杭州初中数学八年级下册期中典型试卷1

2021-2022学年下学期杭州初中数学八年级期中典型试卷1

一.选择题（共10小题）

1.（2020秋•新化县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0B.^+—=1C.x2-1=0D.2x+3y-5=0

x

2.（2021•岳阳二模）下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

B.••

3.（2021春•萧山区期中）下列图形中，是中心对称图形的是（

A.等腰三角形B.平行四边形C.等边三角形

4.（2021春•萧山区期中）解方程x2-&x=0,较简便的解法是（）

A.直接开平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

5.（2020春•温州期末）用反证法证明"在同一平面内，若aLc,h_Lc,则a//bn时，应

假设（）

A.a//cB.b//cC.a//c,b//cD.“与b相交

6.（2019春•萧山区期中）为了应对期末考试，老师布置了15道选择题作业，批阅后得到

如下统计表，根据表中数据可知，由45名学生答对题数组成的样本的中位数是（）

答对题数（道）12131415

人数41816

A.13B.14C.13.5D.13或14

7.（2021秋•建安区期中）某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218

万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x,可以列出方程为（）

A.60（1+x）2=218B.60（l+3x）=218

C.60[1+（1+x）+（1+x）2]=218D.218（1-%）2=60

8.（2020秋•红谷滩区校级期末）若一元二次方程x（日+1）-/+3=0无实数根，则人的最

小整数值是（）

A.2B.1C.0D.-1

9.（2021春•拱塞区期中）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC

上一动点，于E,P/UAC于凡则E尸的最小值为（）

A.1.2B.1.25C.2.4D.2.5

10.（2021春•拱墅区期中）如图，在平行四边形A8CO中，E、尸为边AO上两点，且A8

=BE=AE,CB=CF,若岖=2,空=q,则（）

BC3AB

FED

A.2q2+4q-1=0B.q2+4q-2=0C.2d+4g+l=0D.q2+4q+2=0

填空题（共6小题）

11.（2021春•富平县期末）若多边形的每一个外角都等于60°,则该多边形的边数

是.

12.（2021春•拱墅区校级期中）设制，初是一元二次方程--7x-5=0的两个实数根，则

X\+X2的值为.

13.（2021秋•达川区期末）如图，有一块长21〃?，宽10机的矩形空地，计划在这块空地上

修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的

面积和为90,#.设人行通道的宽度为xm,根据题意可列方程：.

14.（2021春•萧山区期中）小方的数学平时成绩为84分，期中成绩为80分，学校按平时、

期中、期末成绩之比为3：3：4的比例计算学期的总评成绩，他计划总评成绩要达到85

分，则期末考试他至少要得到分.

15.（2017秋•雁塔区期末）如图，已知点E,尸分别是。43CD的边8C,AO上的中点，且

/BAC=90°,若/8=30°,BC=10,则四边形AECF的面积为.

16.（2021•永嘉县校级模拟）如图，在二488中，AD=4>/2-E,尸分别为CD,AB上的

动点，DE=BF,分别以AE,C尸为对称轴翻折△AOE,△BC凡点。，B的对称点分别

为G,H.若E、G、H、产恰好在同一直线上，NGA尸=45°,且G，=5.5,则AB的长

三.解答题（共7小题）

17.（2021春•余杭区期中）计算：

（1）2720-遥+3遥；

（2）（遥-«）2+（遍+遍）（旄-«）.

18.（2018秋•武进区校级期末）解方程：

（1）x2-4x=12

（2）?-3x+l=0

19.（2021秋•呼和浩特期末）解方程:

（1）W+2x-2=0；

（2）（x-2）2=（2x-l）（x-2）.

20.（2021春•拱墅区期中）如图，在aABC中，过点C作C£）〃A8,E是4c的中点，连

接。E并延长，交边A8于点凡连接AQ,CF.

（1）求证：四边形AFC7）是平行四边形；

（2）若4尸=2BF,四边形AFC£>的面积为Si，四边形FBCE的面积为S2，求Si：52.

21.（2020•杭州模拟）如图，在△ABC中，过点C作CD〃A8,E是AC的中点，连接OE

并延长，交AB于点F,连接AO,CF.

