构造平行四边形问题（解析版）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题45构造平行四边形问题

【规律总结】

平行四边形是一种极重要的几何图形.这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边

形一一矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等

的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有

着广泛的应用。

2.由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：

(1)平行四边形对角相等；

⑵平行四边形对边相等；

⑶平行四边形对角线互相平分.

3.除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：

(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

⑶对角线互相平分的四边形是平行四边形；

(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

【典例分析】

例1.(2019・上海同济大学实验学校八年级月考)如图，口45。中，点。是8C的中点,

AE=EF=2,CE=5,则履长（）.

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】

求BE的长，可转化为6F+EF，EF已知，只需求出BF的长即可，延长AD,使AD=£>G，

连接BG,CG,判定四边形ABGC为平行四边形，在DG上取一点H,使DH=DF，判断

四边形BECI为平行四边形，求证BF=AC即可求解.

【详解】

延长AD,使A£)=£)G，连接BG,CG,

团AD=DG，BD—CD，

团四边形ABGC为平行四边形，

0AC=BG，

在DG上取一点H,使DH=DF，连接。”并延长交BG于/,

QBD=CD，

回四边形BECI为平行四边形，

0AC//BG.

0ZC4G=ZBGF.

0NC4G=ZAFE=ZBFG.

^ZBGA=ZBFG，

(3BF-BG，

^BE^BF+EF^AC+EF=2+5+2^9,

故选：c.

【点睛】

本题主要考查的是平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等，学会运用辅助

线作图以及熟练掌握平行四边形的性质即定理，以及两直线平行，内错角相等的定理是解答

本题的关键.

例2.（2020•浙江宁波市•八年级期中）如图，已知明8c的面积为24,点。在线段AC上，

点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF,四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面

积是.

【答案】8

【分析】

连接EC,过A作AM回BC交FE的延长线于M,求出平行四边形ACFM,根据等底等高的三

角形面积相等得出配DE的面积和I3CDE的面积相等，0ADE的面积和I3AME的面积相等，推出

阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CFxhcF的值即可.

【详解】

连接DE、EC,过A作AM13BC交FE的延长线于M,

回四边形CDEF是平行四边形，

0DEE1CF,EF0CD,

0AM0DE0CF,AC0FM,

团四边形ACFM是平行四边形，

02BDE边DE上的高和E1CDE的边DE上的高相同，

00BDE的面积和回CDE的面积相等，

同理囱ADE的面积和团AME的面积相等，

即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是!xCFxhcF,

2

00ABC的面积是24,BC=3CF

0—BCXKBC=-x3CFxhcF=24,

22

0CFxhcF=16,

回阴影部分的面积是二*16=8,

2

故答案为：8.

【点睛】

此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积

的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.

例3.（2020•四川成都市•双流中学九年级期中）如图，点P是正方形ABCD中BC延长线

上一点，对角线AC,BD相交于点。，连接AP,分别交BD,CD于点E,E,过点3作AP

的垂线，垂足为点G,交线段AC于〃.

（1）若/尸=20°，求NGBE的大小.

（2）求证：AE。=EF0EP.

（3）若正方形A8CD的边长为1,CP=\,求HG的长.

【答案】（1）25。；（2）证明见详解；（3）逝

15

【分析】

（1）由正方形性质得到团DBP的度数，利用外角性质得到mGEB的度数，再由直角三角形两

锐角互余，即可得到I3GBE的度数；

（2）连接CE,证I3ECF与①EPC,可得EC的平方与EF和EP的关系，再根据正方形性质得到

EA=EC,即可得到结论;

