3：我们知道正弦函数是周期函数，周期是多少，唯一吗？生：周期是，不唯一，,且都是它的周期.师：哦，周期函数的周期有无数个.若为函数的周期，则也是它的周期.在这么多周期中，我们挑了一个具有代表性的“最小的正数”作为函数周期，这就是“最小正周期”的概念.（5）形成最小正周期概念2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.师：周期函数的周期中一定存在最小正数吗？我们来看看这个常函数，它的图象是这样的：师：是周期函数吗？生：是的.师：周期是多少？生：任意非零常数，常函数的周期是任意非零常数！师：很好！这里我们要做如下说明：①周期函数不一定有最小正周期；②对于周期，如果不加说明，一般指函数的最小正周期.师：下面我们来看三角函数的周期.（6）概括总结三角函数周期问题4：我们知道正弦函数、余弦函数周期都是，结合诱导公式和正切函数图象，你知道的周期是多少了吗？生：老师，正切函数周期是.师：恭喜你，答对了！【设计意图】数形结合，让学生深刻体会周期函数的图象特征，结合最小正周期的概念，并通过观察图象得出三角函数函数的周期.三、课堂小结、作业布置师：本节课我们学习了周期函数的定义，得到了三角函数的周期，并能够结合图象判断一些简单的函数的周期性．1、正弦函数、余弦函数周期都是；2、正切函数的周期是.练习：1、判断下列函数是否为周期函数，并借助信息技术画出函数的图象进行检验：（1）；（2）.2、拓广探索：（1）已知，且，；（2）已知，且，；（3）若定义域内的每一个都满足（为常数，且），则函数具有周期性吗？（4）若定义域内的每一个都满足（为常数，且），则函数具有周期性吗？3：

微课评审参考标准一级指标二级指标指标说明选题设计（10）选题简明（5）主要针对知识点、例题/习题、实验活动等环节进行讲授、演算、（微设计合理（5）等问题。教学内容（20）科学正确（5）教学内容严谨，不出现任何科学性错误。逻辑清晰（10）晰、重点突出，逻辑性强，明了易懂。内容完整（5）思等内容完整，突出重点，注重实效，体现完整设计思路。教学效果（40）目标达成（20）升、能力的提高。形式创