不等式单元复习（解析版）-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题21不等式单元复习

一、不等式的性质

1.不等式的性质

(1)对称性：a>bo；

(2)传递性：a>h,fc>c=；

(3)加法性质：a>bo；推论：a>b,c>d=；

(4)乘法性质：a>b,c>0=；推论：a>b>0,c>d>0=>；

(5)乘方性质：a>b>0=>；

(6)开方性质：a>b>Q=>；

(7)倒数性质：a>b,ab>0=>.

【答案】(\)b<a(2)a>c(3)a~\-c>b+ca+c>b+d(4)ac>bcac>bd

(5)且〃22)(6)名>前(〃CN且心2)(7)曷

2.两个实数大小的比较

⑴作差法：设a,6GR，贝I一%>0,”6。4一6<0,这是比较两个实数大小和运用比较法的依据.

(2)作商法：依据：设o>0,b>0,则丛琮>1,a<b=*<l.

(3)函数法：构造函数，根据函数的单调性作出判断.

(4)特殊值法：若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法探路.

3.不等式的一些常用性质

(1)倒数的性质

®a>b,加>0='<4.②4<0<力='<4.

a-ba-b

®«>/?>0,0<c<J=>^>^.@0<a<x<b或

(2)有关分数的性质

b+mbb-ma+maa-m

右a>b>0,m>0,贝U①一~》(人一7T-；7^(b-m>0).

aa-rmaa-mbb+m。b­m

二、不等式的证明

(一)利用比较法证明不等式

1.定义：对于任意两个实数。/，a>b^>a-b>0',a=b^>a-b=0;a<b=>

a-b<0„因此要证明a<b,只要证明a—b>0；同样，要证明a<b,只要证明

a-b<Q,这种证明不等式的方法叫做比较法。

2.比较法证明不等式又分为以下两种方法：

（1）做差比较

（2）作商比较

3.用比较法证明不等式的步骤：

先对要证明的不等式的两边做差（或商），然后通过因式分解或配方法对差（或商）进行变形，从而确

定差是正还是负，从而证明不等式成立。

（-）用分析法证明不等式

从要求证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些

条件是否成立的问题。如果能够判定这些条件都成立，那么就可以判定原结论成立，这种证明方法叫分析

法，一般来说，分析法的证明过程就是寻找欲证不等式成立的充分条件的过程，所以要特别注意表述的逻

辑性。

（三）用综合法证明不等式

把某些证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种方法通常叫做

综合法。

用综合法证明不等式，就是用因果关系书写“从已知出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步

的逻辑推理，最后达到待证不等式得证”的全过程，其特点可描述为'‘由因导果"，即从''已知"看''可知”，

逐步推向“未知”。综合法属于逻辑方法的范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据。

（四）用反证法、放缩法、变量代换法、构造法证明不等式（拓展内容）

1.放缩法

若证是uA>Bn,我们先证明“A2C”，然后在证明“C23”，则“若25”。

2.反证法

反证法是通过否定结论导致矛盾，从而肯定原结论的一种方法。

3.变量代换法

变量代换是数学中的一种常用的解题方法，对于一些结构比较复杂，变化较多而关系不太清楚的不等

式，可适当的引进一些新的的变量进行代换，以简化其结构，其代换技巧有局部代换、整体代换、三角代

换、增量代换等。

4.构造法

不等式证明中的构造方法，主要是指通过引进合适的恒等式、数列、函数、图形及变量等辅助手段，

促使命题转化，从而使不等式得证，此法技巧要求较高，高考题中很少见。

三、不等式的解法

I.一元二次不等式的解法

(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于o,另一端为0,即化为或,后+法

+c'<0(a>0)的形式；

(2)计算相应的判别式；

(3)当J>0时，求出相应的一元二次方程的根；

(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集.

2.分式不等式的解法

解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过

等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解.即：

(1)^^->0(<0)fx>g(x)>0(<0);

于(工)J/(x)-g(x)>0(<0),

⑵->0(<0)%(%)次0.

g(X)

四、基本不等式

(1)利用平均值定理求某些函数或对象的最大或最小值问题.

