三角形二（江苏专用）初中数学

第二步大题得高分

考点24三角形(2)

真题回顾

1.(2020•辽宁大连市•中考真题)如图1,DABC中，点。，瓦尸分别在边AB,5cAe

上，BE=CE,点G在线段CD上，CG=CA,GF=DE,ZAFG=ZCDE.

(1)填空：与NC4G相等的角是一；

(2)用等式表示线段AO与80的数量关系，并证明；

AC

(3)若NBAC=90",ZABC=2NAC。(如图2),求——的值.

AB

【答案】(1)ZCGA；(2)AD=-BD,理由见解析；(3)也.

23

【分析】

(1)由CG=C4可得到答案；

(2)在CG上取点“，使G"=4尸，连接先证明口AG"乌匚G4尸,再证明四边形

A//ED是平行四边形，从而得到E”为口。3。的中位线，从而可得答案；

1

(3)如图，在CG上取点〃，使GH=A/，连接E”，同理可得：四边形是平

行四边形，证明AH==CH,再证明N8OE=/BED,得到8D=8E=C瓦设

AD=m,利用勾股定理求解AC,即可得到答案.

【详解】

解：⑴•/CG=CA,

ZCAG=ZCGA,

故答案为：ZCGA.

(2)AD=-BD,理由如下：

2

在CG上取点“，使G"=A£连接EH,

NHGA=ZFAG,AG=GA,

：DAGH^]GAF,

AH=GF,AGHA=ZAFG,

GF=DE,ZAFG=ZCDE,

：.AGHA=ZCDE,AH=DE,

：.AH//DE,

•••四边形是平行四边形，

..AD=EH,AD//EH,

BE=CE,

2

:.EH为口CBD的中位线,

:.EH=-BD,

2

AD=-BD.

2

（3）如图，在CG上取点〃，使GH=Ab,连接E”，

同理可得：四边形A”E。是平行四边形，

AD=EHJBD,E”为口。3。的中位线，

2

vZBAC=90°,

AH=DH=CH,

设ZACD=x。，

:.ZHAC^ZHCA^x°,

：.ZAHD=2x°,

：.ZHDA=/HAD=90°-x°,

AHUDE,

；.4HDE=4DHA=2x0,

3

ZBDE=180°-2x°-（90°-x°）=90°-x°,

ZABC=2ZACD.

：.N8=2x。，

:./BED=180。-2x0-（90。-x。）=90。-x。，

ZBDE=ZBED,

/.BD=BE=CE,

设AD=m,

BD=BE=CE=2/71,

/.AB=3m,BC=4m,

AC=飞BC?-AB?=J（4〃Z）2-（3〃z『=回

.AC币帆_S

AB3m3

图2

【点睛】

4

本题考查的等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，三角形的中位线的性质，

直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关

键.

2.(2020•江苏盐城市•中考真题)木门常常需要雕刻美丽的图案.

(1)图①为某矩形木门示意图，其中A5长为200厘米，长为100厘米，阴影部分是

边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模

具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；

(2)如图②，对于(1)中的木门，当模具换成边长为3附厘米的等边三角形时，刻刀的

位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行

滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转

雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请

在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长.

5

<

图②

------------------

【答案】(1)480cm；(2)雕刻所得图案的草图见解析，图案的周长为

(600-1206+20万"〃

【分析】

(1)过点尸作求出PE,进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可

解答；

(2)如图，过P作PQLCD于Q,连接PG先利用等边三角形的性质求出PQ、PG及NPGE,

当移动到点P'时，求得旋转角和点P旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图

案的草图，再结合图形可求得所得图案的周长.

【详解】

(1)如图，过点P作PE，。,垂足为E

6

D

P是边长为30c加的正方形模具的中心，

.1.PE=\5crn,

同理：A!B'与AB之间的距离为15cm,

A'D'与AO之间的距离为15c加，

夕C'与之间的距离为15cm,

.'.A'B'=C'D'=200-15-15=170cm,

B'C'=A'D'=100-15-15=10cm,

。边形=(170+70)x2=480cm.

答：图案的周长为480cM.

