2021高中数学必修一人教A版（第二单元基本初等函数）章节练习试题（含详细解析）

2021年09月17日试卷

一、单选题（共20题；共0分）

1、（0分）若函数y=/（x）的图象上存在两个点4,8关于原点对称，则称点对［4切为y=/Q）

的“友情点对”，点对［4B］与固川可看作同一个“友情点对”，若函数/（x）=

2,x<0

恰好由两个“友情点对”，则实数Q的值为）

—x3+6x2—9x+a,%>0

A.-2B.2C.1D.0

2、（0分）2Zo次。+log产s=（）

A.0B.1C.2D.4

3、（0分）VaE,x=（5讥。）'°。几皿。,y=（^cosa）103113^,则x与y的大小关系

为（）

A.x>yB.x<yC.x=yD.不确定

4、（0分）计算2logs10+logs0.25=（）

A.0B.1C.2D.4

5、（0分）设a=lge,b=（lge）2,c=Igy/e（其中e为自然对数的底数），则（）

A.窗阳颔融q;B.:幽驰差加热

C•总制蟒斛诙D.筑制颔海砌

6、（0分）设方程3*=|均（-幻|的两个根为卬如则（）

A.V0B.=1

C.%i%2>1D.0<xrx2<1

7、（0分）若loga3=m,loga5=n,则/"的值是（）

A.15B.75C.45D.225

8、（0分）下图是指数函数①片/，②片/，③尸c',④尸"的图象，则a,4c,d与1的大小关

系为

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<c

C.b〈c〈dD./?<1<rf<c

9、（0分）设a,b,c,d都是不等于1的正数，y=a\y=b\y=c\y=d'在同一坐标系中

的图象如图所示，则a,b,c,d的大小顺序是（）

A.a<b<c<dB.a<b<d<c

C.b<a<d<cD.b<a<c<d

10、（0分）若函数f（x）=d（a>0,且aRl）满足f（2）=81,则f（-?的值为（）

A.C.

士IB.±3D.3

11、（0分）已知函数/（x+1）关于直线久=一1对称且任意xltx26（0,4-00）,.工2，有（Xi-

%2）［/（%1）—/（%2）］V。，则使得/（仇%）>f（l）成立的％的取值范围是（）

A•（词

B.,+8)

。（词D.(O,i)u(e,+co)

12、（。分）函数y=需｝的部分图象大致为（）

13、（0分）已知幕函数y=f（x）的图象经过点（―2,—》，则满足f（x）=27的x的值为

（）

B.—D.-

A.327C.273

14、（0分）下列所给出的函数中,是幕函数的是()

A.y=-%3B.y=%-3

C.y=2x2D.y=%3-1

15>（0分）已知幕函数y=f（x）的图象经过点（2,争，则f（4）的值为（

C.-D.—

A.16B.2216

16、(0分)对定义域内的任意实数与户2，满足f(Xi+X2)=f(Xl)/(X2)的函数是()

2X

A./(x)=x+1B./(x)=xC./(%)=2D./(x)=log2x

17、(0分)下列大小关系正确的是()

204204

A.0.4<3<log403B.0.4<log40.3<3

204042

C.log403<0.4<3-D.log403<3<0.4

18、(0分)已知函数/(x)=[-7*<0,若f(a)=2,则实数a=()

{log2x,x>0

A.-1B.4C.]或1D.-1或4

19、(0分)下列函数中，是偶函数的是().

A.y=|%2+x\B.y=2团C.y=x3+xD.y=Igx

20、（0分）若函数y=，ogQX（Q>0,且arl）的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是

y

二、填空题（共10题；共。分）

21、（0分）下列说法：

①函数/。）=伍%+3%-6的零点只有1个且属于区间（1,2）；

②若关于％的不等式a/+2ax+1>0恒成立，贝！Ja6（0,1）；

③函数y=%的图像与函数y=sinx的图像有3个不同的交点；

④函数y=sinxcosx+sinx+cosx,x6［0,3的最小值是1.

