2025届江西省宜春市靖安中学数学高二上期末经典试题含解析_第1页
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文档简介

2025届江西省宜春市靖安中学数学高二上期末经典试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.把点随机投入长为,宽为的矩形内,则点与矩形四边的距离均不小于的概率为()A. B.C. D.2.直线经过两点,那么其斜率为()A. B.C. D.3.已知向量,若,则()A. B.5C.4 D.4.已知直线与圆相切,则的值是()A. B.C. D.5.已知直线和互相平行,则实数()A. B.C.或 D.或6.已知圆,若存在过点的直线与圆C相交于不同两点A,B,且,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.7.已知数列为等比数列,,则的值为()A. B.C. D.28.在正项等比数列中,和为方程的两根,则等于()A.8 B.10C.16 D.329.已知函数的图象在点处的切线与直线平行,若数列的前项和为,则的值为()A. B.C. D.10.已知空间四边形,其对角线、,、分别是边、的中点,点在线段上,且使,用向量,表示向量是A. B.C. D.11.圆的圆心到直线的距离为2,则()A. B.C. D.212.函数的定义域为开区间,导函数在内的图像如图所示,则函数在开区间内的极大值点有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的前项和为,则__________.14.已知椭圆C:的左右焦点分别为,,O为坐标原点,以下说法正确的是______①过点的直线与椭圆C交于A,B两点,则的周长为8②椭圆C上存在点P,使得③椭圆C的离心率为④P为椭圆上一点,Q为圆上一点,则线段PQ的最大长度为315.设为第二象限角,若,则__________16.若,则___三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列是正项数列,,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,若对恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知数列满足,,.(1)证明:数列是等比数列,并求其通项公式;(2)若,求数列的前项和.19.(12分)已知命题p:,命题q:.(1)若命题p为真命题,求实数x的取值范围.(2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;20.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程,曲线C的直角坐标方程;(2)设直线与曲线C相交于A,B两点,点,求的值.21.(12分)已知椭圆的标准方程为:,若右焦点为且离心率为(1)求椭圆的方程;(2)设,是上的两点,直线与曲线相切且,,三点共线,求线段的长22.(10分)已知,是函数的两个极值点.(1)求的解析式;(2)记,,若函数有三个零点,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】确定矩形四边的距离均不小于的点构成的区域,由几何概型面积型的公式计算可得结果.【详解】若点与矩形四边的距离均不小于,则其落在如图所示的阴影区域内,所求概率.故选:A.2、B【解析】由两点的斜率公式可得答案.【详解】直线经过两点,则故选:B3、B【解析】根据向量垂直列方程,化简求得.【详解】由于,所以.故选:B4、D【解析】直线与圆相切,直接通过求解即可.【详解】因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,所以,.故选:D5、C【解析】根据题意,结合两直线的平行,得到且,即可求解.【详解】由题意,直线和互相平行,可得且,即且,解得或.故选:C.6、D【解析】根据圆的割线定理,结合圆的性质进行求解即可.【详解】圆的圆心坐标为:,半径,由圆的割线定理可知:,显然有,或,因为,所以,于是有,因为,所以,而,或,所以,故选:D7、B【解析】根据等比数列的性质计算.【详解】由等比数列的性质可知,且等比数列奇数项的符号相同,所以,即.故选:B8、C【解析】根据和为方程两根,得到,然后再利用等比数列的性质求解.【详解】因为和为方程的两根,所以,又因为数列是等比数列,所以,故选:C9、A【解析】函数的图象在点处的切线与直线平行,利用导函数的几何含义可以求出,转化求解数列的通项公式,进而由数列的通项公式,利用裂项相消法求和即可【详解】解:∵函数的图象在点处的切线与直线平行,由求导得:,由导函数得几何含义得:,可得,∴,所以,∴数列的通项为,所以数列的前项的和即为,则利用裂项相消法可以得到:所以数列的前2021项的和为:.