（1）求证：四边形AFCZ）是平行四边形；

（2）若AB=6,ZBAC=60°,/Z）C8=135°,求4c的长.

B

22.（2021春•拱墅区校级期中）已知方程7+云+.=0①，和方程0?+公+1=0②（aWO）.

（1）若方程①的根为内=2,X2=3,求方程②的根；

（2）当方程①有一根为x=r时，求证x=上是方程②的根；

r

（3）若。2〃+b=0,方程①的根是根与小方程②的根是s和3求三巨的值.

nt

23.（2021春•萧山区期中）如图，在四边形ABCO中，AD//BC,/B=9O°,AD^\6cm,

AB^Ucm,BC=2\cm,动点P从点8出发，沿射线8C的方向以每秒2cm的速度运动

到C点返回，动点。从点4出发，在线段A。上以每秒1cm的速度向点。运动，点P,

Q分别从点8,A同时出发，当点。运动到点。时，点P随之停止运动，设运动的时间

为t（秒）.

（1）当f为何值时，四边形PQOC是平行四边形；

（2）当，为何值时，以C,D,Q,P为顶点的四边形面积等于60CT7??

（3）当0＜，＜10.5时，是否存在点P,使△PQ。是等腰三角形？若存在，请直接写出所

有满足要求的f的值；若不存在，请说明理由.

D

BCE

2021-2022学年下学期杭州初中数学八年级期中典型试卷1

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2020秋•新化县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0B./+L=1C.x2-1=0D.2x+3y-5=0

x

【考点】一元二次方程的定义.

【专题】一元二次方程及应用；符号意识.

【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可.

【解答】解：A、当。=0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

8、它是分式方程，故此选项不符合题意：

C、该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意；

。、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次

方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次

项的系数不等于0"：“整式方程”.

2.（2021•岳阳二模）下列医护图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

3、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意：

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度

后与原图重合.

3.（2021春•萧山区期中）下列图形中，是中心对称图形的是（）

A.等腰三角形B.平行四边形C.等边三角形D.直角三角形

【考点】中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选:B.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后与原图重合.

4.（2021春•萧山区期中）解方程x2_&x=0,较简便的解法是（）

A.直接开平方法B.配方法

C.公式法D.因式分解法

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】根据方程的特点得出即可.

【解答】解：解方程乂2_&*=豚简便的解法是因式分解法，

故选：D.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此

题的关键.

5.（2020春•温州期末）用反证法证明“在同一平面内，若aLc,h_Lc,则a//b"时，应

假设（）

A.a//cB.b//cC.a//c,b//cD.a与6相交

【考点】反证法；平行公理及推论；平行线的判定与性质.

【专题】反证法；线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断.

【解答】解：反证法证明“在同一平面内，若a，c,b±c,则时，应假设。与匕

不平行，即“与6相交，

故选：D.

【点评】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及

步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那

么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定.

6.(2019春•萧山区期中)为了应对期末考试，老师布置了15道选择题作业，批阅后得到

如下统计表，根据表中数据可知，由45名学生答对题数组成的样本的中位数是()

答对题数(道)12131415

人数41816

A.13B.14C.13.5D.13或14

【考点】中位数.

【专题】统计与概率；数据分析观念.

【分析】根据题意可知，这组数据的中位数是第23名同学的成绩，再根据表格中的数据，

即可得到这组数据的中位数.

【解答】解：•••45名学生答题,

.•.这组数据的中位数是第23名同学的成绩，

,这组数据的中位数是14,

故选：B.

【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，求出题目中数据的中

位数.

7.(2021秋•建安区期中)某配件厂一月份生产配件60万个，已知第一季度共生产配件218

万个，若设该厂平均每月生产配件的增长率为x,可以列出方程为()

A.60(1+x)2=218B.60(l+3x)=218

C.60[1+(1+x)+(1+x)2]=218D.218(1-%)2=60

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【分析】等量关系为：一月份生产的零件个数+二月份生产的零件个数+三月份生产的零

件个数=218万个.