正确的有（请将你认为正确的说法的序号都写上）

22、（0分）函数y=a''?一1（a>0且aW1）的图象必经过点________________.23、

（0分）

已知函数/•。）=恒（产+5%+6）,则函数八%）的单调递增区间是______________________。

24、（0分）已知f（x）是奇函数，且当x<0时，F（/）=-e".若Ain2）=8,则a=.

25、（0分）函数y=2ax-1在［0,2］上的最大值是7,则指数函数y=a*在［0,3］上的最大

值与最小值之和为________________.26、（0分）函数f（x）=2a/I-3（a>0且

aWl）的图象经过的定点坐标是________________.

27、（0分）已知基函数y=（nt?-5m+5）•无2-小，当刀e（0,+8）时为增函数，则

m=•

28、（0分）若a=/og45，则2。+2-。=.

29、（0分）已知（a2+a+2）x>（a2+a+2）-x,则x的取值范围是.

30、(0分)已知/oga2=m,，O9a3=M，则a2m-n

三、解答题（共5题；共。分）

31、（0分）已知函数（1）.判断函数的奇偶性;

A.解：：f（X）定义域为,关于原点对称。且

是奇函数;

（2）.求该函数的值域;

A.解：的值域为

（3）.证明是上的增函数.

A.证明：设,且

（•..分母大于零，且)

是上的增函数.

32、（0分）已知函数/'（X）=）—4,设曲线y=f（x）在点（x〃，/'（%,；））

处的切线与x轴的交点为（打+i,0）（"GN+）,其中处为正实数.

(1)用Xn表ZjxXn+1；

（2）求证：对一切正整数〃，的充要条件是不》2；

（3）若看=4,记a“=lg且上，证明数列｛a〃｝成等比数列，并求数列｛蜀｝的通项公式.

Xn-2

33、（0分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关,

新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本

y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为

-x3-80x2+5040x,xG[120,1441

.3

y=[；x2-200x+80000,xG[144,500],

且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予

补偿.

(1)当xG[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国

家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

34、(0分)(1)已知瞥=箝铲=可，求a,b.并用a,b表示崛/B；

UM黑

(2)若斓升境;国=与，求点A』的值♦

35、(0分)对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为不等函数.

①对任意的xG[0,1],总有f(x)20；

②当X120,X220，x|+x2WI时，总有f(Xi+x2)2f(x1)+f(X2)成立.

已知函数g(x)=x3与h(x)=2'-a是定义在[0,1]上的函数.

(1)试问函数g(x)是否为不等函数？并说明理由；

(2)若函数h(x)是不等函数，求实数a组成的集合.

四、计算题(共5题；共。分)

1H41

36、(0分)计算：0.16~+(-1)°+[(-2)3]5+16-0'75+|-0.00115.37、(0分)计算：(1+

24)(1+2-J)(1+2-5)38、(0分)计算下列各式的值：

(O2

(2)log3>/3+lg25+lg4+7^.

(0分)计算下列各式:

3|O6

101s-V101og41+2^;

40、(0分)计算log225*log34Togs9.

试卷答案

1.【答案】B

【解析】首先注意到(0,a)没有对称点.当x>。时，/(x)=-x3+6x2-9x+a,则-/(-x)=

—x3—6%2—9x—a,即—炉—x2—9x—a=2(x<0)有两个实数根，即a=—x3—x2—9x—2(x<

0)有两个实数根.画出y=一/一尤2一蜃一2(%<o)的图像如下图所示，由图可知a=2时有两

个解.

点睛：本题主要考查对新定义的理解，考查函数的对称性，考查三次方函数图像的画法.

根据友情点对的定义，函数在y轴右方的图像关于原点对称之后与y轴左方的图像有交点，

由于题意说明有两个交点，故先求得关于原点对称函数的表达式，然后利用分离常数

法来求解.对于三次方函数的图像，是利用导数求其单调区间来画.

