2021年中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形 专题复习（含答案）

2021年中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形专题复习

1、如图，AABC中,AB=AC=1,ZBAC=45°,Z\AEF是由AABC绕点A按顺时针

方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D.

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.

2、如图，在Rtz\ABC中，ZC=90°,BD是△ABC的一条角平分线.点0、E、F

分别在BD、BC、AC上，且四边形0ECF是正方形.

(1)求证：点0在NBAC的平分线上；

(2)若AC=5,BC=12,求0E的长.

3、如图，4ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,分别以AB,AC为直角边向外

作等腰直角AABD和等腰直角AACE,G为BD的中点，连接CG,BE,CD,BE与

CD交于点F.

(1)判断四边形ACGD的形状，并说明理由.

(2)求证：BE=CD,BE±CD.

4、如图1,在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的

垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且NAGD=

ZBGC.

(1)求证:AD=BC；

(2)求证：△AGDS^EGF；

(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直，求包的值.

EF

图1图2

5、如图，是一副学生用的三角板，在AABC中，ZC=90°,ZA=60°,ZB=30°；

在△ABC中,NG=90°,ZA,=45°,ZB,=45°,且AB=CB.若将边AC与边

CA重合，其中点4与点C重合.将三角板ABG绕点C(AD按逆时针方向旋转，

旋转过的角为a,旋转过程中边A£与边AB的交点为M,设AC=a.

(1)计算AC的长；

(2)当a=30。时,证明:BC〃AB；

(3)若a=^+«，当a=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；

(4)当a=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积.

(参考数据：sinl5°=———,cosl5°=近日四，tanl5°=2-5/3,sin75°=

44

粕+近,cos75°=粕tan750=2+«)

44

6、如图，两个全等的aABC和4DFE重叠在一起，固定aABC,将4DEF进行如

下变换：

（1）如图1,aDEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、

AD、BD.请直接写出S△械与S四边形AFBD的关系；

（2）如图2,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么

△ABC应满足什么条件？请给出证明；

（3）在（2）的条件下，将4DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处,

连接CG,请你在图3的位置画出图形，并求出sin/CGF的值.

图1图2图3

7、如图1,在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,ZEAC=90°，点M为射线AE上任

意一点（不与A重合），连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到

线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.

（1）直接写出NNDE的度数；

（2）如图2、图3,当NEAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是

否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；

（3）如图4,若NEAC=15°,NACM=60°,直线CM与AB交于G,BD=包，1

2

其他条件不变，求线段AM的长.

图3图4

8、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1,图2,

图3中，AF,BE是AABC的中线，AF1BE,垂足为P,像△ABC这样的三角形均

称为''中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索_

(1)如图1,当NABE=45°,c=2血时，a=,b=.

如图2,当NABE=30°,c=4时，a=,b=.

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a?,b\c2三者之间的关系，用等式表

示出来，并利用图3证明你发现的关系式.

拓展应用

(3)如图4,在口ABCD中，点E、F、G分别是AD,BC,CD的中点,BE±EG,AD=2

9、如图1,在RtaABC中，ZB=90°,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的

中点，连接DE,将AEDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

(1)问题发现

①当a=0。时，岖；②当a=180°时，幽

BD-BD

(2)拓展探究

试判断：当0°Wa<360°时，色的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证

BD

明.

(3)问题解决

当AEDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.

10、已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP<PB.AP绕点A逆时针旋

转角a(0°<a<90°)得到AP”BP绕点B顺时针也旋转角a得到BP?，连接

PPi、PP2.

(1)如图1,当a=90°时,求NPFB的度数；

(2)如图2,当点2在APi的延长线上时，求证：△PzPFsaPzPA；

(3)如图3,过BP的中点E作1」BP,过BP?的中点F作b_LBP”L与上交于

点Q,连接PQ,求证：PiP±PQ.

11、两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与

边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点，线都在同一平面内).其中，NC=

ZDEF=90°,ZABC=ZF=30°,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC

沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x

(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).

(1)当点C落在边EF上时，x=cm；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中，

点M与点N之间距离的最小值.

12、已知NMAN=135°,正方形ABCD绕点A旋转.

(1)当正方形ABCD旋转到NMAN的外部(顶点A除外)时，AM,AN分别与正方

形ABCD的边CB,CD的延长线交于点M,N,连接MN.