(2)如图，连接PE、PF、PG,过点p作尸QLCD,垂足为。

7

L

<E9

E句。

BC

P是边长为30cm的等边三角形模具的中心,

PE=PG=PF,ZPGF=30°

QPQ1GF,

GQ=QF=15>/3cm,

PQ=CQ-tan300=15cm,

PG=CQ=30C7〃.

cos30°

当三角形EFG向上平移至点G与点0重合时,

由题意可得：VE'/'G'绕点。顺时针旋转30。,

使得E'G'与AD边重合

'绕点。顺时针旋转30°至。尸"，

30•1・30

=5cm.

180

8

同理可得其余三个角均为弧长为5〃c机的圆弧，

图中的虚线即为所画的草图，

.•.C=（200—306+100-3O@x2+［；0-x4

=100-1206+20万"〃.

答：雕刻所得图案的草图的周长为（600—120^+20对皿

【点睛】

本题考查了图形的平移与旋转、等边三角形的性质、解含30°角的直角三角形、图形的周

长等知识，解答的关键是熟练掌握图形平移和旋转过程中的变化特征，结合基本图形的性质

进行推理、探究、发现和计算.

模拟预测

3.（2021•江苏九年级其他模拟）（问题情境）

（1）射影定理：如图1,在中，ZACB=90°,如果垂足为。,

那么有①②AC2=A8AD；@BC2请你证明射影定理中

的结论③即BC2=ABBD.

（结论运用：请直接使用射影定理解决下列问题）

（2）如图2,正方形A8CO的边长为6,点。是对角线AC、3。的交点，点£在。力上,

过点。作。尸，8七，垂足为尸，连接。尸，

9

①求证：UBOF^GBED；

②若BE=2厢，求。尸的长.

【答案】(1)见解析；(2)①见解析：②述

5

【分析】

(1)根据角的等量代换证明根据相似三角形的性质即可得证；

(2)①在RNBCE使用射影定理，得至IBC2=BOBD＞在RNBCE中使用射影定理,

得至UBC?=BFBE，即可得证口BO/SIBEO；②：结合①所得，计算出CE、DE、BO、

3E即可得解.

【详解】

(1)证明：vZACB=90°,CDLAB

NCDB=NACB=90°

•/NB=/B

.DCBD^aABC

.BDBC

：.BC2=ABBD

(2)①•.•四边形ABC。为正方形，

.♦.RZnCB。中，NBC。=90。，OC1BO,

BC?=BOBD，

•.•RZOBCE中，N5CE=90°,CFVBE,

10

BC?=BF•BE，

：.BOBD=BFBE,即一=—,

BEBD

又•；"BF=NEBD,

.DBOF^BED；

②•.•在RfVBCE中，BC=6,BE=2M，

：.CE=\IBE2-BC2=2-

:.DE=BC-CE=4,

在R/OOBC中，OB=sin45°BC=3&

:UBOFTBED,

OFBOOF372

——=——，即R11——=.___

DEBE42版

:.0F=处.

5

【点睛】

本题考查了射影定理的证明与应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形;

读懂题意，并能理解运用射影定理是本题的关键.

4.（2021•湖北武汉市•九年级一模）由边长为1的小正方形构成网格，每个小正方形的

顶点叫做格点，点2、B、a〃都是格点，仅用无刻度的直尺在给定12X8的网格中画图，

画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：

11

(1)平移线段ZC得到线段外；在图1中画出线段。£；

(2)点尸在线段回上，使△力跳1的面积等于△ZCF面积的2倍，在图1中画出线段ZR

(3)点M在线段40上，使tan/力的/=在图2中画出线段班/.

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.

【分析】

(1)由平移的性质画出对应的线段。〃即可；

(2)根据△/防的面积等于△力门■面积的2倍，而两个三角形等高，因此小2CK即尸为

5c的三等分点且是靠近。点的，因此作出三等分点即可；

(3)如图所示，连接力/,取/尸中点0,过点。作。N/77交力/于"连接期并延长交力〃

于“，即为所求.