2.【答案】C

【解析】2/og2°+log°25=log^+log°25=log^00x025^=log/=logf2=2,故选C.

3.【答案】C

【解析】【解答】因为11罐"工三邈R侬奠然产产乳二的聂a/缱，耐跄

即所以室=逑,

故选C.

4.【答案】C

【解析】)fe蚪押遒蝇!喝倒空=fe蚪j触蚓照蛔.陶j:=fes：与监=等。选C。

【点评】熟记且灵活应用对数的运算性质。此为基础题型.

5.【答案】B

【解析】【解答】根据题意，由于

因为0<lg6<l,故可知大小关系为修；汕第海颔，选B.

解决的关键是根据对数的运算性质来得到，属于基础题。

6.【答案】D

【解析】

A

分别作出函数y=3、和y=也(r)|的图象如图，由图象可知方程3%=由(-%)|的两根为

不妨设久1<%2，则两根满足是一2VV-1,一1<久2V0，3%】=|句(一%1)|=，9(一%1),

①3%2=也(—％2)|=—Eg(—工2)，②且3*1<3必，①-②得3*1—3*2=%1)+，g(—%2)=

句(％1%2)，•••3”i<3*2,/^(%1%2)=3"i-3"2<0,即0Vx1x2<1，故选D.

7.【答案】C

【解析】本题考查对数的概念.

mn

由loga3=m,得a=3,由loga5=n,得a=5,

2m+nm2n2

所以a=(a)•a=3X5=45.

8.【答案】B

【解析】由题图可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线广1(图

略)，在第一象限内分别与各曲线相交，由图象可知l<d<c,灰a<l,从而可得a,b,c,d与1的

大小关系为b<a<l<d<c.故选B.

9.【答案】C

【解析】本题考查不同底数的指数函数图象之间的关系.

取x=l,根据各图象的高低可以判断出b<a〈d〈c.

10.【答案】C

【解析】本题考查指数函数求值.

•..函数f(x)=a，(a>0,且aW1)满足f(2)=81,a2=81,解得a=9或a=-9(不符合题意，

舍去),Af(x)=9\Af(-i)=92=

11.【答案】C

【解析】分析：由函数/(x+1)关于直线x=—l对称可得函数/(x)为偶函数，由(/一

&)[/。力一/(亚)]可得函数f(x)在区间[。，+8)上为减函数，从而可得|"幻<1,进而可得

结果.

详解：根据题意，定义在R上的函数/(x+1)的图象关于直线％=-1对称，

则函数/(x)的图象关于y轴对称，

即函数f(x)为偶函数，

若对任意的%],%2七[0,+8)(%iH%2)，

都有(3一％2)[/(%1)—f(%2)]<0,

则函数/(%)在区间[0,+8)上为减函数，

/(Inx)>f(1)等价于

1

\lnx\<1=>—1<Inx<l=>-<x<e

e

即x的取值范围是G，e),故选C.

点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综

合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据

奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对

称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.

12.【答案】A

【解析】当x为正且接近于。时，/n|x|为负且绝对值较在，则1一>0,1+，n|x|<O,sinx>

0,/(%)<0,只有A符合，故选A.

13.【答案】I)

【解析】由基函数丫=产的图象经过点(一2,->可求出a,代入x-3=27可求久.因为基函数

y=Xa的图象经过点(21)所以(-2)a=一：,所以a=-3.又因为/(x)=27,所以工―3

=27,x'=27,所以x=1.

故选D.

本题考查塞函数的概念及其应用，属基础题.

14.【答案】B

【解析】

根据幕函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论.

幕函数的定义规定；y=x"(a为常数)为幕函数，所以选项中A,C,D不正确；B正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查幕函数的定义，考查判断推理能力，基本知识掌握情况，是基础题.