①如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；

②如图2,若BMWDN,请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；

若不成立，请说明理由；

(2)如图3,当正方形ABCD旋转到NMAN的内部(顶点A除外)时，AM,AN分

别与直线BD交于点M,N,探究：以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形

是何种三角形，并说明理由.

13、已知：AABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角

边作等腰三角形PCQ,其中NPCQ=90°,探究并解决下列问题：

（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=l+b，PA=&,则：

①线段PB=,PC=；

②猜想：PA?,PB?,PQ1'‘三者之间的数量关系为—；

（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请

你利用图②给出证明过程；

（3）若动点P满足电工，求其的值.（提示：请利用备用图进行探求）

PB3AC

参考答案

2021年中考数学第三轮压轴题强化训练：三角形专题复习

1、如图，ZSABC中,AB=AC=1,ZBAC=45°,z^AEF是由aABC绕点A按顺时针

方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D.

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.

(1)证明：•••△AEF是由aABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，

.*.AE=AB,AF=AC,NEAF=NBAC,

二ZEAF+ZBAF=ZBAC+ZBAF,即NEAB=NFAC,

VAB=AC,

；.AE=AF,

AAEB可由AAFC绕点A按顺时针方向旋转得到，

，BE=CF；

(2)解：•.•四边形ACDE为菱形,AB=AC=L

/.DE=AE=AC=AB=1,AC/7DE,

AZAEB=ZABE,ZABE=ZBAC=45°,

/.ZAEB=ZABE=45°,

/.△ABE为等腰直角三角形，

.-.BE=V2AC=V2»

.\BD=BE-DE=V2-1.

2、如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,BD是AABC的一条角平分线.点0、E、F

分别在BD、BC、AC±,且四边形OECF是正方形.

(1)求证：点0在NBAC的平分线上；

(2)若AC=5,BC=12,求0E的长.

解答：(1)证明：过点0作OM_LAB,

VBD是NABC的一条角平分线，

.\OE=OM,

•••四边形OECF是正方形，

.\OE=OF,

/.OF=OM,

AAO是NBAC的角平分线，即点0在NBAC的平分线上;

(2)解：•.•在RtAABC中，AC=5,BC=12,

*',AB=VAC2+BC2=V52+122=13'

设OE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,

'x+y=12

•'-5y+z=13，

x+z=5

'x=2

解得：＜y=10，

z=3

.*.0E=2.

3、如图，△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,分别以AB,AC为直角边向外

作等腰直角AABD和等腰直角AACE,G为BD的中点，连接CG,BE,CD,BE与

CD交于点F.

(1)判断四边形ACGD的形状，并说明理由.

(2)求证：BE=CD,BE±CD.

解答：(1)解：:△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

，AB=MBC,

VAABD和4ACE均为等腰直角三角形，

.\BD=V2AB=BCV2X&XBC=2BC,

•.•G为BD的中点，

/.BG=1BD=BC,

2

/.△CBG为等腰直角三角形，

AZCGB=45°,

VZADB=45°,

AD〃CG,

VZABD=45°,ZABC=45°

AZCBD=90°,

VZACB=90°,

AZCBD+ZACB=180°,

；.AC〃BD,

四边形ACGD为平行四边形；

(2)证明：VZEAB=ZEAC+ZCAB=900+45°=135°,

ZCAD=ZDAB+ZBAC=90°+45°=135°,

...ZEAB=ZCAD,

在aDAC与ABAE中，

'AD=AB

<ZCAD=ZEAB，

AC=AE

/.△DAC^ABAE,

.\BE=CD；

VZEAC=ZBCA=90°,EA=AC=BC,

...四边形ABCE为平行四边形，

/.CE=AB=AD,

在ABCE与ACAD中，

'BC=AC

<NBCE=/CAD=135°，

,EC=DA

.,.△BCE^ACAD,

/.ZCBE=ZACD,

VZACD+ZBCD=90°,

/.ZCBE+ZBCD=90°,

：.ZCFB=90°,

即BE±CD.

4、如图1,在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的

垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且NAGD=

ZBGC.

(1)求证:AD=BC；

(2)求证：AAGD^AEGF；

(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直，求位的值.