故选:A.10、C【解析】根据所给的图形和一组基底,从起点出发,把不是基底中的向量,用是基底的向量来表示,就可以得到结论【详解】解:故选:【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义,解题时注意方法,即从要表示的向量的起点出发,沿着空间图形的棱走到终点,若出现不是基底中的向量的情况,再重复这个过程,属于基础题11、B【解析】配方求出圆心坐标,再由点到直线距离公式计算【详解】圆的标准方程是,圆心为,∴,解得故选:B.【点睛】本题考查圆的标准方程,考查点到直线距离公式,属于基础题12、B【解析】利用极值点的定义求解.【详解】由导函数的图象知:函数在内,与x轴有四个交点:第一个点处导数左正右负,第二个点处导数左负右正,第三个点处导数左正右正,第四个点处导数左正右负,所以函数在开区间内的极大值点有2个,故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据题意求得,得到,利用等差数列的求和公式,求得,结合裂项法求和法,即可求解.【详解】由,可得,即,因为,所以,又因为,所以,可得,所以,所以.故答案为:.14、①②④【解析】根据椭圆的几何性质结合的周长计算可判断①;根据,可通过以为直径作圆,是否与椭圆相交判断②;求出椭圆的离心率可判断③;计算椭圆上的点到圆心的距离的最大值,即可判断④.【详解】对于①,由题意知:的周长等于,故①正确;对于②,,故以为直径作圆,与椭圆相交,交点即设为P,故椭圆C上存在点P,使得,故②正确;对于③,,故③错误;对于④,设P为椭圆上一点,坐标为,则,故,因为,所以的最大值为2,故线段PQ的最大长度为2+1=3,故④正确,故答案为:①②④.15、【解析】先求出,再利用二倍角公式求的值.【详解】因为为第二象限角,若,所以.所以.故答案为【点睛】本题主要考查同角三角函数的平方关系,考查二倍角的正弦公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.16、##0.5【解析】导数的定义公式的变形应用,要求分子分母的变化量相同.【详解】故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)由条件因式分解可得,从而得到,即可得出答案.(2)由(1)可得,由错位相减法求和得到,由题意即即对恒成立,分析数列的单调性,得出答案.【小问1详解】由,得∵∴∴∴数列是公比为2的等比数列.∵,∴.【小问2详解】由(1)知,∴∴①∴②①-②得∴∴由对恒成立得对恒成立即对恒成立,又是递减数列∴时得到最大值∴,即∴的取值范围是.18、(1)证明见解析,;(2).【解析】(1)由已知条件,可得为常数,从而得证数列是等比数列,进而可得数列的通项公式;(2)由(1)可得,又,所以,所以,利用错位相减法即可求解数列的前项和.【小问1详解】证明:由题意,因为,,,所以,,所以数列是以2为首项,3为公比的等比数列,所以;【小问2详解】解:由(1)可得,又,所以,所以,所以,所以,,所以,所以.19、(1);(2).【解析】(1)由一元二次不等式的解法求得的范围;(2)由p是q的充分条件,转化为集合的包含关系,从而可求实数m的取值范围.【详解】(1)由p:为真,解得.(2)q:,若p是q的充分条件,则是的子集所以.即.20、(1)直线的普通方程为;曲线C的直角坐标方程为(2)【解析】(1)根据转换关系将参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程即可;(2)将直线的参数方程化为标准形式,代入曲线C的直角坐标方程,设点A,B对应的参数分别为,利用韦达定理即可得出答案.【小问1详解】解:将直线的参数方程中的参数消去得,则直线的普通方程为,由曲线C的极坐标方程为,得,即,由得曲线C的直角坐标方程为;【小问2详解】解:点满足,故点在直线上,将直线的参数方程化为标准形式(为参数),代入曲线C的直角坐标方程为,得,设点A,B对应的参数分别为,则,所以.21、(1);(2).【解析】(1)根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数,写出椭圆方程即可.(2)由(1)知曲线为,讨论直线的存在性,设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.【详解】(1)由题意,椭圆半焦距且,则,又,∴椭圆方程为;(2)由(1)得,曲线为当直线的斜率不存在时,直线,不合题意:当直线的斜率存在时,设,又,,三点共线,可设直线,即,由直线与曲线相切可得,解得,联立,得,则,,∴.22、(1);(2)【解析】(1)根据极值点的定义,可知方程的两个解即为,,代入即得结果;(2)

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