【详解】

图1

12

解：(1)、•。点是4点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到的，故由平移的性质

可知，£是。点这样平移得到的

..•将C点先向右平移6个单位，再向上平移一个单位得到E点"然后连接〃后即为所求

故答案为：如上图所示.

(2):•△力8"的面积等于1面积的2倍，而两个三角形等高，因此8斤=25即尸为员;

的三等分点且是靠近c1点的

，如图所示找到。点和S点，连接CQ,过点S作SP〃CQ交BC于F,连接AF

:如图所示可知BS=2QS,SP〃CQ

△阳Ss△收

：.BF=2CF

/点即为所求

故答案为：如上图所示.

13

BF

(3)如图所示，找到P、/、0,然后连接，PJ、AJ、AP,其中。为力尸中点

过点。作CW""交力/于N,连接刖并延长交AD于M

为工夕中点，ON〃PJ

为//的中点

：.t\AONs(\AP)

•••AN=-AJ=Ly/Pj2+Ap2=返

222

又•；AB=JAT2+BT。=盘

"：AB=Aj,AP=AT,BT=PJ

:.XABT^lXAlP

:.NBAT=NJAP

:./BA/=90°

14

V26

AN___1

AB~J26~2

AN1

tanZABM=----=一

AB2

故答案为：如上图所示.

【点睛】

本题主要考查了平移的性质，相似比，全等三角形，勾股定理等知识，需要学生熟练掌握相

关的知识点.

5.(2021•福建三明市•九年级一模)如图，RtZkABC中，N4CB=90。，NA=60°,

△ABC绕点。顺时针旋转60。，得到△OCE,

(1)求证：DE垂直平分BC；

(2)F是OE中点，连接8F,CF,若AC=2,求四边形ACfB的面积.

【答案】(1)见解析；(2)3上

【分析】

(1)由NACB=90。，NA=60°,得乙4员分30°,根据旋转角的定义，得/力力60°,

故/6小=30°,360°,因此NZ员三/8CO,DB=DC,问题得证；

(2)四边形4G方的面积是三角形力以面积的3倍，计算三角形ZOC的面积即可.

15

【详解】

(1)ZACB=90°,NA=60。，

?.ZABC=30°,

根据旋转角的定义，得/力360°,

:.NBCD=3Q°,NBCE=60°,

:.NABC=/BCD,

:.DB=DC,

,/NACD=NA=4CDE=60°

：.ZBDE=60°

；.DE平分ZBDC

...点。在线段5c的垂直平分线上，

.••。£垂直平分BC-.

4C

(2)如图，过点。作〃G_L/G垂足为G,

16

,:CA=CD,ZJ=60o,

，△/中是等边三角形，AD=CD=A3

:理垂直平分BC,

:・DB=DC,FB=FG

1

/.DB=DC=DA=CA=—AB,

2

・・・F是0E中点，

1

：.CF=DF=EF=—DE.

2

：.DB=DC=DA=CA=CF=DF=BF,

・・・四边形力江。是菱形，四边形8是菱形；

・・・四边形ACFB的面积是三角形ACD面积的3倍，

U：AC=AD=2,

：.AG=lfDG=5

・・・四边形/CM的面积：3XgXACXDG=3XgX2X6=3百.

【点睛】

17

本题考查了旋转的性质，线段的垂直平分线，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质,

菱形的判定和性质，熟记旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键.

6.(2021•福州三牧中学九年级二模)如图，Rt&ABC中,ZACff=90°,一同学利用直

尺和圆规完成如下操作：

①以点C为圆心，以笫为半径画弧，交AB于息G；分别以点G、8为圆心，以大于;仍

的长为半径画弧，两弧交点《作射线皈

②以点5为圆心，以适当的长为半径画弧，交员7于点M交/5的延长线于点M分别以

点"、"为圆心，以大于g的长为半径画弧，两弧交于点巴作直线分交2C的延长

线于点D,交射线X于点E.

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题;

(1)线段Q与密的大小关系是；

(2)过点〃作砒_力夕交Z8的延长线于点E若应=12,BC=5,求的分■的值.