【解答】解：易得二月份生产的零件个数是在一月份的基础上增加的，所以为60(l+x),

同理可得三月份生产的零件个数为60(1+x)(1+x),

那么60+60X(1+x)+60(1+x)2=218.

即：6011+(1+x)+(1+x)2]=218,

故选：C.

【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到合适的等量关系是解决问

题的关键，注意3月份生产的零件个数是在2月份的基础上增加的.

8.(2020秋•红谷滩区校级期末)若一元二次方程x(日+1)-/+3=0无实数根，则%的最

小整数值是()

A.2B.1C.0D.-1

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.

【专题】判别式法；运算能力.

【分析】由根的判别式与方程根的情况，可得A<0,从而求出上的取值范围，再确定大

的最小整数.要保证二次项系数不为0.

【解答】解：一元二次方程x(Ax+1)-/+3=0,即(k-I)/+x+3=0无实数根，

A=/>2-4ac=1-4X(jt-1)X3<0且及-1力0,

解得%>工！.

12

k展小整数=2・

故选：A.

【点评】本题考查了由根的判别式确定根的情况：A>0,有两个不等实根；△=(),有

两个相等实根；AV0,无实根.

9.(2021春•拱墅区期中)如图，在△4BC中，/BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC

上一动点，PELAB于E,PFLAC于凡则EF的最小值为()

A.1.2B.1.25C.2.4D.2.5

【考点】矩形的判定与性质；轴对称的性质；垂线段最短.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】先证四边形AEP尸是矩形，得EF=AP,要使EF最小，只要AP最小即可，再

根据垂线段最短和三角形面积求出AP即可.

【解答】解：连接AP,如图：

"：PELAB,PFLAC,

：.ZAEP=ZAFP=90Q,

'：ZBAC=90°,

四边形AFPE是矩形，

：.EF=AP,

要使EF最小，只要AP最小即可，

当APLBC时，AP最短，

；/BAC=90°,AB=3,AC=4,

BC=VAB2+AC2=V32+42=5,

/XABC的面积=^X4X3=JLX5><AP,

22

；.AP=2.4,

即E尸=2.4,

故选：C.

【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识,

熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键.

10.（2021春•拱墅区期中）如图，在平行四边形ABC。中，E、F为边AO上两点，且A8

=BE=AE,CB=CF,若地=2,空=q,贝ij()

BC3AB

A.2『+44-1=0B.-2=0C.2q2+4q+l=0D.q2+4q+2=0

【考点】平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质.

【专题】三角形；运算能力.

【分析】设A8=2a,WJBE=AE=2a,CF=BC=3a,DE=a,EF=2aq,且△ABE是等

边三角形，NA=60°,过点C作CG_LA£＞交AO的延长线于点G,DG=a,CG=J§a,

最后在Rt^CFG中，利用勾股定理建立等式，可得结论.

【解答】解：如图，过点C作CGL4O交4。的延长线于点G,

BC3

设AB=2a,则BC=3a,

：.AB=BE=AE=2a,CF=BC=3a,

.•.△ABE是等边三角形，

；./4=60°,

：四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD=2a,AD=BC=3a,

：.ZCDG=60Q,DE=a,

..EFj

AB

:.EF=2aq,

在RtZ\CDG中，ZG=90°,

**•DG=ciiCG=^^a,

**•FG—2aq+a+a—2a（g+1）,

在RtZ\CTG中，由勾股定理可得，

CF2=FG2+CG2,即（3。）2=（小）2+[2。（q+1）]2,

整理可得,2才+4q-1=0.

故选：A.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等内容,

根据特殊角作出正确辅助线是解题关键.

二.填空题（共6小题）

11.（2021春•富平县期末）若多边形的每一个外角都等于60°,则该多边形的边数是6

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【分析】由一个多边形的每一个外角都等于60。，且多边形的外角和等于360°,即可

求得这个多边形的边数.

【解答】解：•••一个多边形的每一个外角都等于60。，且多边形的外角和等于360°,

...这个多边形的边数是：360+60=6,

故答案是：6.

【点评】此题考查了多边形的外角和定理.此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等

于360°是关键.

