北京首都师范大学第二附属中学2025届高一上数学期末学业质量监测试题含解析

北京首都师范大学第二附属中学2025届高一上数学期末学业质量监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设向量,,,则A. B.C. D.2．已知命题：，总有，则命题的否定为（）A.，使得 B.，使得C.，总有 D.，总有3．若集合，，则（）A. B. C. D.4．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，，已知函数，则满足的实数的取值范围是A. B.C. D.5．已知，则的最小值是（）A.2 B.C.4 D.6．已知是以为圆心的圆上的动点，且，则A. B.C. D.7．已知函数的图像如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（）A. B.C. D.8．设，，，则的大小关系为A. B.C. D.9．已知，则的值为（）A.-4 B.C. D.410．若是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∈[0，＋∞)且（），则()A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知角的终边过点，则__________12．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________13．已知，，则_________.14．若命题，，则的否定为___________.15．已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的直径为________16．已知，且，写出一个满足条件的的值___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数fx=logax（a>0且（1）求a的值；（2）求满足0<ffx<118．求满足以下条件的m值．(1)已知直线2mx＋y+6＝0与直线(m－3)x-y+7=0平行；(2)已知直线mx＋(1－m)y＝3与直线(m－1)x＋(2m＋3)y＝2互相垂直.19．已知函数（1）求最小正周期；（2）求的单调递减区间；（3）当时，求的最小值及取得最小值时的值20．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：）21．计算：（1）；（2）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】，由此可推出【详解】解：∵，，，∴，，，，故选：A【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查平面向量的模，属于基础题2、B【解析】根据全称命题的否定性质进行判断即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，使得，故选：B3、C【解析】根据交集直接计算即可.【详解】因为，，所以，故选：C4、C【解析】当时，；当时，；所以，易知，在单调递增，在单调递增，且时，，时，，则在上单调递增，所以得：，解得，故选C点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到，通过单调性分析，得到在上单调递增，解不等式，要符合定义域和单调性的双重要求，则，解得答案5、C【解析】根据对数运算和指数运算可得,,再由以及基本不等式可得.【详解】因为,所以,所以,所以,所以,当且仅当即时,等号成立.故选:C.【点睛】本题考查了指数和对数运算,基本不等式求最值,属于中档题.6、A【解析】根据向量投影的几何意义得到结果即可.【详解】由A，B是以O为圆心的圆上的动点，且，根据向量的点积运算得到＝||•||•cos，由向量的投影以及圆中垂径定理得到：||•cos即OB在AB方向上的投影，等于AB的一半，故得到＝||•||•cos.故选A【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用，以及向量投影的应用．平面向量数量积公式的应用主要有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.7、B【解析】由函数的图象可得，函数的图象过点，分别代入函数式，，解得，函数与都是增函数，只有选项符合题意，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8、B【解析】利用指数函数与对数函数的单调性判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】，，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.9、A【解析】由题，解得.故选A.10、B【解析】，有当时函数为减函数是定义在上的偶函数即故选二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】∵角的终边过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，∴cos=故答案为12、【解析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，又，为上的偶函数；当时，单调递增，设，，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；由可知，解得.故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.13、【解析】利用两角差的正切公式可计算出的值.【详解】由两角差的正切公式得.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14、，【解析】利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题为特称命题，该命题的否定为“，”.故答案为：，.15、【解析】根据题设条件可以判断球心的位置，进而求解【详解】因为三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面，其中点是球心，即侧面，经过球球心，球的直径是侧面的对角线的长，因为，，，所以球的半径为：故答案为：16、π（答案不唯一）【解析】利用，可得，又，确定可得结果.【详解】因为，所以，，则，或，，又，故满足要求故答案为：π（答案不唯一）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）2,4.【解析】（1）由函数fx的单调性和最值可求得实数a（2）由已知条件可得1<fx=log2【小问1详解】解：因为fx=log因为fx在12,4所以f12小问2详解】解；由0<ffx=log2所以x的取值范围是2,418、（1）（2）或【解析】（1）平行即两直线的斜率相等,建立等式,即可得出答案.(2)直线垂直即两直线斜率之积为-1,建立等式,即可得出答案.【详解】解：（1）当m=0或m=3时，两直线不平行当m0且m3时，若两直线平行，则（2）当m=0或m=时，两直线不垂直当m=1时，两直线互相垂直当m0，1，时，若两直线垂直，则或也可用m(m－1)＋(1－m)(2m＋3)＝0，即m2＋2m－3＝0，解得m＝1，或m＝－3.【点睛】本道题目考查了直线平行或垂直的判定条件,注意,当x,y的系数含有参数的时候，要考虑系数是否为0.19、（1）（2）（3）最小值为，【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2）解不等式可得出函数的单调递减区间；（3）由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.【小问1详解】解：由，则的最小正周期为【小问2详解】解：由，，则，，则，，所以的单调递减区间为【小问3详解】解：当时，，当时，即当时，函数取最小值，且.20、（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以驾车.【解析】（1）由图可知，当函数取得最大值时，，此时，当，即时，函数取得最大值为.故