（3）利用三角函数值求出DM的长，再利用I3ABG和I3ABP相似求出AG长，证明四边形ACPD

是平行四边形可得团DPA与团GAH相等，则它们的三角函数值相等，通过回GAH的正切值即可

得到HG的长；

【详解】

（1）回四边形ABCO是正方形，AC是正方形的对角线，

0ZACB=45°,ZDBC=45°,

0NGEB=NP+ZDBC,NP=20°中,

团NGE3=20°+45°=65°，

BBG±AP，

0NGBE=90°-NGEB=90°-65°=25°；

(2)如图所示，连接EC,

回四边形ABC£＞是正方形,

回A,C关于80对称，即4CB=NACE)=45°，

(3EA-EC,

0ZE4C-ZEC4,

0^LACB=NP+^CAE=4ECF+NLECA=45°,

回N反犷=/尸，

又回ACEF=APEC,

0AC£FEIAPEC,

ECEF

0----

PEEC

0EC2-EFDEP.

团EA2=EF^EP；

（3）回正方形的边长为1,

SAB=BC=\,又回。=1,

回3P=2，

回AF=+B产=也,

&BG±AP,

0^ABG+N3AG=乙BPG+403=90°，

^ZAPB^ZABG,

/“CDABAG即*=AG

团sinNAPB=-----

AP~AB1

0AG=—，

5

连接。P，

0AE>/JCP,

回四边形ACPO为平行四边形，

0ZC4P=ZAPD,过。点作ZWLAPJM，

1_V5

0DM=ADsinADAP=AEOinAAPB=1x

DP=ylCD2+CP2=-Ji'

正

5=1

团tanNDPM=

PMH3

团tanNCA尸=—

3

HG

0--------

AG3

0//G=1AG=-X^=^,即HG的长为好.

3351515

【点睛】

本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定、三角函数值、平行四边形的性质和判定

等知识点，正确添加辅助线，确定相似三角形是解题的关键.

【好题演练】

一、单选题

1.(2020•宁夏中考真题)如图，菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E、F分别

是边CO、8C的中点，连接EE并延长与A3的延长线相交于点G,则EG=()

A.13B.10C.12D.5

【答案】B

【分析】

连接对角线BD,交AC于点0,求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD,利用勾股定理求

出0D的长，BD=20D,即可求出EG.

【详解】

连接BD,交AC于点0,

由题意知：菱形ABCD的边长为13,点E、F分别是边CD、BC的中点，

0AB=BC=CD=DA=13,EF//BD,

0AC.BD是菱形的对角线，AC=24,

0AC0BD,A0=C0=12,0B=0D,

X0AB//CD,EF//BD

0DE//BG,BD//EG

在四边形BDEG中，

0DE//BG,BD//EG

团四边形BDEG是平行四边形

0BD=EG

在I3C0D中，

0OCI3OD,CD=13,C0=12

0OD=OB=5

0BD=EG=1O

故选B.

DE

ABG

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的

性质和勾股定理是解题的关键.

2.（2020•眉山市东坡区东坡中学八年级期中）在等边三角形ABC中，BC=6cm,射线AG//BC,

点E从点A出发,沿射线AG以lcm/s的速度运动,同时点F从点B出发,沿射线BC以2cm/s

的速度运动，设运动时间为t,当1为（）s时，以A,F,C,E为顶点的四边形是平行四边

形？（）

【答案】D

【分析】

分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F

为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案.

【详解】

①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm,BF=2tcm,

则CF=BC-BF=6-2t（cm）,

0AG0BC,

回当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形,

即t=6-2t,

解得：t=2；

②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm,BF=2tcm,

则CF=BF-BC=2t-6(cm),

0AG0BC,

回当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形,

即t=2t-6,

解得：t=6；

综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形.

故选D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定.此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方

程思想的应用.

二、填空题

3.(2019•上海浦东新区•八年级期末)如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC,

对角线AC80,且AC=5&，则梯形ABC。的中位线的长为.