①强化变换的目的性

②突出步骤的合理性的认识

(2)突出函数，方程与不等式之间的关系，并利用三者的联系解决某些变量取值范围的问题.

①变量与常量的处理问题即恒成立问题

②突出函数思想的理解与应用，以不等式为工具，充分展示对函数的理解,对函数相关知识的综合应用

典例剧新

a>b=>ac>bc\力

【例1】下面的推理过程=四>"=吟a>2其中错误之处的个数是()

c>d=>bc>bd\dc

A.0B.1C.2D.3

【难度】★★

【答案】D

【解析】由泌c,加都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不

改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出改乂M是正确的，由">相若?是对不等

式两边同除W,由于不知W的正、负，故这一步也是错误的.

[例2]若a>O>b>-a,c<d<0,则下列结论：①ad>bc；②^+g<0；③a—c>b—d；@a(d-c)>b(d—c)41f&

立的个数是()

A.1B.2

C.3D.4

【难度】★★

【答案】C

【解析】方法一•：a>O>b,c<d(O,；.ad<0,bc>0,:・ad〈bc,故①错误.

*/a>O>b>—a,b>Of'**c<d〈O,-c>—d>0,，。c)>(—/?)(—t/),Aac+bd<0,

.a.hac+bd八

・・分+%=—万一<。，故②正确.

Vc<d,/.—c>—d,Va>b,，〃+(—c)>》+(—J),a—c>h—d,故③正确.

Va>h,d—c>Qy/.a(d—c)>h(d—c),故④正确，故选C.

方法二取特殊值.

【例3】已知一14+尸4且2<x—y<3,则z=2九一3y的取值范围是(答案用区间表示).

【难度】★★

【答案】(3,8)

fm+n=2,f,77-2'

【解析】方法一(配凑法)：设2x—3y=m(x+y)+〃a—y),工，解得，

[tn—n=—3.5

ln-2,

/•2x~3y=—^(x+y)+1(x-y)»*.*—1<x+y<4,2<x—y<3,[.*.—2v—ga+yg,5<|(x-y)<V,

A3<-1(x+y)+|(A—>-)<8，即3仑一3产8,所以2=2¥—3)，的取值范围为(3,8).

方法：(运用线性规划解决)：如图，图中的交点分别为A(3,1),8(1,-2).

当目标函数z=2x—3y经过点A时，z=3,经过点8时，z=8,故z£(3,8).

【例4】若0<々<。，且〃+2=1,则将mb,g,2ab,/+〃从小到大排列为.

【难度】★

【答案】a<2ab<^<a1+b2Vb

【解析】：0V4Vb且。+6=1,：.a<^<b<\,：.2b>]>2a<\f

/.a<2ba=2a(\~a)=—2a2+2a=~2(a—^)2a<2ab<^,

222222222

又a+b=(a+b)—2ab=1—2〃。>1—；=(，即a+b>^,a+h—h=(\-h)+b—h=(2h—\)(h—\)f

又2/?—l>0,l<0,/.6Z2+/?2—Z?<0,.,・。2+/>2<力，综上，a<2ab<^2<a2+b2<b.

【例5】已知且。£R,试比较一一与1+。的大小.

1—a

【难度】★★

1〃2〃21

【解析】・・・丁」一(1+〃)=4一，①当〃=0时，—=0,・・・丁」=1+”

1—a\~al—a1~a

〃21〃21

②当a<\,且4ro时，；--->0,--->1+〃.③当a>\时，----<0,---<\+a.

1—a1—a1—a1—a

【例6】设x,y为实数，满足3・孙^8,4・斗・9,则M的最大值是________.

y7

【难度】★★

【答案】27

状ill

【解析】由4气学，得16宇^8」.又3sxy"8,与，

，20产27.又工=3,y=l满足条件，这时不=27.，千的最大值是27.

【例7】求证：X（X4-2）<（X+1）2.

