新人教版高中数学必修第一册同步教学-课时作业57 三角函数的应用【含解析】

课时作业57三角函数的应用【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是()A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为－5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的运动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的位移为零2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)t＋\f(π,3)))，那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和一次所需的时间(秒)为()A．3,4 B．－3,4C．3,2 D．－3,23．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？()A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]4．在两个弹簧上分别挂一个质量为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(π,3))).则在时间t＝eq\f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是()A．s1>s2 B．s1<s2C．s1＝s2 D．不能确定5．如图是函数y＝sinx(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是()6．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，角速度(单位时间内所走的弧度)为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()7.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O，距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有()A．ω＝eq\f(5π,12)，A＝5 B．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3C．ω＝eq\f(5,12)π，A＝3 D．ω＝eq\f(15,2)π，A＝58．动点A(x，y)在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12s旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是()A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]二、填空题9．一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为α(rad)，α作为时间t(s)的函数，满足关系α(t)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2))).经过s单摆完成5次完整摆动．10.如图所示的图象显示的是相对于海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为.三、解答题11.如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与θ之间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过ts到达OB，求h与t之间关系的函数解析式．12．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？13．如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边三角形ABC，当∠AOB＝x时，S四边形OACB等于()A．sinx B．sinx－eq\r(3)cosx＋eq\f(5\r(3),4)C．－eq\r(3)cosx＋eq\f(5\r(3),4) D．sinx＋eq\r(3)cosx－eq\f(5\r(3),4)14．(多选题)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3eq\r(3)，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，t≥0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2).则下列叙述正确的是()A．R＝6，ω＝eq\f(π,30)，φ＝－eq\f(π,6)B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减D．当t＝20时，|PA|＝6eq\r(3)15.如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(单位：厘米)由如下关系式确定：h＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))，t∈[0，＋∞)，则小球在开始振动(即t＝0)时h的值为eq\r(2)，小球振动过程中最大的高度差为厘米．16．当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.x(月份)123456t(气温)17.317.917.315.813.711.6x(月份)789101112t(气温)10.069.510.0611.613.715.8(1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿市的月平均气温建立一个函数模型；(2)当平均气温不低于13.7℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间．课时作业57三角函数的应用【解析版】时间：45分钟一、选择题1．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(D)A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为－5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的运动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的位移为零解析：由题中图象及简谐运动的有关知识知，T＝0.8s，A＝5cm.当t＝0.1s或0.5s时，v为零．2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)t＋\f(π,3)))，那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和一次所需的时间(秒)为(A)A．3,4 B．－3,4C．3,2 D．－3,2解析：振幅A＝3(厘米)，T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4(秒)．故选A．3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？(C)A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]解析：由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C．4．在两个弹簧上分别挂一个质量为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(π,3))).则在时间t＝eq\f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是(C)A．s1>s2 B．s1<s2C．s1＝s2 D．不能确定解析：当t＝eq\f(2π,3)时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2，故选C．5．如图是函数y＝sinx(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(A)解析：当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝π－2x，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，f(x)＝2x－π，故选A．6．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，角速度(单位时间内所走的弧度)为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(C)解析：P从P0出发，逆时针运动，t＝0时，d＝eq\r(2)，t与d满足关系式d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,4)))))(t≥0)，故选C．7.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O，距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(B)A．ω＝eq\f(5π,12)，A＝5 B．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3C．ω＝eq\f(5,12)π，A＝3 D．ω＝eq\f(15,2)π，A＝5解析：因为水轮的半径为3米，水轮圆心O，距离水面2米，所以A＝3米，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，所以T＝15＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝eq\f(2π,15).8．动点A(x，y)在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12s旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是(D)A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]解析：∵T＝12，∴ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，从而设y关于t的函数为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ)).又t＝0时，y＝eq\f(\r(3),2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，∴2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z时，函数单调递增．∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]和[7,12]．二、填空题9．一个单摆如图所示，小球偏离铅垂方向的角为α(rad)，α作为时间t(s)的函数，满足关系α(t)＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2))).经过5πs单摆完成5次完整摆动．解析：由已知可得函数的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，所以要完成5次完整摆动，需要5个周期，即需要5π(s)．10.如图所示的图象显示的是相对于海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为y＝－6sineq\f(π,6)x.解析：将题图看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).将(6,0)看成函数图象的第一个特殊点，则eq\f(π,6)×6＋φ＝0.所以φ＝－π.所以函数关系式为：y＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－π))＝－6sineq\f(π,6)x.三、解答题11.如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与θ之间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过ts到达OB，求h与t之间关系的函数解析式．解：(1)过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.当eq\f(π,2)<θ≤π时，∠BOM＝θ－eq\f(π,2)，h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))；当0≤θ≤eq\f(π,2)，π<θ≤2π时，上述解析式也适合．综上所述，h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).(2)因为点A在⊙O上逆时针运动的角速度是eq\f(π,30)rad/s，所以ts转过的弧度数为eq\f(π,30)t，所以h＝4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＋5.6，t∈[0，＋∞)．12．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？解：(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以最大温差为30℃－10℃＝20℃.(2)令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq\f(1,2)，而x∈[4,16]，所以x＝eq\f(26,3).令10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq\f(1,2)，而x∈[4,16]，所以x＝eq\f(34,3).故该细菌能存活的最长时间为eq\f(34,3)－eq\f(26,3)＝eq\f(8,3)(小时)．13．如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边三角形ABC，当∠AOB＝x时，S四边形OACB等于(B)A．sinx B．sinx－eq\r(3)cosx＋eq\f(5\r(3),4)C．－eq\r(3)cosx＋eq\f(5\r(3),4) D．sinx＋eq\r(3)cosx－eq\f(5\r(3),4)解析：如图，S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC．过点B作BD⊥MN于D，则BD＝BOsin(π－x)，即BD＝sinx.∴S△AOB＝eq\f(1,2)×2sinx＝sinx.∵OD＝BOcos(π－x)＝－cosx，∴AB2＝BD2＋AD2＝sin2x＋(－cosx＋2)2＝5－4cosx.∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ABsin60°＝eq\f(5\r(3),4)－eq\r(3)cosx.∴S四边形OACB＝sinx－eq\r(3)cosx＋eq\f(5\r(3),4).14．(多选题)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3eq\r(3)，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，t≥0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2).则下列叙述正确的是(ABD)A．R＝6，ω＝eq\f(π,30)，φ＝－eq\f(π,6)B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减D．当t＝20时，|PA|＝6eq\r(3)解析：由题意，R＝eq\r(3\r(3)2＋－32)＝6，T＝60＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝eq\f(π,30).由点A(3eq\r(3)，－3)可得－3＝6sinφ.因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6)，故A正确；f(t)＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,6)))，当t∈[35,55]时，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,3)))，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；当t∈[10,25]时，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，函数y＝f(t)不单调，故C不正确；当t＝20时，eq\f(π,30)t－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，点P的纵坐标为6，由勾股定理可得|PA|＝eq\r(3\r(3)2＋6＋32)＝eq\r(27＋81)＝6eq\r(3)，故D正确．故选ABD．15.如图，弹簧挂着一个小球做上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(单位：厘米)由如下关系式确定：h＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))，t∈[0，＋∞)，则小球在开始振动(即t＝0)时h的值为eq\r(2)，小球振动过程中最大的高度差为4厘米．解析：由关系式h＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(π,4)))，t∈[0，＋∞)，知当t＝0时，h＝