15.【答案】C

【解析】【解答】解：设幕函数为y=x°,

•••基函数y=f(x)的图象经过点(2,马，

解得a=-|.y=x-|.

f(4)=4-2=-.

2

故选：C.

求出幕函数的解析式，然后求解函数值即可.

16.【答案】C

X

【解析】/(x)=2,/(xx+x2)=2,1+刈，/(%)/0：2)=2，ix2也=2"也

f(*1+x2)=/(X1)/(X2)

故选：C

17.【答案】C

【解析】先判断出所给出的三个数的范围，然后通过比较大小得到结论.由指数函数的单

调性可得0<0.42<1,3°2>1,

由对数函数的性质得log40.3<log4l=0,

2

所以log403<0<0.4<1<3°2.

故选C.

由于题中给出的三个数的类型不同，比较大小时可借助中间量进行，即先判断出每个数所

在的范围，根据范围再进行大小的比较.本题主要考查指数函数、对数函数单调性的运

用.

18.【答案】1)

【解析】当a<0时，由，(a)=2得一(=2,解得a=—l,符合题意；

当a>0时，由f(a)=2得log2a=2,解得a=4,符合题意.

综上可得。=-1或a=4.选D.

19.【答案】B

【解析】根据偶函数定义，/(x)=/(-x),代入检验即可判断是否为偶函数。A、代入

-x,得y=|——x],与原函数不相等，所以不是偶函数。

B、代入一x,得y=2㈤，与原函数相等，所以是偶函数。

C、代入-%,得一x,与原函数不相等，所以不是偶函数。

D、定义域没有关于原点对称，所以不是偶函数。

所以选B

本题考查了根据定义判定函数是否为偶函数，注意一定要先判断定义域是否关于原点对

称，在判断f(x)=f(—x)是否成立，属于基础题。

20.【答案】B

【解析】试题分析：由函数y=logM(a>0,且a#1)的图象可知，函数a=3,则下图中对

于选项A,y=3-x是减函数，所以A错误；对于选项B,y=/的图象是正确的，故选区

考点：对数函数与幕函数的图象与性质.

【名师点睛】本主要考查对函数的图象识别问题，属容易题.识图问题常见类型及策略

有：

1.由实际情景探究函数图象，关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注

意实际问题中的定义域问题；

2.由解析式确定函数的图象，此类问题往往先化简函数的解析式，利用函数的性质(单

调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法;

3.己知函数图象确定相关函数图象，此类问题主要考查函数的图象变换(如平移变换、

对称变换等)，要注意函数y=f(%)与函数y=/'(-%)、y=-f(x)、y=-f(—x)、y=

f(x|)、y=|/(X)|等的相互关系；

4.借助动点探究函数图象，解决此类问题可以根据已知条件求出函数的解析式，求出函

数解析式后再判断函数的图象，也可采用“以静观动”，即将动点处于某特殊位置处考察

函数的变化特征，从而作出选择.

21.【答案】①④

【解析】试题分析：①函数/(x)=Inx+3x-6在(0,+oo)_t是增函数，且/(I)=/nl+3x1-6=

-3<0,/(2)=+3x2-6="2>0.所以①正确.

②当a=。时原不等式变形为1>0,恒成立；当aH0时，要使关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒

成立，则A=(2a)2-4axl<0n0<a<l,综上可得关于龙的不等式ax?+2ax+1>0恒成立时

aG[0,1).故②不正确.

③由函数图像可知函数y=x的图像与函数y=s讥x的图像只有一个交点，故③不正确.

®y=sinxcosx+sinx+cosx=|sin2x+V2sin(x+：),xC[0小时，2xG[0,^],x+e覃§,所以此

函数在[0币上单调递增.所以ymbi=1sinO+y/2sin^=1.故④正确.

考点：函数的性质；

22.【答案】(2,0).