EF

图1图2

解答(1)证明：YGE是AB的垂直平分线，

；.GA=GB,

同理：GD=GC,

在4AGD和aBGC中，

'GA=GB

<ZAGD=ZBGC，

GD=GC

.,.△AGD^ABGC(SAS),

.*.AD=BC；

(2)证明：VZAGD=ZBGC,

，ZAGB=ZDGC,

在AAGB和△DGC中，皇理，

GDGC

/.△AGB^ADGC,

•EGGA

♦.而F

又；ZAGE=ZDGF,

/.ZAGD=ZEGF,

.,.△AGD^AEGF；

(3)解：延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,如图所示:

则AH1BH,

VAAGD^ABGC,

ZGAD=ZGBC,

在4GAM和△HBM中，ZGAD=ZGBC,ZGMA=ZHMB,

AZAGB=ZAHB=90°,

.,.ZAGE=^ZAGB=45°，

2

•AGr-

••瓦3，

XVAAGD^AEGF,

5、如图，是一副学生用的三角板，在aABC中，ZC=90°,ZA=60°,ZB=30°；

在△AB。中，NC=90°,ZA,=45°,NB尸45°，且AB=CB.若将边AC与边

CA重合，其中点A与点C重合.将三角板ABG绕点C（AJ按逆时针方向旋转，

旋转过的角为a,旋转过程中边A£与边AB的交点为M,设AC=a.

（1）计算AC的长；

（2）当a=30°时，证明：BC〃AB；

（3）若a=^+«,当a=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；

（4）当a=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积.

（参考数据：sinl5°,cosl5°=退士返，tanl5°=2-/，sin75°=

_44

厉近,cos75°=混一"tan75°=2+73）

44

由特殊锐角三角函数可知：空=tan30。=立，

BC3

.,.BC=V3a.

•*-BIC=>/3a

在RtZXABC，NB尸N45°，

.AjCja

••----~.

BjC2

AC尸斗xV3

(2)VZACM=30°，ZA=60°，

ZBMC=90°.

ZCFZBMC.

，BC〃AB.

（3）如下图：

由（1）可知：AQ=^=乎X（V6+V2）=3+V3

...△ABC的面积=£BICI・CIAI=£（3+73）2=6+3V3

•.,/ABC产45°,ZABC=30°

，NMBG=15°

在RtZ\BCM中，CM=BCtanl5°=（3+逐）（2-加）=3-丑，

.,•RSBCM的面积寺凸£号（3+«）（3-心）=3.

...两个三角板重叠部分图形的面积=4人3£的面积-△BCM的面积=3«+3.

（4）由（1）可知：BC=V3a,AC=^a，

.,.C1F=A,C1*tan30°=西，

2___

/.SA4c育=工人IC1.C1F=」又近

'△A£F2"卜1…2224

VZMCA=60°,ZA=60°,

二ZAMC=60°

.*.MC=AC=MA=a.

，GM=CA-MO遮一2

2

VZMCA=60°,

AZC,A1B=30°,

,

..ZC1MD=ZB+ZC1AIB=60°

在RtZ\DCM中，由特殊锐角三角函数可知：GD=GM・tan60°=2①二结a,

2

•-1cn^/22

•・oS^DC］犷工£MGD=-aO'

-

两个三角板重叠部分图形的面积=S.AcFSADCM建工加=哼第-也产

-2V3O2

2

6、如图，两个全等的aABC和aDFE重叠在一起，固定aABC,将aDEF进行如

下变换：

（1）如图1,4DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、

AD、BD.请直接写出S△械与S四边形AFBD的关系；

（2）如图2,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么

△ABC应满足什么条件？请给出证明；

（3）在（2）的条件下，将4DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处,

连接CG,请你在图3的位置画出图形，并求出sin/CGF的值.

图1图2图3

解：（1）SAABC=S四边形AFBD，

理由：由题意可得：AD〃EC,

则SAADF=SAABD»

故SAACF=SAADF=SAAB»>

则S&\BC=SHia®AFBD；

（2）ZSABC为等腰直角三角形，即：AB=AC,ZBAC=90°,

理由如下：•.¥为BC的中点，

.\CF=BF,

VCF=AD,

.•.AD=BF,

又•；AD〃BF,

•••四边形AFBD为平行四边形，

VAB=AC,F为BC的中点,

AAF1BC,

平行四边形AFBD为矩形，

VZBAC=90°,F为BC的中点，

.,.AF=-1BC=BF,

2

，四边形AFBD为正方形；

(3)如图3所示：

由(2)知，AABC为等腰直角三角形，AF1BC,

设CF=k,则GF=EF=CB=2k,

由勾股定理得：CG=^k,

7、如图1,在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,ZEAC=90°，点M为射线AE上任

意一点(不与A重合)，连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到

线段CN,直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.