12.（2021春•拱墅区校级期中）设xi，刈是一元二次方程7-7x-5=0的两个实数根，则

x\+x2的值为7.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】由根与系数的关系可求出制+我的值.

【解答】解：：xi，X2是一元二次方程7-7x-5=0的两个实数根，

**.Xl+X2=7,

故答案为：7.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若xi，*2是一元二次方程62+云+C=0QW0）的

两根时，X]+X2--—»X\X2—--

aa

13.（2021秋•达川区期末）如图，有一块长21m，宽10根的矩形空地，计划在这块空地上

修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的

面积和为90〃?2.设人行通道的宽度为m7,根据题意可列方程：（21-3x）（10-2x）

=90.

oo

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【分析】设人行通道的宽度为xm,则两块绿地可合成长（21-3x）m,宽（10-2x）m

的矩形，根据两块绿地的面积和为90层，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：设人行通道的宽度为9，则两块绿地可合成长（21-3x）m,宽（10-2x）

m的矩形，

依题意得：（21-3x）（10-2x）=90.

故答案为：（21-3x）（10-2x）=90.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

14.（2021春•萧山区期中）小方的数学平时成绩为84分，期中成绩为80分，学校按平时、

期中、期末成绩之比为3：3：4的比例计算学期的总评成绩，他计划总评成绩要达到85

分，则期末考试他至少要得到89.5分.

【考点】一元一次不等式的应用.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【分析】可设期末考试他要得到x分，根据计划总评成绩要达到85分，列出不等式求解

即可..

【解答】解：设期末考试他要得到x分，依题意有

84X£+80X工85,

101010

解得x289.5.

故期末考试他至少要得到89.5分.

故答案为：89.5.

【点评】考查了一元一次不等式的应用，加权平均数的求法，解决问题的关键是读懂题

意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系.

15.（2017秋•雁塔区期末）如图，已知点E,F分别是nABCD的边BC,AO上的中点，且

NBAC=90°,若/B=30°,8c=10,则四边形AECF的面积为—丝返一

【考点】平行四边形的性质.

【专题】常规题型；矩形菱形正方形.

【分析】由条件可先证得四边形AEC尸为菱形，连接E尸交4C于点0,解直角三角形求

出AC、AB,由三角形中位线定理求出0E,得出EF,菱形AEC尸的面积=工。^/7,即

2

可得出结果.

【解答】解：

•；四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,

在RtzXABC中，ZBAC=90°，点E是BC边的中点，

:.AE=^LBC=CE,

2

同理，AF=1AD=CF,

2

：.AE=CE=AF^CF,

二四边形AEC尸是菱形，

连接E尸交AC于点0,如图所示：

在RtZXABC中，ZBAC=90°,ZB=30°,BC=10,

，AC=」8c=5,A8=V§4C=5«,

2

•.•四边形AECF是菱形，

J.ACLEF,0A=0C,

...0E是△ABC的中位线，

:.OE=1AB=^^,

22

：.EF=543,

/.S差形AECF=UC・EF=LX5X

222

故答案为：空叵.

2

【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，证得四边形AEC尸为菱形是解题的关键.

16.（2021•永嘉县校级模拟）如图，在DABCZ）中，4。=幼，E,尸分别为CD,43上的

动点，DE=BF,分别以4E,CF为对称轴翻折△AOE,△2CF,点。，8的对称点分别

为G,H.若E、G、H、尸恰好在同一直线上，ZGAF=45°,且G〃=5.5,则AB的长

是14.5.

【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；轴对称

的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；运算能

力；推理能力.

【分析】过G点作于点设。由勾股定理求得AM与GM,再证

明用x表示AF,FG,FM,由勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可求

得AB.

【解答】解：过G点作GMLAF于点M,

由折叠知AG=AD=442,

'：ZGAF=45°,

：.ZAGM=45°,

，AM=GM=喙AG=4，

•:DE=BF,

・・・设。则由折叠性质知，EG=DE=BF=FH=x,

•・・G”=5.5,

AEF=2x+5.5,

・・•四边形A3。是平行四边形，

J.DC//AB,

：./AED=NBAE,

*.•ZAED=ZAEG,

：.ZFAE=ZFEAf

：.AF=EF=2x+5.5,

・・・AB=Ab+B/=3x+5.5,MF=AF-AM=2x^.5,

由勾股定理得，FG1-FM2=MG2,

即(x+5.5)2-(2x+1.5)2=42,

解得，x=3,或(舍)，

3

.♦.AB=3x+5.5=14.5,

故答案为：14.5.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠

的性质，关键在于构造直角三角形，运用勾股定理列出方程，运用方程的思想解决几何

问题.