【难度】★★

【解析】证明：（1）因为工（工+2）—（工+1）2=丁+2%一九2-2元一1=一1<0,

所以，x(x+2)<(x+l)~.

（a~2、］(b2¥L1

【例8】已知a>0/>0,求证:+—>a2+h2。

yhJ

【难度】★★

11

(a2]Ao\_।\_2

【答案】（分析法）要证明+一>+b2,由于a>0,/?>0所以。>0

a)

只需要证明4+-Ta2b2>a2+/?2jt72/72

6a2>

33/|

即证/+官2/+。2/庐

\7

即证1+户4一/庐+。>^M

I八7\/

11（12V

即证4一〃3。"+〃2。585,即证>0

\7

!1\2

〃2+〃之0显然成立，所以原不等式成立。

7

【例9】已知。>0力>0,求证：匕乏2］竺2

212

【难度】★★

【答案】由（。一。）？之。,得。2+。/,2。人，

两边同乘以正数a+0,得。3+032ab（a+b）=a%+ab?=>3^a3^b^>3a2b-}-3ab2

两边同时加上/+匕3,

得4（/+^）2。3+。3+3。2/;+34〃=（0+8）3

【例10】求证百+S<2石

【难度】★

【解析】证明：因为JJ+J7和2后都是正数，所以要证明J5+/<2石

只需要证明（J5+J7）2<（2石）2即10+2近1<20

即万<5则21<25,则显然成立

因为21<25成立，所以（6+5）2<（2后）2成立，即6+J7<20也成立。

【例11】求证：对于任何实数。出,三个数|a+A|,|a—刃,|1一中至少有一个不小于;。

【难度】★★★

【解析】解法一：用反证法。

1,1

——<a+b<—.①

22

171

若+贝1卜——<a-b<—,②

22222

1।1

——<1-6T<—,③

[22

3

由①+②得：—由③得：—<cz<3,矛盾！

2222

解法二：由绝对值不等式性质，得|々+〃|+|〃一〃|+|1—〃|+|1—々以々+/?+〃一〃+1—4+1—々|=2,

故|。+勿,|。一回,|1一。|中至少有一个不小于;。

【例12】设a、bsR,求证：|同—网<|a+q<同+|小并指出等号成立的条件.

【难度】★★★

【解析】证：先证+例”.

注意到,+w20,时+网20,则对于任意a、bwR,要证,+.4时+可成立，

即证|a+b/《刎+网）2成.立,

即证a2+2ab+b2<a2+2\ab\+b2成立，

即证ab<\ab\成立，

由绝对值定义知，任意a、beR,都有外可阂，且以上步步可逆，因而|。+母4同+网，且等号成

立oah>0.

再证；“M-网引a+耳”.

由M_网20,|a+[NO,则对于任意a、heR,要证同一回归心+4成立，

即证|同一|/?『+成立，

即证(回-]加2W(a+b)2成立,

即证，一2同-M|+时4/+2油+6成立,

即证|闻>-ab成立,

由绝对值定义知，任意a、beR,都有912—ab,且以上步步可逆，因而料―区忖a+4，IL等

号成立oah<0；

综上可得，任意a、bwR,不等式料一|同引a+〃设同+可成立.

【例13]实数x,y,z满足型+yz+zx=-l,求证：x2+5y2+8z2>4.

【难度】★★

【解析】证明：因为X?+5/+8z?-4=x2+5y2+8z2+4(xy+yz+zx)

=(x2+4xy+4xz+8yz+4y2+4z2)+(y2-4yz+4z2)

22

=(x+2y+2z)+(y-2z)>0f

0fWx2+5y2+8z2>4.