(1)直接写出NNDE的度数；

(2)如图2、图3,当NEAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是

否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；

(3)如图4,若NEAC=15°,/ACM=60°,直线CM与AB交于G,BD=-十后,

2

其他条件不变，求线段AM的长.

图1图2

解:(1)VZACB=90°,ZMCN=90°,

...ZACM=ZBCN,

在aMAC和ANBC中，

"AC=BC

<NACM=NBCN，

,MC=NC

.,.△MAC^ANBC,

AZNBC=ZMAC=90°,

又•.•NACB=90°,ZEAC=90°,

ZNDE=90°；

(2)不变，

在△MAC丝ANBC中，

rAC=BC

<NACM=NBCN，

,MC=NC

.,.△MAC丝△NBC,

，ZN=ZAMC,

又；ZMFD=ZNFC,

ZMDF=ZFCN=90°,即NNDE=90°；

(3)作GK_LBC于K,

VZEAC=15°,

.,.ZBAD=30°,

VZACM=60°,

：.ZGCB=30°,

/.ZAGC=ZABC+ZGCB=75°,

ZAMG=75°,

/.AM=AG,

VAMAC^ANBC,

ZMAC=ZNBC,

.,.ZBDA=ZBCA=90°,

•/BD=76jV2,

2

•**

AC=BC=，^+1,

设BK=a,则GK=a,CK=«a,

a=l,

，KB=KG=1,BG=圾，

AG=y[^>,

AM=

8、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1,图2,

图3中，AF,BE是aABC的中线，AF±BE,垂足为P,像aABC这样的三角形均

称为“中垂三角形"，设BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索___

(1)如图1,当NABE=45°,c=2圾时，a=2如，b=2如.

如图2,当NABE=30°,c=4时，a=2m,b=2j7.

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a?,b\c?三者之间的关系，用等式表

示出来，并利用图3证明你发现的关系式.

拓展应用

(3)如图4,在口ABCD中，点E、F、G分别是AD,BC,CD的中点,BE±EG,AD=2

解：⑴VAH1BE,ZABE=45°,

...AP=BP=Y^AB=2,

2

VAF,BE是AABC的中线,

，EF〃AB,EF=/AB=M，

/.ZPFE=ZPEF=45O,

.\PE=PF=1,

在RtAFPB和RtAPEA中，

AE=BF=1]2+22=遥,

.,.AC=BC=2旄，

*'•a=b=2,\/5，

如图2,连接EF,

同理可得：EF=1X4=2,

2

VEF/7AB,

.,.△PEF-AABP,

.PF_PE_EF_1

""AP'PB'AB^

在RtAABP中，

AB=4,ZABP=30°,

，AP=2,PB=2«,

.,.PF=1,PE=V3，

在RtAAPE和RtABPF中，

AE=V7，BF=V13>

,a=2,13,b=2

故答案另：2泥，2加，2yfi3,2^/7；

(2)猜想:a2+b2=5c2,

如图3连接EF,

设NABP=a,

.*.AP=csina,PB=ccosa,

由(1)同理可得，PF」PA二csin」,PE=1pB=cc°sa,

2222

222

22222Q222C2sinq22

AE=AP+PE=csina+c,BF=PB+PF=+ccosa,

44

222222

()=c2sin2a+cC(^a,(>|)=csi^Q+c2cos2a,

222222

----S-+-^=csina+cWa+C鼠in-+ccosa,

4444

.,.a2+b2=5c2；

（3）如图4,连接AC,EF交于H,AC与BE交于点Q,设BE与AF的交点为P,

•.•点E、G分别是AD,CD的中点，

，EF〃AC,

VBE±EG,

/.BE±AC,

•••四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,AD=BC=2泥，

.,.ZEAH=ZFCH,

VE,F分别是AD,BC的中点，

...AE=1AD,BF=1BC,

22

.,.AE=BF=CF=1AD=V3，

VAE/7BF,

，四边形ABFE是平行四边形，

，EF=AB=3,AP=PF,

在aAEH和△CFH中，

'/EAH=/FCH

<NAHE=NFHC，

AEXF

/.△AEH^ACFH,

.•.EH=FH,

AEH,AH分别是AAFE的中线,

由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2,

.*.AF2=5（^y2-EF2=16,

/.AF=4.