DC

【答案】5

【解析】

【详解】

解：过C作CEI3BD交AB的延长线于E,

0ABSCD,CE0BD,

回四边形DBEC是平行四边形，

EICE=BD,BE=CD

回等腰梯形ABCD中，AC=BD（3CE=AC

HAC0BD,CE0BD,

0CEI3AC

03ACE是等腰直角三角形，

阪=5万

E）AE=&AC=10,

0AB+CD=AB+BE=10,

田梯形的中位线=^AE=5,

2

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了梯形的中位线定理,牢记定理是解答本题的重点，难点是题目中的辅助线的做法.

三、解答题

4.（2020•浙江温州市•实验中学八年级期中）如图1,在M8CD中，BD=6,SABC=45。，0DBC

=30。，动点E在边上，CE=y/2x>动点F在射线BD上，BF=5x.

（1）若点P是BC边上一点，在点E,F运动过程中，是否存在X的值，使得以P,D,E,

F顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出X的值；若不存在，请说明理由.

（2）如图2,过点D作DG0BC交BC的延长线于点G.过点E作交DG的于点，

连接FH,把回DHF沿F”翻折得到回DHF,当D'F与（3DBG的一边平行时，HG的长.（直

接写出答案）

【答案】（1）满足条件的x的值为g或2；（2）满足条件的GH的值为W或空二^或

【分析】

（1）分两种情形：如图1-1中，当点F在线段8D上时，即04x41.2时，四边形PEOF是平

行四边形，如图1-2中，当点F在BD的延长线上时，即x>1.2时，四边形DPEF是平行四

边形，分别构建方程求解即可.

（2）分三种情形：如图2-1中，当D'FSDG时，如图2-2中，当FD'MC时，设HD'交BD

于凡如图2-3中，当FD@DG时，四边形FDHD，是菱形，分别构建方程求解即可.

【详解】

解：（1）如图1-1中，当点F在线段8。上时，即。女。2时，四边形PEDF是平行四边形,

图1・1

过点E作日既石于J.

由题意，DF=PE=6-5x,CE=6x,

团CD,

团团E0=M8C=45°,

团EJ=CJ=x,

0PE3BD,

WEPJ=^DBC=30°f

^PE=2EJ,

06-5x=2x,

6

取=—.

7

如图1-2中，当点F在8。的延长线上时，即X>1.2时，四边形DPEF是平行四边形,

图1-2

同法可得，DF=PE=2EJ,

05x-6=2x,

取=2,

综上所述，满足条件的x的值为g或2.

7

(2)如图2-1中，当D'FSDG时，过点E作E708G于T.

图2-1

0I3ECT=45°,EC=6X,0fTC=9O°,

E)ET=CT=x,

0FHI3DG,DG0BG,

00ETG=0EHG=0HGr=9O°,

13四边形E7GH是矩形,

!3"G=E7=x,

由题意，DF=D'F,D'F回DH,0BDH=6O0,

00D,HG=0FD,H=6O°,

HFD/ZD'H

回四边形DFD'H是菱形，

I3DF=DH=3-x,

06-5x=3-x,

3

取=—.

4

如图2-2中，当FD何8c时，设HD咬8D于/?.

回F。'团8C,

团团。午/?=回。8c=30°,

团团D'=[38DG=60°,

酿DRH=90°,

^DR=-DH=-(3-x).RH=6DR=®(3-x),

22'2

0RD，=D'H-RH=3-x-也-(3-x),

2

国FR=百D，R=布[3-x-乎(3-x)],

&FR+DF=DR,

0J313-x-®(3-x)]+6-5x=-(3-x),

22

3&3

0nx=---------.

2

如图2-3中,当FD,^DG时，0BDG=6O",

H3DFD'=60°,0HDF=12O",

由折叠可知，DF=D'F,0FD,H=12O°,

0DF//HD,

团四边形FEW。'是菱形，

03-x=5x-6,

3

取=—，

2

综上所述，满足条件的GM的值为g或述匚或2.