1125

【例14]设尤,y是正数，且x+y=l,求证：(x+—)(y+—)2丁。

xy4

【难度】★★★

【解析】证明：要证(X+-)(>+-)2三成立，只要证：Ay+-+^+—>—,

x歹4yxxy4

因为x,y是正数，所以只要证4，）？+x2+/2+］）225孙，

又因为x+y=l,所以

只要证4（x2y2+l-2xy+\）>25xy«x2/--AY+2>0O（J9/--）2+2-^->0

488~

又因为孙4.了）一=；,

331133121125

所以（孙一3）2+2-芸-2（上一吆）2+2-3=0。这显然成立则（x+-）（>+一）》,

88-488xy4

2222

【例15】已知%>0,i=l,2,…,〃，用综合法证明：步■+上■1---F+->xI+x2-i----\-xn.

X2W4X,

【难度】★★★

2222

【解析】工+土+…+^L±+±+（*+々+…+X”）

X2毛X”X,

2222

±

=（9+%2）+（玉*+X3）+…+（±+怎）+（土+%）22区+x2+---+xn）

4退x„x,

所以，—+—+■•■++—>X］+x2+•■•+X,,

々》3X”X,

【例16］如果不等式5-x>7|x+1|和不等式加+或一2>0有相同的解集，贝！］（）

A.a=-8,/>=—10B.a=~\,b=9

C.u——4,b——9D.ci~~—1,b—2.

【难度】★

【答案】C

【解析】由不等式5—*>7仇+1］,可知5—1>0,两边平方得（5—X）2>49（X+1）2,整理得4炉+9、+2<0,

即一叙2—9、-2>0.又因为两不等式的解集相同，所以可得“=—4,b=-9,故选C.

【例17］已知关于元的不等式殍上•<（）的解集为M,若且5/M,求实数。的取值范围.

x-a

【难度】★★

【解析】V5gM.则5不满足不等式三一<0,

x-a

5a-5

若5eM,则------<0,解得a<lora>25,因此lWaW25时，5^M,

25—ci

又・.・3£M,同上解得。Q〉9.

...综上可知实数。的取值范围是1,u(9,25].

【例18]不等式|2%—1|一,一2|<0的解集为.

【难度】★

【答案】{x[—l<x<l}.

【解析】：原不等式等价于不等式组①JX-2或②J2<X<2

2x—1—(x—2)<0ci八

[2x-l+(x-2)<0

或③|X~2不等式组①无解，由②得』<x<l,由③得一1<%〈工，综上得—所

l-(2x-l)+(x-2)<022

以原不等式的解集为{x|-l<x<l}.

【例19]求/")=|%—1|+|2*-1|+...+|2011%—1|的最小值。

【难度】★★★

【解析】首先设q<a2<---<an,/(尤|+|x-/1+…+|x-6,I。则由绝对值的几何意义知,

〃为奇数时，当x=%+|时，/(x)有最小值；〃为偶数时，当尤ean,an任何值时，/(x)有最小值。

——+1

回到原题,

f（X）=|X—1|+|X|+|X--|+|X|+|X|+|X---1+…+1X-----I+…+I%------I,共有:

2233320112011

、一丫-♦

2011个

1+2+•.-2011=-()12x2011=2023066个点。

2

,111

枚4=1,。2=4=5,&=“5=°6=§，,.•“2023066

..2023066

r因a为--------=1011533。

2

现在求4()11533和4()11534的值。设。1011533=一，则1+24---+121011533,

l+2+...+/-l<1011533o

可得，=1422。且6。“533=4。“534=看，故》=击时/(©的值最小。

/(^―)=1-----+1-2X----+---+1-1422X----+1423X-----1+-..+2011X——一1=832

142214221422142214231422

【例20］解关于x的不等式：x2—(tz+1)x+a<0.

【难度】★★

【解析】由/—(〃+l)x+a=0得(x-a)(x—1)=0,Axi=a,X2=1,

①当〃>1时，(a+|)x+a<0的解集为

②当〃=1时，/-3+1次+〃<0的解集为0,

③当时，炉一(〃+l)x+a<0的解集为｝.

【例21】将原不等式改为"2—3+l)x+lv0,求不等式的解集.

【难度】★★★

【解析】若〃=0,原不等式等价于一、+1<0,解得Q1.

