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文档简介

2025届广东六校联盟高一数学第一学期期末调研模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.已知函数,若关于的方程有8个不等的实数根,则的取值范围是A. B.C. D.2.已知O是所在平面内的一定点,动点P满足,则动点P的轨迹一定通过的()A.内心 B.外心C.重心 D.垂心3.已知函数,则的()A.最小正周期,最大值为 B.最小正周期为,最大值为C.最小正周期为,最大值为 D.最小正周期为,最大值为4.已知函数,,则函数的值域为()A B.C. D.5.下列函数中为偶函数的是()A. B.C. D.6.已知集合,,若,则的子集个数为A.14 B.15C.16 D.327.福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸,全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制,是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图,是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5 B.6C.8 D.108.已知命题,则p的否定为()A. B.C. D.9.“”是“幂函数在上单调递增”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.17世纪,在研究天文学的过程中,为了简化大数运算,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法,数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知,,设,则所在的区间为()A. B.C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知函数,则___________..12.已知函数(为常数)的一条对称轴为,若,且满足,在区间上是单调函数,则的最小值为__________.13.已知函数有两个零点分别为a,b,则的取值范围是_____________14.向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则__________15.已知函数(1)当时,求的值域;(2)若,且,求的值;16.已知函数,且函数恰有两个不同零点,则实数的取值范围是___________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知有半径为1,圆心角为a(其中a为给定的锐角)的扇形铁皮OMN,现利用这块铁皮并根据下列方案之一,裁剪出一个矩形.方案1:如图1,裁剪出的矩形ABCD的顶点A,B在线段ON上,点C在弧MN上,点D在线段OM上;方案2:如图2,裁剪出的矩形PQRS的顶点P,S分别在线段OM,ON上,顶点Q,R在弧MN上,并且满足PQ∥RS∥OE,其中点E为弧MN的中点.(1)按照方案1裁剪,设∠NOC=,用表示矩形ABCD的面积S1,并证明S1的最大值为;(2)按照方案2裁剪,求矩形PQRS的面积S2的最大值,并与(1)中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.18.如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点(1)求证:EF∥平面A1B1BA;(2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.19.已知函数.(1)在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.问题:已知函数___________,,求的值域.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.(2)若,,,求的取值范围.20.某种放射性元素的原子数随时间的变化规律是,其中是正的常数,为自然对数的底数.(1)判断函数是增函数还是减函数;(2)把表示成原子数的函数.21.已知且是上的奇函数,且(1)求的解析式;(2)若不等式对恒成立,求取值范围;(3)把区间等分成份,记等分点的横坐标依次为,,设,记,是否存在正整数,使不等式有解?若存在,求出所有的值,若不存在,说明理由.