【解析】【解答】解：•••函数y=a*,(a>0且ar1)的图象经过的定点坐标是(0,

1),

...函数y=a'的图象经过向右平移2个单位，向下平移1个单位，

.•.函数y=a**J1（a>0且aHl）的图象经过（2,0）,

故答案为：（2,0）.

根据函数y=a*,（a>0且a#1）的图象经过的定点坐标是（0,1）,利用平移可得

答案

23.【答案】（-2,+8）

【解析】

本题首先需要求出函数〃乃=馆（短+54+6）的定义域，然后可通过二次函数性质得知

k=/+5x+6的单调性，最后通过k=产+5x+6的单调性得知函数f（x）=lg（x2+5x+6）

的单调递增区间。

因为函数/（x）=lg（x2+5x+6）,

所以%2+5x+6>0,（x+2）（x+3）>0,

所以x<—3或x>—2,

令k=x2+5x+6,由二次函数性质可知：

当x<—3时，k=x2+5x+6单调递减；

当％〉—2时，k=婷+5X+6单调递增，

故当%>-2时，函数〃x）=lg（x2+5x+6）单调递增，

故函数”乃的单调递增区间是（—2,+8）。

【点睛】

本题考查复合函数的单调性，考查函数方程思想，计算复合函数的相关性质的时候，可以

将复合函数转化为基本初等函数，再对每一个基本初等函数进行讨论。

24.【答案】-3

【解析】本题主要考查函数的奇偶性，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查

的核心素养是逻辑推理、数学运算.

当x〉0时，-x<0,f(-x)=~e'".因为函数F(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)=-f(-x)=「",所

以/(In2)=e2=(?"=8,所以a=-3.

25.【答案】9

【解析】【解答】解：根据题意，得a>0且aWl,

二函数y=2ax-1在［0,2］上是单调增函数，

其最大值为4a-1=7,，a=2；

...指数函数y=2*在［0,3］上的最大值是2、8,最小值是2°=1；

最大值与最小值之和为8+1=9.

故答案为：9.

根据指数函数的定义得出a>0且aHl,得出函数y=2ax-1是单调增函数，求出a的

值，即可求出指数函数y=a*在［0,3］上的最值之和.

26.【答案】(-1,-1)

【解析】【解答】解：当x=-1时，f(-1)=2a1-1-3=-1,

二函数f(x)=2ax"-3的图象一定经过定点(-1,-1).

故答案为：(-1,-1)

利用a°=1(aW0),取x=-1,得f(-1)的值，即可求函数f(x)的图象所过的定

点.

27.【答案】1

【解析】分析：利用基函数的定义列出方程求出机的值，将皿的值代入函数解析式检验函

数的单调性即可得结果.

详解：y=(m2-5m+5)x2-m2是基函数，

：,m2—5m+5=1,解得?n=4或m=1,

当m=4时，y=(m2—5m4-5)x2-m2=%-14,不满足在(0,+8)上为增函数，

当m=1时，y=(m2-5m4-5)x2-mZ=%,满足在(0,+8)上为增函数，故答案为1.

点睛：本题考查幕函数的定义，、基函数的单调性，意在考查综合运用所学知识解决问题

的能力，属于中档题.

28.【答案】詈

【解析】a=log45=|log2S=log2VS

aa

,2+2-=遍+a-io92^="

故结果为第.

29.【答案】g+8)

【解析】•；a?+a+2=(a+}2+(>1,

...y=(a?+a+2)”为R上的增函数.

/.X>1—X,即X>I.

2

x的取值范围是&+oo).

30.【答案】g

【解析】Vloga2=m,loga3=n,

/•am=2,an=3,

,2m-n—Q2一《一2

-aaan_3_3

答案：|

(1)判断函数奇偶性，先求定义域，关于原点对称再求f(-三十一.【分析】x)=-

f(X),为奇函数；(2)求f(X)值域，先将f(x)化简，根据指数函数值域确定f(X)取

值范围。(3)判断函数单调性，取值，作差，变形，定号。

31.