三.解答题（共7小题）

17.（2021春•余杭区期中）计算：

（1）2720-旄+3遥；

⑵（加-后2+（旄+遍）（遥-«）.

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）利用完全平方公式和平方差公式计算.

【解答】解：⑴原式=4泥-旄+3旄

=6加；

（2）原式=5-2715+3+5-3

=10-2^/75.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并

同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式

的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

18.（2018秋•武进区校级期末）解方程：

(1)x2-4x=12

(2)7-3x+l=0

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】(1)利用因式分解法求解可得；

(2)利用公式法求解即可得.

【解答】解：(1)/-4x=12

7-4x-12=0

分解因式得：G-6)(x+2)=0,

可得x-6=0或x+2=0,

解得：xi=6,X2—-2.

(2)3x+l=0,

"."a=1,b=-3,c=1,A=Z>2-4ac=9-4=5>0,

.3±V5

.•人y=,

2_

.1=3jV5n=3/

••,A-2-，•

22

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题

的关键.

19.(2021秋•呼和浩特期末)解方程：

(1)/+2x-2=0；

(2)(JC-2)2=⑵-1)(%-2).

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法.

【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】(1)利用配方法求解即可；

(2)利用因式分解法求解即可.

【解答】解：(1)'：x^+2x-2=0,

，/+2%=2,

则f+Zr+BZ+l,即(x+1)2=3,

•""xi=-1+,\/3-X2=-1-5/3：

(2)(x-2)2=(2x-1)(x-2),

(x-2)2-(2x-1)(x-2)=0,

(x-2)(-x-1)=0,

则x-2=0或-x-1=0,

解得xi=2,X2=-1.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

20.(2021春•拱墅区期中)如图，在△ABC中，过点C作C£)〃AB,E是AC的中点，连

接并延长，交边AB于点F,连接AD,CF.

(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；

(2)若AF=2BF,四边形AFC£＞的面积为Si，四边形尸8CE的面积为S2，求Si：S2.

【考点】平行四边形的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【分析】(1)由题意可证明△4£：/丝△CEQ(ASA),可得AF=CZ),进而可得四边形AFCC

是平行四边形；

(2)设则AF=2a,过点C作CGLA8于点G,设CG=〃，可得SI=2S^CF=

2ah,S2=S/\DCF+SABCE=—ah,进而可求出Si：S2的值.

2

【解答】(1)证明：如图，

'：CD//AB,

：.ZFAC=ZDCA,

♦.•点E是AC的中点

：.AE=CE,

又；NAEF=NCED,

：./XAEF^^CED(ASA),

：.AF=CD,

又,：CD,

四边形AF8是平行四边形；

(2)解：设贝ijAF=2BF=2a,

如图，过点C作CG_LA8于点G,

设CG=h,

：.S^ACF^—'AF'CG^^2a-h=ah,

22

SABCF——,BF*CG——,a,h=Lh,

222

••Si=2sAACF=2ah,

SA£CF=-^SI=Loh,

42

S2=SAECF+SABCF=ah,

**•S1：S2=2,cih：ah=2.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质与判定，三角形的面积等问题，出现有关面积

的问题，需要作出高是常见解题方法.

21.(2020•杭州模拟)如图，在AA8c中，过点C作CD〃A8,E是AC的中点，连接。E

并延长，交AB于点F,连接A。，CF.

(1)求证：四边形AFCO是平行四边形；

(2)若AB=6,ZBAC=60°,ZDCB=135°,求AC的长.

