与圆有关的位置关系【考点精讲】-【中考高分导航】2022年中考数学考点总复习（解析版）

考点34与圆有关的位置关系

c知识导航

与圆有关的位置关系

考点］:点.直线和画的位置关系考点2:切线的性质与判定考点3:三角形的内心和外心

I可知识精讲

考点I:点、直线和圆的位置关系

1.如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么：

（1）点在圆外〜>厂；（2）点在圆上c/=r；（3）点在圆内T<r。

2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交

位置关系相离相切相交

图形©

公共点个数012

数量关系d>rd=rd<r

【例1】（2021.浙江嘉兴市）已知平面内有。。和点A,B,若O。半径为2cm,线段

Q4=：3cm,OB=2cm,则直线AB与0。的位置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.相交或相切

【答案】D

【分析】

根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【详解】

解：QO的半径为2cm,线段OA=3cm,线段OB-2cm,

即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心。的距离等于圆的半径，

...点4在。。外.点8在。。上，

直线48与。。的位置关系为相交或相切，

故选：D.

【例2】（2021•上海）如图，已知长方形ABC。中，AB=4,AO=3,圆B的半径为1,

圆A与圆8内切，则点C,。与圆A的位置关系是（）

A.点C在圆4外，点。在圆A内B.点C在圆A外，点。在圆A外

C.点C在圆A上，点。在圆A内D.点C在圆A内，点。在圆A外

【答案】C

【分析】

根据内切得出圆A的半径，再判断点。、点E到圆心的距离即可

【详解】

•..圆A与圆8内切，AB=4,圆8的半径为1

...圆A的半径为5

AD=3<5

...点。在圆A内

在心△ABC中，AC=y]AB2+BC2=A/42+32=5

...点C在圆A上

故选：C

,方法技巧

厚握己知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离

与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系.

孽针对训练

1.矩形ABC。中，48=10,BC=4近，点P在边AB上，且BP：AP=4：1,如果。P是

以点P为圆心，长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）

A.点B、C均在（DP外B.点B在。P外，点C在。P内

C.点8在。P内，点C在。户外D.点B、C均在。P内

【分析】先求出AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径的长，根据点8、C到

P点的距离判断点P与圆的位置关系即可.

【解答】解：如图，

•••四边形A8CO为矩形，

：.AD=BC=4y/2,

7/15=10,BP：AP=4：I,

：.AP=2,BP=8,

在RSADP中，\'AP=2,AC=4四,

:.DP=y/AD2+AP2=V4+32=6,

在RtAPBC中，CP=7BP2+BC2=764+32=476,

V8>6,4A/6>6,

.•.点B,点C均在。P外，

故选：A.

2.如图，已知NBOA=30。，M为。8边上一点，以M为圆心、2a〃为半径作。M.点M

在射线08上运动，当OM=5cs时，与直线。4的位置关系是（）

【分析】作MHYOA于H,如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=1OM=

I，则MH大于。M的半径，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解.

【解答】解：作TH,如图，

在RtAOMH中，ZHOM=30°,

：.MH=-OM=

22

的半径为2,

：.MH>2,

...0M与直线OA的位置关系是相离.

故选：B.

3.（2021•青海中考真题）点P是非圆上一点，若点P到。。上的点的最小距离是4C7〃，

最大距离是9cm,则。。的半径是.

【答案】6.50〃或2.5C、7〃

【分析】

分点P在。。外和内两种情况分析；设。。的半径为XC加，根据圆的性质列一元一次

方程并求解，即可得到答案.

【详解】

设。。的半径为我机

当点P在。。外时，根据题意得：4+2x=9

x—2.5cm

当点P在OO内时，根据题意得：2x=9+4

x-6.5cm

故答案为：6.5c/%或2.5。〃.

考点2：切线的性质与判定

1.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

2.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

3.*切线长定理

（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.

（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两

条切线的夹角.

【例3】（2021•山东临沂市）如图，PA>也分别与0。相切于A、B,ZP=70°,C为

。。上一点，则NAC8的度数为（）

C.125°D.130°

【答案】c

【分析】

由切线的性质得出N04P=N08P=90。，利用四边形内角和可求NAO8=110。，再利用圆周角

定理可求/AO8=55。，再根据圆内接四边形对角互补可求/AC8.

【详解】

解：如图所示，连接。4,OB,在优弧A8上取点。，连接AQ,BD,

：AP、8P是切线，

，/OAP=NOBP=90°,

ZAOB=360o-900-90o-70°=l10°,

,ZADB=55°,

又•..圆内接四边形的对角互补,

，NAC8=180°-ZADB=180°-55°=125°.

故选：C.

【例4】（2021•贵州贵阳市）如图，。。与正五边形A3SE的两边相切于4c两

点，则NAOC的度数是（）

c

A.144°B.130°C.1290D.108°

【答案】A

【分析】

根据切线的性质，可得/OAE=90。，ZOCD=90°,结合正五边形的每个内角的度数为108。,

即可求解.

【详解】

解：VA£,CQ切。。于点A、C,

：.ZOAE=90°,ZOCD=90°,

2X180

.•.正五边形A8CQE的每个内角的度数为：（1~）.=108O,

5

/AOC=540°-90°-90°-108°-108°=144。，

故选：A.

/方法技巧

与切线伺天网邀吊件的辅助线和解题思路

（1）连接圆心和直线与圆的公共点一一证明该半径与已知直线垂直，则该直线为切线.