解：Vf((1).【答案】x)定义域为，关于原点对称。

且是奇函数；

【解析】(1)判断函数奇偶性，先求定义域，关于原点对称再求f(-x)=-f(x),为奇函

数；(2)求f(x)值域，先将f(x)化简，根据指数函数值域确定f(x)取值范围。

(3)判断函数单调性，取值，作差，变形，定号。

解：

(2).【答案】即的值域为；

【解析】(1)判断函数奇偶性，先求定义域，关于原点对称再求f(-x)=-f(x),为奇函

数；(2)求f(x)值域，先将f(x)化简，根据指数函数值域确定f(x)取值范围。

(3)判断函数单调性，取值，作差，变形，定号。

证明：设，且，

(3).【答案】(•.•分母大于零，且)

/.是上的增函数.

【解析】(1)判断函数奇偶性，先求定义域，关于原点对称再求f(-x)=-f(X),为奇函

数；(2)求f(x)值域，先将f(x)化简，根据指数函数值域确定£(x)取值范围。

(3)判断函数单调性，取值，作差，变形，定号。

32.【答案】=>/2)见解析⑶x尸誓言2

【解析】(1)由题意可得f'(x)=2x,

所以过曲线上点(x“，f(x”))的切线方程为

1

y—f(xn)=f(x〃)(x—x〃)，即p—(好-4)=2x〃(x—.

令y—0,得一(/-4)=2x〃(x〃+i—Xn).

即辞+4=2x〃x〃+i.显然x〃+i=W+2.

NXn

(2)(必要性)若对一切正整数〃，有则xzWxi，

即包+^Wxi，好》4.而修〉0,即有xi22.

2411

=

(充分性)若才］22>0,由xn+1~

用数学归纳法易得%„>0,从而打十］=，+三22乒=2(421),

2xn72xn

即x〃22(〃22).又x［22,・・・打22(〃21).

_xn,2X_4r」_(2-xn)(2-t-xn)<0

于是丫力+1-Xn........-H....x....-

乙nL2xn

即打〃对一切正整数〃成立.

⑶4+1=芋+2,知刈+|+2=粤空,

Nxn^xn

(x-2尸故x+1+2

同理，X"1-2=nn

2%n%n+1-2

从而】g鬻t=2】g若'即呼尸2战所以，数列｛/｝成等比数列，

nn-1

故an=2~'ai=2~'-lg^=2"lg3,

xr—2

即1g港=2fg3.从而/=32…,所以『尊若

33.【答案】（1）国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损

（2）当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.

【解析】试题分析：（1）解决实际问题关键为读懂题意：能否获利，决定于利润是否为

西&飞

十e、,皿“才a代一签始鬻+霸遵期

正，故a列,出,利润S函数关系式S=200x-•a3M/1=一1权2+400x—80000=一;1

（x-400）2,当xC[200,300]时，S<0,因此该单位不会获利，补贴的标准为S取得最

大值-5000,而不是最小值（2）先列出每吨的平均处理成本的函数关系式，为一个分段

函数，需分段求最值，最后比较两段最小值的较小值为所求.

试题解析：（1）当xW[200,300]时，设该项目获利为S,

H**

,I一短一塞四鬻+穗藕瞧112

则S=200x-g3;=-：x"+400x-80000=一*一4。。）2

所以当xd[200,300]时，S<0,因此该单位不会获利.

当x=300时，S取得最大值-5000,

所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.

（2）由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为

岁'尹n一蝌中翻烟；不三粗缝网》

品巴郎+巴:二一@鹦新三弧辎翼地]

.S藩

①当xG[120,144）时，-80x+5040=2（x-120）2+240,

X33

所以当x=120时，X取得最小值240.

X

②当X6［144,500］时，1=%+照"一200,2际亟®—200=200,

x2X72x

当且仅当以=巴吧，即x