【考点】平行四边形的判定与性质；勾股定理.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形：多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】(1)先证AAE尸丝△(；£：£>(44S),得AF=CD,再由C£)〃A8,即A尸〃CC,即

可得出结论；

(2)过C作CM_LAB于M,先证ABCM是等腰直角三角形，得BM=CM,再由含30°

角的直角三角形的性质得4c=2AM,BM=CM=4?AM,由AM+BM=AB求出AM=3«

-3,即可求解.

【解答】(1)证明：•••E是AC的中点，

：.AE=CE,

,JCD//AB,

：.NAFE=ZCDE,

在和△(7/£)中，

，ZAFE=ZCDE

-NAEF=/CED，

AE=CE

/XAEF^^CED(A4S),

：.AF=CD,

又‘：CD"AB,BPAF//CD,

：.四边形AFCD是平行四边形；

(2)解：过C作CM_LA8于M,如图所示：

则/CMB=/CM4=90°,

'：CD//AB,

：.ZB+ZDCB=\S00,

/.ZB=180°-135°=45°,

...△8CM是等腰直角三角形，

\"ZBAC=60°,

：.ZACM=30°,

：.AC=2AM,BM=CM=y/'^\M,

'：AM+BM=AB,

：.AM+y/3AM=6,

解得：4M=3相-3,

：.AC=2AM=6-/3-6.

【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的

判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定和全等

三角形的判定与性质是解题的关键.

22.(2021春•拱墅区校级期中)已知方程/+云+.=0①，和方程以2+法+1=0②(a#0).

(1)若方程①的根为加=2,刈=3,求方程②的根；

(2)当方程①有一根为x=r时，求证x=上是方程②的根；

r

(3)若“2〃+b=0,方程①的根是根与〃，方程②的根是s和3求吧的值.

nt

【考点】根与系数的关系；方程的定义.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【分析】(1)根据根与系数的关系即可求得小b的值，即可得到方程②，然后利用因式

分解法解方程②即可；

(2)根据方程根的定义得到，+bU=0,两边同除/得专■包+1=0,即可证得》=工是

方程②的根；

(3)根据题意b=0,根据根与系数的关系得到加+〃=0,s+f=0,从而得到"?=-小s

=-/,即可得到例$=/“，进而求得当＜=1.

nt

【解答】解：(1)•.•方程x2+1x+a=0的根为用=2,12=3,

**•-力=2+3=5,〃=2X3=6,

・••方程②为6/-5x+l=0,

(3x-l)(2x-1)=0,

...方程②的根为X|=2，A2=l;

32

(2)•.•方程①有一根为x=r,

.•・，+5什〃=0,

两边同除J得工_+上+1=0,

2

rr1

.•.工是方程以2+法+1=0的根，

r

.•.X=J1是方程②的根；

r

（3）•:Gb+b=3

：.h=Of

,/方程①的根是根与〃，方程②的根是s和，，

・•♦机+〃=0,mn=a,s+/=0,st=—,

a

/.a=-^-=mn9m=-n,s=-l,

st

:.ms=nt,

••*ms一—"'ii•

nt

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，XI,X2是一元二次方程以2+云+c=0

（aWO）的两根时，X]+X2—~—>XIX2—-.

aa

23.（2021春•萧山区期中）如图，在四边形A8CZ）中，AD//BC,NB=90°,AD=16cm,

AB^\2cm,BC^2lcm,动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2c〃?的速度运动

到C点返回，动点。从点A出发，在线段AO上以每秒lew的速度向点。运动，点P,

。分别从点B,A同时出发，当点。运动到点。时，点P随之停止运动，设运动的时间

为f（秒）.

（1）当，为何值时，四边形PQCC是平行四边形；

（2）当1为何值时，以C,D,Q,P为顶点的四边形面积等于60a7?

（3）当0</<10.5时・，是否存在点P,使△P。。是等腰三角形？若存在，请直接写出所

有满足要求的r的值；若不存在，请说明理由.

【考点】四边形综合题.

【专题】几何综合题；多边形与平行四边形；推理能力.