422

【点睛】

本题考查平行四边形性质、矩形的性质和判定、菱形的性质和判定、解直角三角形、翻折变

化等知识点，解题的关键是分类讨论，学会利用参数构建方程解决问题，属中考压轴题

5.(2020•哈尔滨市第十七中学校八年级月考)已知，菱形A3CD中，NB=60。，E、P

分别是边和CD上的点，且NE4P=60°.

图1

(1)求证：BC=EC+CP

(2)如图2,F在C4延长线上，且FE=FB,求证：AF=EC

.D

BE-------

图2

(3)如图3,在(2)的条件下，AE=6,BE=10,。是EB的中点，求。4的长.

AD

HV

BEC

图3

【答案】〈1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7

【分析】

（1）连接AC,如图1,根据菱形的性质得AB=BC,而配=60。，则可判定回ABC为等边三角形，

得到2BAC=60°,AC=AB,易得I3ACF=6O°,0BAE=0CAF,然后利用ASA可证明ElAEBEBAFC,即

可解答；

（2）过点F作FH0AB,交CB的延长线于点H,利用平行线的性质求得E1FHC是等边三角形，

得到CF=CH=FH,然后利用AAS定理求得回HBFS0CEF,从而问题得解；

（3）过点B作BK团FC,交HF于点K,根据两组对边分别平行求得四边形KBAF是平行四边

形，从而求得。4=，AK,FK=16,过点A作AM回FH,然后利用含30。的直角三角形的性质

2

求得MF=1AF=3,AM=J3MF=3有，从而求得KM=13,然后利用勾股定理求解即可.

【详解】

解：（1）连接AC,如图1,

13四边形ABCD为菱形，

0AB=BC,

0sB=60°,

03ABC为等边三角形，

EBBAC=60°,AC=AB,

00BAE+0EAC=6O°,

0AB0CD,

团E1BAC二团ACP=60°,

00EAP=6O°,HP0EAC+0CAP=6O°,

豳BAE=E1CAP,

/BAE=/CAP

在团AEB和aAPC中，＜AB=AC

/B=NACD

能1AEB盟APC,

@BE=CF

©BC=EC+BE=EC+CP；

图1

（2）过点F作FH回AB,交CB的延长线于点H

0FH0AB

00H=0CGH=6O°

回回FHC是等边三角形

0CF=CH=FH

又H3ABC是等边三角形

0CA=CB

I3AF=BH

乂I3FB=FE

瓯FEB=®FEB,即E1FBH=EIFEC

ZFBH=NFEC

在用HBF和®CEF中<NFHB=NFCE

FH=FC

EBHBFaaCEF

0BH=EC

0AF=EC

（3）过点B作BK0FC,交HF于点K,

[SBKfflFC,FHE1AB

回四边形KBAF是平行四边形

回KB=AF=EC=6,OA=-AK

2

I3FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16

过点A作AM0FH

由(2)可知,ECFH=60°

田在Rt0AMF中,0MAF=3O0

回MF=(AF=3,AM=6用/=36

团KM=16-3=13

在Rt0AKM中，AK=yjAM2+MK2=7(3^)2+132=14

0AO=7.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，

题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突破点.

6.(2020•江西九年级一模)如图，反比例函数y=4(x>0)过点A(3,4),直线AC与x

x

轴交于点c(6,0),过点C作X轴的垂线交反比例函数图象于点B,

(1)求反比例函数和直线AC的解析式；

(2)求EIABC的面积；

(3)在平面内有点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写

出符合条件的所有D点的坐标.

124

【答案】(1)反比例函数解析式为：y=一；直线AC的解析式为：y=--x+8：(2)3：(3)

x3

符合条件的点D的坐标是：(3,2)或(3,6)或(9,-2).

【分析】

(1)将A点的坐标代入反比例函数y=K求得k的值，然后将A,C坐标代入直线解析式解

x

答即可；

(2)把x=6代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点B的坐标，进而利用三角形

面积公式解答即可；

(3)使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如图所示，找出满足题意D的坐

标即可.

【详解】

k

解：(1)把点A(3,4)代入y=-(x>0),