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】画出函数的图象,利用函数的图象,判断的范围,然后利用二次函数的性质求解的范围【详解】解:函数,的图象如图:关于的方程有8个不等的实数根,必须有两个不相等的实数根且两根位于之间,由函数图象可知,.令,方程化为:,,,开口向下,对称轴为:,可知:的最大值为:,的最小值为:2故选:【点睛】本题考查函数与方程的应用,函数的零点个数的判断与应用,考查数形结合以及计算能力,属于中档题2、A【解析】表示的是方向上的单位向量,画图象,根据图象可知点在的角平分线上,故动点必过三角形的内心.【详解】如图,设,,已知均为单位向量,故四边形为菱形,所以平分,由得,又与有公共点,故三点共线,所以点在的角平分线上,故动点的轨迹经过的内心.故选:A.3、B【解析】利用辅助角公式化简得到,求出最小正周期和最大值.【详解】所以最小正周期为,最大值为2.故选:B4、B【解析】先判断函数的单调性,再利用单调性求解.【详解】因为,在上都是增函数,由复合函数的单调性知:函数,在上为增函数,所以函数的值域为,故选:B5、B【解析】利用函数奇偶性的定义可判断A、B、C选项中各函数的奇偶性,利用特殊值法可判断D选项中函数的奇偶性.【详解】对于A选项,令,该函数的定义域为,,所以,函数为奇函数;对于B选项,令,该函数的定义域为,,所以,函数为偶函数;对于C选项,函数的定义域为,则函数为非奇非偶函数;对于D选项,令,则,,且,所以,函数为非奇非偶函数.故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,考查函数奇偶性定义的应用,考查推理能力,属于基础题.6、C【解析】根据集合的并集的概念得到,集合的子集个数有个,即16个故答案为C7、C【解析】从图象中的最小值入手,求出,进而求出函数的最大值,即为答案.【详解】从图象可以看出,函数最小值为-2,即当时,函数取得最小值,即,解得:,所以,当时,函数取得最大值,,这段时间水深(单位:m)的最大值为8m.故选:C8、D【解析】全称命题的否定为存在命题,利用相关定义进行判断即可【详解】全称命题的否定为存在命题,命题,则为.故选:D9、A【解析】由幂函数的概念,即可求出或,再根据或均满足在上单调递增以及充分条件、必要条件的概念,即可得到结果.【详解】若为幂函数,则,解得或,又或都满足在上单调递增故“”是“幂函数在上单调递增”的充分不必要条件故选:A.10、C【解析】利用对数的运算性质求出,由此可得答案.【详解】,所以.故选:C二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、17【解析】根据分段函数解析式计算可得;【详解】解:因为,故答案为:12、【解析】根据是的对称轴可取得最值,即可求出的值,进而可得的解析式,再结合对称中心的性质即可求解.【详解】因为是的对称轴,所以,化简可得:,即,所以,有,,可得,,因为,且满足,在区间上是单调函数,又因为对称中心,所以,当时,取得最小值.故答案为:.13、【解析】根据函数零点可转化为有2个不等的根,利用对数函数的性质可知,由均值不等式求解即可.详解】不妨设,因为函数有两个零点分别为a,b,所以,所以,即,且,,当且仅当,即时等号成立,此时不满足题意,,即,故答案为:14、3【解析】由题意可知故答案为315、(1)(2)【解析】(1)化简函数解析式为,再利用余弦函数的性质求函数的值域即可;(2)由已知得,利用同角之间的关系求得,再利用凑角公式及两角差的余弦公式即可得解.【小问1详解】,,利用余弦函数的性质知,则【小问2详解】,又,,则则16、【解析】作出函数的图象,把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.【详解】由得,即函数零点是直线与函数图象交点横坐标,当时,是增函数,函数值从1递增到2(1不能取),当时,是增函数,函数值为一切实数,在坐标平面内作出函数的图象,如图,观察图象知,当时,直线与函数图象有2个交点,即函数有2个零点,所以实数的取值范围是:.故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),证明见解析;(2),方案1可以裁剪出面积最大的矩形.【解析】(1)分别用含有的三角函数表示,写出矩形的面积,利用三角函数求最值;(2)利用(1)的结论,根据对称性知,矩形的最大面积为,然后利用作差法比较大小即可【小问1详解】在图1中,,,,,,,当时,矩形最大面积为,得证.【小问2详解】在图(2)中,设与边,分别交于点,,由(1)的结论,可得矩形的最大面积为,根据对称性知,矩形的最大面积为.因为为锐角,所以,于是.因此,.故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形,其最大面积为.18、(1)详见解析(2)30°【解析】(1)连接A1B,结合三角形中位线定理,得到平行,结合直线与平面平行,的判定定理,即可.(2)取的中点N,连接,利用直线与平面垂直判定定理,得到平面,找出即为所求的角,解三角形,计算该角的大小,即可【详解】解:(1)证明:如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EF∥BA1.又EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA(2)解:因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,从而BB1⊥AE.又BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1,.取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NE∥B1B,NE=B1B,故NE∥A1A且NE=A1A,所以A1N∥AE,且A1N=AE.因为AE⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在△ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.因为BM∥AA1,BM=AA1,所以A1M∥AB,A1M=AB,由AB⊥BB1,有A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中,可得A1B1=4.在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N=,因此∠A1B1N=30°.所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°【点睛】本题考查了直线与平面垂直、平行判定定理和直线与平面所成角的找法,证明直线与平面平行关键找出一条直线与平面内一条直线平行,直线与平面所成角的找法关键找出直线垂直平面的那条直线,建立角,解三角形,即可.19、(1)答案见解析(2)【解析】(1)根据复合函数的性质即可得到的值域;(2)令,求出其最小值,则问题转化为恒成立,进而求最小值即可.【小问1详解】选择①,,令,则,故函数的值域为R,即的值域为R.选择②,,令,则,因为函数单调递增,所以,即的值域为.【小问2详解】令.当时,,,;当时,,,.因为,所以的最小值为0,所以,即.令,则,所以,故,即的取值范围为.20、(1)减函数;(2)(其中).【解析】(1)即得是关于的减函数;(2)利用指数式与对数式的互化,可以把t表示为原子数N的函数试题解析:(1)由已知可得因为是正常数,,所以,即,又是正常数,所以是关于的减函数(2)因为,所以,所以,即(其中).点睛:本题利用指数函数的单调性即可容易得出函数的单调性,利用指数与对数的互化可得出函数的表达式.21、(1);(2);(3)存在,正整数或2.【解析】(1)根据,,即可求出的值,从而可求函数的解析式;(2)根据函数的奇偶性和单调性由题意可得到恒成立,然后通过分类讨论,根据二次不等式恒成立问题的解决方法即可求出答案;

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