9、如图1,在RSABC中,ZB=90°，BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的

中点，连接DE,将AEDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

备用图

图1图2

(1)问题发现__

①当a=0。时，地=近；②当a=180°时，坐近.

BD-2-BD-2-

(2)拓展探究

试判断：当0。WaV360°时，区的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证

明.

(3)问题解决

当AEDC旋转至A,D,E三点共线时，直接写出线段BD的长.

解：(1)①当a=0°时，

,.•RtZ\ABC中,ZB=90°,

*#,AC=VAB2+BC2=72+82=4V5,

•.•点D、E分别是边BC、AC的中点，

，AE=4后2=2遥，BD=84-2=4,

•AE275娓

"BD=4=2'

②如图1,图1

当a=180°时，

可得AB〃DE,

..ACBC

AE

AE

BDBC82

故答案为：近、立

22

(2)如图2,

当0°Wa<360°时，色的大小没有变化,

BD

VZECD=ZACB,

ZECA=ZDCB,

又••EC_AC_V^

■前=BC=2，

/.△ECA^ADCB,

.AEECV5

••丽=DC=2•

(3)①如图3,

VAC=4V5，CD=4,CD±AD,

AD=7AC2-CD2=V(475)2-42=780-16=8'

VAD=BC,AB=DC,ZB=90°,

四边形ABCD是矩形，

.•.BD=AC=4诋.

②如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC

于点P,

图4,

•.•AC=4旄，CD=4,CD1AD,

*#-AD=7AC2-CD2=7(W5)2-42=780-16=8'

在aABC和ACDA中，

'AB=CD

<BC=DA

AC=CA

；.BP=DQ,BP〃DQ,PQ±DQ,

...四边形BDQP为矩形，

.\BD=PQ=AC-AP-CQ

=4^5-

VsV5

=12泥

5

综上所述，BD的长为4泥或里

5

10、已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且APVPB.AP绕点A逆时针旋

转角a(0°VaW90°)得到AP,,BP绕点B顺时针也旋转角a得到BP2,连接

PPi、PP2

(1)如图1,当a=90。时，求NPFPz的度数；

(2)如图2,当点P?在APi的延长线上时，求证：△PRPs/^BPA；

(3)如图3,过BP的中点E作1」BP,过BP?的中点F作k，BP2，L与b交于

点Q,连接PQ,求证：PiP±PQ.

解答:(1)解:由旋转的性质得：AP=AP“BP=BP2.

a=90°,

,APAP,和aPEPz均为等腰直角三角形，

...NAPP产NBPP2=45°,

.,.ZPIPP2=180°-ZAPP,-ZBPP2=90°；

(2)证明：由旋转的性质可知APAPi和aPBE均为顶角为a的等腰三角形,

.•.NAPP产/BPP”=90°-—,

2

...NPFP2=180°-(ZAPPi+ZBPP)=180°-2(90°--)=a,

22

在4PP2Pl和APzPA中，ZP,PP2=ZPAP2=a,

又：NPP2P产NAP2P,

...zWiPsZ^PA.

(3)证明：如图，连接QB.

•・T”［分别为PB,RB的中垂线，

...EBJBP,FB=ABP.

222

又BP=BP2>

/.EB=FB.

在RtAQBE和RtAQBF中，

(EB=FB,

|QB=QB，

ARtAQBE^RtAQBF,

，ZQBE=ZQBF=1ZPBP2=—,

22

由中垂线性质得：QP=QB,

/.ZQPB=ZQBE=—,

2

由(2)知NAPPi=90°-―,

2

ZP,PQ=180°-ZAPP,-ZQPB=180°(90°)--=90°,

22

即P,P±PQ.

H＞两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与

边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点，线都在同一平面内).其中，ZC=

ZDEF=90°,ZABC=ZF=30°,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC

沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x

(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm?).

(1)当点C落在边EF上时，x=15cm；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中，

点M与点N之间距离的最小值.

解：(1)如图1所示：作CGLAB于G点.,

在RtZ\ABC中，由AC=6,ZABC=30,得

tan30

在Rt^BCG中,BG=BC*cos30°=9.