3

【答案】(1)CD=CE；(2)-

2

【分析】

(1)由作图知废_1月6,BD斗分4CBF,据此得Nl=N2=/3,结合/四5+N3=

N2+NCDE=90°矩/CEB=/CDE,从而得出答案；

18

（2）由（1）可得CO=DF,选△BCgXBFD得BC=BF,从而设求出45=

13,由s/o/加尸的值得到x：（12+x）=5：13,解之求得尸7.5,结合反方545可得

答案.

【详解】

解：⑴CD=CE,

由作图知BD平分乙CBF,

*•N1=N2=N3,

•：4CEB+/3=/2+/CDE=90°,

：・4CE4乙CDE,

JCD=CE,

故答案为：CD=CE：

(2)'：BD平分/CBF,BCLCD,BFLDF,

：.CD=DF,

：.在RTADCB和RTADFB中，BD=BD,DC=DF,

：.RTADCB^RTADFB,

BC=BF,

19

设CD=DF=x,

在Rt/XACB中，AB=AC2+BC2=7122+52=13,

x5

:.sinZDAF=DF：AD=BC：AB,即

12+%一13'

解得k7.5,

经检验：x=7.5是原方程的根且符合题意,

,:BC=BS,

:.tan/DBF=DF：BF=7S：5=1.5.

【点睛】

本题考查尺规作图的综合应用，熟练掌握几何中的基本作图方法、角平分线的性质、三

角形全等的判定和性质、勾股定理及•:角函数的意义是解题关键.

7.(2021•蒙城县庄子体育艺术中等专业学校九年级其他模拟)在等腰直角中，/员4c

=90°,点〃、后分别在4氏47上，且力〃=4F,连接。C,点M、"分别为〃仄8c的中

点.

(1)如图①，若点尸为AC的中点，连接MV,PM、PN.

①求证：PM=PN；

②求证：AADEsAPNM；

20

(2)如图②，若点〃在氏4的延长线上，点尸为EC的中点，求的值.

MP

【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)夜.

【分析】

(1)①根据中位线的性质可证得PN=L8。，PM=-CE,再证明况占斯即可得到结

22

论；②根据平行线的性质及直角三角形两锐角互余证明△&WV是等腰直角三角形即可证明

结论；

(2)连接根据必S证明aABE丝△ACO,利用全等三角形及中位线的性质证得

MP=NP,再利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余证得是等腰直角三角形，然

后利用特殊角的三角函数求值即可.

【详解】

(1)①证明：；点2/V分别是CO,3c的中点，

PN//BD.PN」BD,

2

:点P,"分别是必1的中点，

PMHCE,PM=-CE,

2

：AB=AC,AD=AE,

：.BD=CE,

：.PM=PN；

②证明：•••PN〃5O,

ZDPN=ZADC,

•••PM//CE,

...ZDPM=ZDCA.

21

•••ABAC=90°,

：.NAOC+NACO=90°,

/.NMPN=ZDPM+NDPN=NDCA+ZADC=90°,

NMPN=4BAC=9G0,

又由①知PM=PN,

...□PMN为等腰宜角三角形，

又•••□AOE为等腰直角三角形，

：.\2ADE^/\PNM：

（2）解：如图，连接BE，

VAB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,

：./\ABEg△ACO,

/.BE=DC,NABE=ZACD,

•.•点/、N、。分别为瓦；BC,EC中点，

PM//DC,MP=-DC,PN//BE,NP=-BE,

22

:.MP=NP,NNPA=NBEA,ZMPA=ZDCA,

ZBAC=90°,

22

...AABE+ZAEB=90°,

ZNPM=NNPA+ZAPM=ZBEA+NACD=ZBEA+NABE=90°,

...△用2代为等腰直角三角形,

cos/NMP-cos45°=，

MN2

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的性质与判定，中位线的性质，直角三角形的性

质及特殊角的三角函数等知识，熟练掌握各性质判定定理是解题的关键.

8.(2021•安徽九年级二模)如图1,点片为菱形2比。内一点，EB^ED,NBED=90°,

点尸在CD上,ZDBF=；ABAD.