（2）过圆心作这条直线的垂线段一一证明这条垂线段和半径相等，则该直线为切线.

（3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90°角，由此可展开其他问题的计

Y针对训练

1.（2021•吉林长春市）如图，AB是0。的直径，BC是0。的切线，若NBAC=35°，则

NACB的大小为（）

【答案】C

【分析】

根据切线的性质，得/A3C=90。，再根据直角三角形的性质，即可求解.

【详解】

解：是。。的直径，3C是。。的切线，

：.AB±BC,即N4BC=90°,

,/ABAC=35°,

：.NACB=90°-35°=55°,

故选C.

2.（2021・湖南）如图，AABC是。。的内接三角形，AC是。。的直径，点。是BC的

中点，O七〃3c交AC的延长线于点E.

(1)求证：直线。E与。。相切；

(2)若0。的直径是10,NA=45°,求CE的长.

【答案】(1)见解析；(2)CE=50-5.

【分析】

(1)连接O。，由点〃是8C的中点得。CBC,由。E//8C得。O_LOE,由。。是半径可

得DE是切线；

(2)证明△ODE是等腰直角三角形，可求出。E的长，从而可求得结论.

【详解】

解：(1)连接。。交8c于点凡如图，

.••点。是8C的中点，

：.OD±BC,

"CDEHBC

：.OD.LDE

；0。是。。的半径

，直线。E与O。相切：

(2)：AC是。。的直径，且45=10,

Z/lBC=90o,OC=OA=-AB=5

2

■:OD1.BC

：.ZOFC=90°

：.OD//AB

•.•NB4C=45°

ZDOE=45。

•••NODE=90。

，NOED=45

，DE=0D=0C=5

由勾股定理得，OE=5\[2

•••CE=OE-OC=5^-5.

3.(2021.甘肃武威市)如图，内接于是O。的直径AB的延长线上一点,

/DCB=ZOAC.过圆心0作BC的平行线交DC的延长线于点E.

A

(1)求证：CO是。。的切线；

(2)若C£>=4,CE=6,求的半径及tanNOCB的值；

【答案】(1)见解析；(2)半径为3,tan/OC3=2

【分析】

(1)证明OC是。。的半径，即证明ZOCD=90°，结合直径所对圆周角是90°、等腰△OAC

和已知NQ4C=ZOCA即可求解；

EC

(2)由(1)中结论和3C〃0E可知，tanZOCB=tanZEOC=——，再由C。、CE和

OC

平行线分线段成比例，即可找至IJ8。、OB、BC、OE的关系，最后利用三边的勾

股定理即可求解.

【详解】

(1)证明：如图，OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

•;4DCB=N0AC,

/OCA=/DCB,

QAB是。。的直径，

:.ZACB=90°，

...NOC4+NOC3=90°，

ZDCB+ZOCB=90°，即NOCD=90°,

:.OC1DC,

乂是。。的半径，

.•.CD是0。的切线.

(2)-.BC//OE,

BDCDBD42

----»即nri=———,

OBCEOB63

设BD=2x,则OB—OC=3x,OD-OB+BD=5x,

\OC±DC,

OC2+CD2^OD2

.•.(3x)2+42=(5x>,解得，％=1,

:.OC=3x=3.即O。的半径为3,

•：BC//OE,

:.ZOCB=ZEOC,

EC6

在.RtAOCE111>tanNEOC=----=—=2,

OC3

/.tanZ.OCB=tanZEOC=2.

考点3：三角形的内心和外心

（1）三角形的内心到三角形三边的距离都相等；

（2）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离都相等.

【例5】（2021•浙江中考真题）如图，已知点。是AABC的外心，ZA=40°,连结30,

CO,则N30C的度数是（）.

o

BK---------------------

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作。。；再根据圆周角和圆心角的性质分

析，即可得到答案.

【详解】

△A3C的外接圆如卜图

；NA=40。

/.NBOC=2ZA=80。

故选：C.

【例6】如图，在AABC中，N8OC=140。，/是内心，。是外心，则/8/C等于（）

【分析】根据圆周角定理求出/8OC=2N4,求出NA度数，根据三角形内角和定理求

HlZABC+ZACB,根据三角形的内心得出N/2C=（N4BC,ZICB=^ACB,求出

N/8C+N/C8的度数，再求出答案即可.

【解答】解：：在△48C中，ZBOC=140°,。是外心，

：.ZBOC=2ZA,

—70°,

：.ZABC+ZACB^\S00-ZA=110°,

:/为△A8C的内心,

，

N1BC=2ZABC,2NICB=-zACB,

：.ZIBC+ZICB=%X110。=55°,

2

AZB/C=180°-（Z/BC+Z/CB）=125°,

故选：B.

y针对训练

1.（2021•山东滨州）如图，。。是的外接圆，C。是。。的直径.若CD=10,弦AC=6,

则cos/ABC的值为（）

【答案】A

【分析】

连接A。，根据直径所对的圆周角等于90。和勾股定理，可以求得AO的长，然后即可求得

NAOC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到N48C=NADC,从而可以得到

cosZABC的值.

【详解】

解：连接AO,如右图所示，

•••C。是。。的直径，C£>=10,弦AC=6,

ZDAC=90°,

；・AD=yJcD2-AC2=8,

*/ZABC=ZADCf

4

."3乙48（7的值为不，

故选:A.

2.如图，四边形A8C。内接于。。，点/是△A8C的内心，ZA/C=124°,点E在AO的延

长线上，则/CDE的度数为（）