【分析】（1）由题意已知，AD//BC,要使四边形PQOC是平行四边形，则只需要让

=PC即可，利用时间=路程+速度，即可求出时间；

(2)要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60a"2,可以分为两种情况，点P、Q

分别沿A。、8c运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即(QO+PC)X4B+2=60,

因为。、P点的速度已知，AD.AB、8C的长度已知，用f可分别表示。£>、BC的长，

即可求得时间h

(3)当0<r<10.5时，点P向点C运动，使△PQO是等腰三角形，可分三种情况，即

PQ=PD、PQ=QD,QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用f表达等

腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间/.

【解答】解：(1)♦.•四边形PQOC是平行四边形，

：.DQ=CP,

当户从8运动到C时，

"：DQ=AD-t,

CP=2]-It,

：.16-Z=21-2t,

解得：f=5,

当P从C运动到B时，

"：DQ=AD-AQ=]6-t,

CP=2t-2l,

A16-t=2f-21,

解得：r=37,

3

/.当t=5或好秒时，四边形PQDC是平行四边形；

3

(2)若点尸、。分别沿40、8c运动时,

-1CDQ+CP)*AB=f)0,

2

即工(16-r+21-2r)X12=60,

2

解得：f=9(秒)，

若点P返回时，CP=2t-2,

则［(I6-f+2f-21))X12=60,

2

解得：1=15(秒).

故当/=9或15秒时，以C,/),Q,尸为顶点的梯形面积等6052；

(3)当PQ=P。时，作于H,贝I」“Q=HO,

(2)

'：QH=HD=1QD=1.(16-r),

22

"：AH=BP,

.,⑵="1(16-/)+t,

2

秒；

3

当PQ=Q。时，。”=月AQ=2f-f=f,QD=\6-t,

V2D2=PC2=?+122,

(167)2=122+尸，

解得r=Z(秒)；

2

当QO=PO时，DH=AD-AH=AD-BP^16-2t,

"：QD1=PD2=PH2+HD2=\^+(16-2r)2,

(16-f)2=122+(16-2/)2,

即3尸-32f+144=0,

△<0,

二方程无实根，

综上可知，当秒或工秒时，△PQ。是等腰三角形.

32

【点评】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角

形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏.

考点卡片

1.平方差公式

(1)平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

Ca+b)(«-b)=a2-b2,

(2)应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的a和方可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多

项式法则简便.

2.二次根式的混合运算

(1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次

根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式“•

(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

(3)在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

3.方程的定义

(1)方程的定义：含有未知数的等式叫方程.

方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式;②含有未知数.

(2)列方程的步骤：

①设出字母所表示的未知数；

②找出问题中的相等关系；

③列出含有未知数的等式------方程.

4.一元二次方程的定义

(1)一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”;

“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

5.解一元二次方程-配方法

（1）将一元二次方程配成（x+m）2=〃的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为4/+法+。=0（“W0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数,

则判定此方程无实数解.

6.解一元二次方程-公式法

（1）把x=.b±1b-4ac,（*_而。》。）叫做一元二次方程苏+少计'=。（a#0）的求根

2a

公式.

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定小6,c的值（注意符号）；

②求出信-4"的值（若层-4ac<0,方程无实数根）；

③在廿-4ac）0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a二0;②廿-4“c20.

7.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形

式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式

分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

8.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=庐-4")判断方程的根的情况.

—元二次方程a/+〃x+c=0(aWO)的根与△=&?-4"c有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<()时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

9.根与系数的关系

<1)若二次项系数为1，常用以下关系：XI，X2是方程/+px+q=O的两根时，Xl+X2=-p>

x\X2=q,反过来可得p=-(X]+X2),q=x\X2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是

已知两根确定方程中未知系数.

(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：打，也是一元二次方程〃/+及+0=0(.#0)

的两根时，Xl+X2=力，X1X2=—,反过来也成立，即也•=-(X1+X2)，—=XiX2.

aaaa

(3)常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根，求另

一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值，如求，XI2+%22等等.④判断两根的符

号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合，解

题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑aWO,△》()这两个前提条件.

10.由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找

出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，

即列出一元二次方程.

11.一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以

得到实际问题的答案.

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中

的不等关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.

②根据题中的不等关系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④写出符合题意的解.

12.垂线段最短

（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.

（2）垂线段的性质：垂线段最短.

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线