(1)求证：BFLCD-,

(2)如图2,延长BF至G,使得BG=AB,连接DG,取Z8中点M,连接EM.

BF

①若4D,G三点在同一条直线上，求三的值

FG

②求证：DG=2EM.

23

图1图2

BFr-

【答案】（1）证明见详解；（2）（D—=72+1；②证明见详解.

FG

【分析】

(1)连结4C交BD于"，由菱形ABCD,可得ZC平分ZBAD与/BCD,AC1BD,UJ证

NDBF=NBAH=NDAH=NDCH,可求ZDBF+ZBDF=ZCDH+ZDCH=90°,

由三角形内角和得NDFB=180°-90°=90°即可；

(2)①在6尸上截取7：7仁。尸，连结心，由5G=25,可得N8GA=N6AG=N8CD,可

求ZBGA=ZBCD^45°,ZFKD=NKDF=45。,可证NBDK=ZDBK,可得BK=DK,

在RtADKF中,由勾股定理DK=JZD?+K产=&DF，求出BF=(e+1)DF即可；

②由①知点E在月6■上，可证4后两点在劭的垂直平分线47上，可证ABE。是等腰直

角三角形，可得NEBD=NEDB=45°,证再证△5〃£s△切力，可得

BEME,BEV2DF

-——»cosZEBD-cos45==——=，可rZH得

BDFDBD2DG

FD=yf^ME,DG=y/iFD即可.

24

【详解】

解：(1)连结力C1交BD于H,

,：菱形ABCD,

：.4C平分ZBAD与/BCD,ACA.BD,ZBAD=ZBCD,

：.ZDBF=NBAH=ZDAH=ZDCH

：ZDBF+ZBDF=ZCDH+ZDCH=90°,

ZDFB=180o-90o=90°,

二BFLCD-.

(2)①在班1上截取FK=DF,连结KD,

"：BG=AB,

：.NBGA=NBAG,

NBGA=ZBAG=ZBCD

25

,:ADHBC,

NBGA=NCBG=/BCD,

・・・ZBFC=90°,

・•.ZBGA=ZBCD=45°,

・•.ZABC+AADC=3600-2ZBAD=270°,

・・.ZABC=ZADC=135°,

：.NDBC=NBDC=-ZABC=67.5°,

2

ZDBG=ZDBC-NGBC=67.5°-45°=22.5°,

NKFD=9。。,FD=FK,

：.NFKD=NKDF=45°,

ZBDK=4BDF-NKDF=67.5-45°=22.5°=NDBK,

BK=DK,

在Rt^DKF中,由勾股定理DK=VFD2+KF2=42DF'

：.BF=BK+KF=DK+DF=y/2DF+DF=(y[2+[)DF,

,/GD//BC,

：.ZFDG=NBCF=45°=NDGF,

26

A

图2

/.FD=FG,

.•"J国—国I.

FGDF

②•：EB=ED,AB^AD,

：.A,£•两点在劭的垂直平分线力。上，

■:NBED=9Q°,

ABE。是等腰直角三角形，

/.ZEBD=ZEDB=45°,

/.NBAE=ZDAE=-ZBAD=22.5°=NEBA

2

AE=BE,

丁点〃是力笈的中点，

:,ME上AB,

27

，ZBME=90°,

在△用座■和△6注7中，

•/ZMBE=NFBD/EMB=NDFB=90°,

JXBMEsXBFD,

.BE_ME

"~BD~~FD'

BE42_DF

Z.EBD

cos=cos45°~BD~^2~~DG

.ME_y[lFDy/2

~FD~~2，~DG~~2

：.FD=叵ME,DG=6FD,

•*-DG=j2FD=y/2x^/2ME=2ME-

【点睛】

本题考查菱形的性质，直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形判定与性质，相似三角形判

定与性质，锐角三角函数，掌握菱形的性质，直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形判定

与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数是解题关键.

9.（2021•山西九年级其他模拟）阅读与思考

数学活动课上，我们学习了如何利用尺规作图，过直线/外一点P向已知直线/作垂线，小

明同学在自我反思复习的时候想到了这样的一个方法并完成了证明：

28

方法：如图1,在直线/上任取两点aB；分别以点45为圆心，AP,破长为半径画弧，

两弧相交于点Q;作直线R2即为所求.

