2025届湖北省华中师大一附中高二上数学期末联考模拟试题含解析

2025届湖北省华中师大一附中高二上数学期末联考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.2．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（）A.1 B.2C. D.43．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（）A. B.C. D.4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（）A. B.C. D.5．中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（）A.180 B.179C.178 D.1776．在中，已知角A，B，C所对边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.17．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（）A. B.C. D.8．已知双曲线的离心率为5，则其标准方程为()A. B.C. D.9．已知数列满足，令是数列的前n项积，，现给出下列四个结论：①；②为单调递增的等比数列；③当时，取得最大值；④当时，取得最大值其中所有正确结论的编号为（）A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④10．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（）A. B.C.2 D.11．已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（）A.2 B.C.3 D.12．若直线与曲线只有一个公共点，则m的取值范围是（）A. B.C.或 D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆，则圆心坐标为______.14．若动直线分别与函数和的图像交于A，B两点，则的最小值为______15．方程表示双曲线，则实数k的取值范围是___________.16．，若2是与的等比中项，则的最小值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，.点满足.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程.18．（12分）已知双曲线C：(a>0，b>0）的离心率为，且双曲线的实轴长为2（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x－y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB中点在圆x2＋y2=17上，求m的值19．（12分）已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.（1）求抛物线C的方程；（2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.20．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线过点与曲线相交于两点，问：在轴上是否存在定点，使？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由.21．（12分）如图所示，平面ABCD，四边形AEFB为矩形，，，（1）求证：平面ADE；（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值22．（10分）已知双曲线C：的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为（1）求双曲线C的方程；（2）直线（）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.【详解】由，，视为原点到直线上点的距离的平方，根据点到直线垂线段最短，可得，所有的取值范围为，故选：C.2、B【解析】根据抛物线定义，转化，要使有最小值，只需最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程，求出斜率，然后求出点坐标，即可求解.【详解】由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：，整理得：则，解得即，解得，代入得或，再利用焦半径公式得故选：B.关键点睛：本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，解题的关键是要将取最小值转化为直线斜率最大，再转化为抛物线的切线，考查学生的转化思想与运算求解能力，属于中档题.3、C【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，，解得，，所以数列为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.4、A【解析】可由三视图还原原几何体，然后根据题意的边角关系，完成体积的求解.【详解】由三视图还原原几何体如图：其中平面，，则该四面体的体积为.故选：A.5、D【解析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为、、，然后把它们相加即可.【详解】（个）.所以古人一年收入的钱数用十进制表示为个.故选：D.6、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.7、D【解析】取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.【详解】由题意知，，取AC的中点O，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以在上的投影的长度为，故点C到直线距离为：.故选：D8、D【解析】双曲线离心率公式和a、b、c的关系即可求得m，从而得到双曲线的标准方程.【详解】∵双曲线，∴，又，∴，∵离心率为，∴，解得，∴双曲线方程.故选：D.9、B【解析】求出，即可判断选项①正确；求出，即可选项②错误；求出，利用单调性即可判断选项③正确；求出，即可判断选项④错误，即得解.【详解】解：因为，①所以，，②①②得，，整理得，又，满足上式，所以，因为，所以数列为等差数列，公差为，所以，故①正确；，因为，故数列为等比数列，其中首项，公比为的等比数列，因为，，所以数列为递减的等比数列，故②错误；，因为为单调递增函数，所以当最大时，有最大值，因为，所以时，最大，即时，取得最大值，故③正确；设，由可得，，解得或，又因为，所以时，取得最大值，故④错误；故选：B10、A【解析】由条件建立a，b，c的关系，由此可求离心率的值.【详解】设，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴离心率，故选：A.11、C【解析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为，所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，故选：C.12、D【解析】根据曲线方程的特征，发现曲线表示在轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知直线位于直线位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去得到关于的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0即可求出此时对应的的值；当已知直线位于直线及直线的位置时，分别求出对应的的值，写出满足题意得的范围，综上，得到所有满足题意得的取值范围【详解】根据曲线，得到，解得：；，画出曲线的图象，为椭圆在轴上边的一部分，如图所示：当直线在直线的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，把直线代入椭圆方程得：，得到，即，化简得：，解得或(舍去)，则时，直线与曲线只有一个公共点；当直线在直线位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时，当直线在直线位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时，则当时，直线与曲线只有一个公共点，综上，满足题意得的范围是或故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将圆的一般方程配方程标准方程即可.【详解】圆，即，它的圆心坐标是.故答案为：.14、【解析】利用导数求出与平行的曲线的切线，再利用两点间距离公式进行求解即可.【详解】设曲线的切点为，由，所以曲线的切线的斜率为，直线的斜率为，当切线与平行时，即，即切点为，当直线过切点时，有最小值，即，此时，解方程组：，，故答案为：【点睛】关键点睛：利用曲线的切线性质进行求解是解题的关键.15、【解析】由题可得，即求.【详解】∵方程表示双曲线，∴，∴.故答案为：.16、3【解析】根据等比中项列方程，结合基本不等式求得的最小值.【详解】由题可得，则，当且仅当时等号成立.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）由及两点间距离公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要两个根的的要舍去;（2）联立直线和椭圆的方程，利用弦长公式求得，再利用几何关系求得，代入，可解得c，从而得到椭圆的方程.【详解】（1）设，，因为，所以，整理得，得（舍），或，所以；（2）由（1）知，，可得椭圆方程为，直线的方程为，A，B两点的坐标满足方程组为，消去y并整理，得，解得：，，得方程组的解和,不妨设：，，所以，于是，圆心到直线的距离为，因为，所以，整理得：，得（舍），或，所以椭圆方程为：.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率解题关键是找到关于a，b，c的等量关系，第二问的关键是联立直线与椭圆方程求出交点坐标，利用距离公式建立等量关系，求出c是求出椭圆方程的关键.18、（1）；（2）【解析】（1）由实轴长求得，再由离心率得，从而求得得双曲线方程；（2）直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理求得中点坐标，代入圆方程可求得值【小问1详解】由已知，，又，所以，，所以双曲线方程为；【小问2详解】由，得，恒成立，设，，中点为，所以，，，又在圆x2＋y2=17上，所以，19、（1）（2）【解析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程【小问1详解】由题设，抛物线准线方程为，∴抛物线定义知：可得，故【小问2详解】由题设，直线l的斜率存在且不为0，设联立方程，得，整理得，则.又P是线段AB的中点，∴，即故l20、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出；（2）假设存在点，满足题设条件，设直线的方程，根据韦达定理即可求出点的坐标【小问1详解】设动圆的圆心，依题意：化简得：，即为动圆的圆心的轨迹的方程【小问2详解】假设存在点，满足条件，使①，显然直线斜率不为0，所以由直线过点，可设，由得设，，，，则，由①式得，，即消去，，得，即，，，存在点使得21、（1）见解析（2）【解析】（1）根据，，从而证明平面平面ADE，从而平面ADE。（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的空间坐标，根据向量法求解即可。【详解】（1）∵四边形ABEF为矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，,,设是平面CDF的一个法向量，则即令，解得又是平面AEFB的一个法向量，∴平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为.【点睛】此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题目。22、（1）（2）或【解析】（1）利用双曲线离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组，进而求出双曲线的标准方程；（2）联立直线和双曲线的方程，得到关于的一元二