四边形CGEH是矩形，

CH=GE=BG+BE=9+6=15cm,

故答案为：15；

(2)①当0WxV6时,如图2所示.，

ZGDB=60°,ZGBD=30°,DB=x,得

DG」x,BG=^X,重叠部分的面积为y=3DG・BG」xLx在X=Y^2

2222228

②当6<xV12时，如图3所示.，

BD=x,DG=—x,BG=—x,BE=x-6,EH=，^(x-6).

223

重叠部分的面积为y=SABlx；-SABE"=2DG・BG-ABE,EH,

22

即y=Ax-xX^x--(x-6)—(x-6)

22223

化简，得y=-立x?+2正x-6^3；

24

③当12VxW15时，如图4所示.，_

AC=6,BC=6«,BD=x,BE=(x-6),EG=—(x-6),

3

重叠部分的面积为y=SAABc-SABK：4AC-BC-IBE-EG,

22

即y=-lx6X65/3--(X-6)乐x-6)，

22

化简，得y=18«12x+36)=-&2+2^+12^；

66

尊2(o<<)

ox6

6

~^|X2+2V3X-V3(6<X<12)

综上所述：y=

一^^J+2«x+l2V5(124x415)

0

(3)如图5所示作NG±DE于G点.

(4),点M在NG上时MN最短,

NG是4DEF的中位线,

NG=aEF=373.

MB哆B=3b，NB=30。，

MG=%1B="，

22__

MN农产3&-萼=萼・

图4图5

12、已知NMAN=135°,正方形ABCD绕点A旋转.

(1)当正方形ABCD旋转到NMAN的外部(顶点A除外)时，AM,AN分别与正方

形ABCD的边CB,CD的延长线交于点M,N,连接MN.

①如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN；

②如图2,若BMWDN,请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；

若不成立，请说明理由；

(2)如图3,当正方形ABCD旋转到NMAN的内部(顶点A除外)时，AM,AN分

别与直线BD交于点M,N,探究：以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形

是何种三角形，并说明理由.

解：(1)①如图1,若BM=DN,则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN.理

由如下：

在4ADN与AABM中，

'AD=AB

,ZADN=ZABM=906，

DN=BM

.,.△ADN^AABM(SAS),

，AN=AM,ZNAD=ZMAB,

VZMAN=135°,ZBAD=90°,

AZNAD=ZMAB=1(360°-135°-90°)=67.5°,

2

作AE_LMN于E,则MN=2NE,ZNAE=AZMAN=67.5°.

2

在AADN与AAEN中，

'NADN=NAEN=9O°

,NNAD=NNAE=67.5°，

AN=AN

AAADN^AAEN(AAS),

，DN=EN,

VBM=DN,MN=2EN,

.,.MN=BM+DN.

故答案为MN=BM+DN；

②如图2,若BMWDN,①中的数量关系仍成立.理由如下：

延长NC到点P,使DP=BM,连结AP.

二•四边形ABCD是正方形，

，AB=AD,ZABM=ZADC=90°.

在aABM与4ADP中，

fAB=AD

,NABM=NADP=90°，

BM=DP

/.△ABM^AADP(SAS),

；.AM=AP,Z1=Z2=Z3,

VZ1+Z4=9O°,

AZ3+Z4=90°,

VZMAN=135°,

：.ZPAN=3600-ZMAN-(Z3+Z4)=360°-135°-90°=135°.

在AANM与aANP中，

'AM=AP

</MAN=/PAN=135°，

AN=AN

/.△ANM^AANP(SAS),

AMN-PN,

：PN=DP+DN=BM+DN,

，MN=BM+DN；

(2)如图3,以线段BM,MN,DN的长度为三边长的三角形是直角三角形.理由

如下：

•.•四边形ABCD是正方形，

/.ZBDA=ZDBA=45O,

AZMDA=ZNBA=135°.

VZ1+Z2=45°,Z2+Z3=45°,

/.Z1=Z3.

在AANB与aMAD中，

fZABN=ZMDA=135°

IZ1=Z3'

.".△ANB^AMAD,

•••B-N-_--A-B,

ADMD

.•.AB2=BN«MD,

VAB=^DB,

2

/.BN«MD=(匹B)=1BD2,

22

.*.BD2=2BN*MD,

二MD2+2MD•BD+BD2+BD2+2BD»BN+BN2=MD2+BD2+BN2+2MD•BD+2BD•BN+2BN•MD,

:.(MD+BD)2+(BD+BN)2=(DM+BD+BN)2,

即MB2+DN2=MN2