证明：如图2,连接ZP、AQ,BP、BQ,由作图可知：AP=AQ,BP=BQ

...点4夕在线段尸。的垂直平分线上（依据1）

二直线/是线段PQ的垂直平分线（依据2）

（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

（2）小明的好朋友小亮也想到一种利用尺规过直线/外一点尸向已知直线I作垂线的方法，

请你帮助他完成尺规作图的过程并证明；

方法：如图3,在直线/上任取一点4连接期；作线段处的垂直平分线，交处于点用

以点E为圆心，ZE的长度为半径画弧，交直线/于Q,作直线卬即为所求.

（3）若（2）中的线段的长度恰好等于线段ZQ的长度，且AE=4,则线段尸。的长

为_____

【答案】（1）到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一

条直线；（2）见解析；（3）

【分析】

29

（1）到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线;

（2）直线/上取一点4连接力只以点力、点尸为圆心，画弧交于点C■、点8,连接以7交

力尸于石以点£为圆心，为半径画圆弧，交直线/于点Q,。。即为直线/的垂线；通过

直径所对的圆周角是直角即可证明；

（3）RtAAPQ中,运用勾股定理即可求出尸Q的长；

【详解】

（1）依据1：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；依据2：两

点确定，一条直线：

（2）尺规作图如图:

PQVI

是。£的半径，且£3是工尸的垂直平分线,

：.EP=EA,BPAP=2EA

0为的直径，

：.ZAQP=f）Qa,即尸。是/的垂线

30

(3)若力E=4,则4之2/£=8

'：AQ=A

.•.在RtXAPQ中，PQ=^AP2-AQ2=782-42=473

...PQ的长为4jG

【点睛】

本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，圆周角的相关知识，正确画出图形是解决本题的

关键.

10.(2021•河北九年级一模)如图，直线a〃b,点M、"分别为直线a和直线b上的点，

连接MN,Zl=70°,点尸是线段MV上一动点，直线。E始终经过点凡且与直线a,

b分别交于点。、E,设4NPE=a.

(1)证明△MPMANPE.

(2)当9与全等时，直接写出点尸的位置.

(3)当石是等腰三角形时，求a的值.

【答案】(1)见解析；(2)点尸是“V的中点；(3)40°或70°或55°

【分析】

(1)利用相似三角形的判定定理证明即可；

(2)根据全等三角形对应边相等得到MP=NP,即点P是MV的中点；

(3)需要分类讨论：PN=PE、PE=NE、PN=NE,再根据三角形内角和计算即可.

31

【详解】

(1)证明：,:a〃b,

:.△MPMXNPE.

NMDP=Z.NEP,

.•.当△闻尸〃与全等时，MP=NP,即点「是MV的中点；

⑶

：.N\=NPNE=70°,

①若1时，

：./PNE=/PEN=1Q°.

：.a=180°-NPNE-NPEN=180°-70°-70°=40°.

.•./a=40°；

②若仍=£7V时，则^=/0出£=70。；

③若NP=NE时，贝l]NP£W=a,此时2<7=180°-ZP7V£^110°,

a=/PE忏S5°；

综上所述，a的值是40°或70°或55°.

【点睛】

32

本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟知相

关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论.

11.(2021•云南昆明市•九年级一模)如图，在中，AB=AC,NB4490°,BC

=14,过点力作/ZLL8C于点〃，£为腰47上一动点，连接。E以Z7E为斜边向左上方作

等腰直角△〃即连接ZE

(1)如图1,当点尸落在线段2〃上时，求证：AF=EF-,

(2)如图2,当点尸落在线段左侧时，(1)中结论是否仍然成立？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由；

(3)在点E的运动过程中，若出之夜，求线段宓的长.

2

【答案】(1)见解析；(2)成立，见解析；(3)4a或3&

【分析】

(1)先根据等腰三角形三线合一的性质得,再证明/n/可得结

论；

(2)仍然成立，如图2,取/C的中点G,连接〃G