若4<0,原不等式等价于(X—：)(X—1)>0,

解得x]或X>1.

若〃>0,原不等式等价于(4一：)(x—1)<0.

①当〃=1时，(=1,(x—1)<0无解；

②当〃>1时，^<1,解(x—：)(工-1)<0W~<x<l；

③当0<〃v1时，->1,解(x—[)(x—1)<0得1vx<(.

综上所述：当a<0时，解集为“仅<；或x>\｝；

当a=0时，解集为｛加01｝;

当0<々<1时，解集为｛刈々<4｝；

当。=1时，解集为0;当”>1时，解集为{.1匕4<1}.

【例22】不等式k+3]—|x—1|<"一3。对任意实数无恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(-oo,-l]U[4,+oo)B.(-00,-2]u[5,+00)

C.[1,2]D.(F,1]U[2,+8)

【难度】★★

【答案】A

【解析】因为-4Wx+3—x—1W4对x+3—%—3a对任意x恒成立，

所以一3«工4艮一3]，()，解得a二4或aV-l

【例23](1)关于x的不等式丁苫7=<2对任意实数x恒成立，求实数机的取值范围.

xr—21十3

(2)若不等式f+pQdx+p-3对一切0<pW4均成立，试求实数x的取值范围.

【难度】★★

【答案】A

【解析】(1)'.»-2X+3=(X-1)2+2>0,

4x+加

不等式F_._1_々<2同解于4x+nz<2x2—4x+6,即2x2—8x+6—/??>0.

片一十3

要使原不等式对任意实数x恒成立，只要改一8x+6一/心0对任意实数x恒成立.

AJ<0,即64—8(6一m)vO,整理并解得小<一2.，实数机的取值范围为(一8,-2).

(2)VX2+px>4x+p—3,(x—1)/?+x2—4x+3>0.

fg(0)>0

令g(P)=(x—l)p+9—4X+3,则要使它对0<pW4均有g(p)>0,只要有

[g(4)>0

・•.第>3或工〈一1.・・・实数%的取值范围为(一8,-1)U(3,+8).

3

【例24]⑴若一元二次不等式2履2+日一京0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()

A.(—3,0]B.[—3,0)

C.[TQJD.(-3,0)

(2)设。为常数，任意x£R,ax2+ax+1>0,则。的取值范围是()

A.(0,4)B.[0,4)

C.(0,+8)D.(一8,4)

【难度】★★

【答案】⑴D(2)B

【解析】(1)2日2+"一1<0对一切实数x都成立，

O

2R0,

则必有/=产一4X2kX(一九0解之得一34<。・

[a>0,

(2)任意xGR,a)3--\-ax-\-1>0,则必有彳、或“=0,；.0Wa<4.

[/="2—4”<0

【例25】对任意的代[一工,勾，函数y=/+伙-4)x+4—2%的值恒大于零，则x的取值范围是

【难度】★★

【答案】{中<1或x>3}

【解析】炉+供一4次+4—2Q0恒成立，即g伏)=(x-2)k+a2—4x+4)>0,在ke[—1,1]时恒成立.

fx2-5x+6>0,

只需g(—1)>0且g⑴乂)，即，，，〜解之得x<l或x>3.

[A3x+2>0,

【例26]⑴已知x<»,求函数y=4x—2+」一的最大值。

44x-5

【难度】★★

【解析】因4x-5<0,所以首先要“调整”符号，又(4x-2)」一不是常数，所以对4%-2要进行拆、

4x-5

凑项。x<—,/.5-4x>0，y=4x-2+---=-|5-4x+---]+3W-2+3=1

44x-515-4xJ

当且仅当5—4x=」一，即x=l时，上式等号成立，故当尤=1时，v=1,

5-4x11ax

A评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

x?+7尤+]()

(2)求y=-~~-一-(x>-1)的值域。

x+\

【难度】★★

【解析】解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+l)的项，再将其分离。

x2+7x+10(x+1)2+5(x+1)+4.4.

-Q—=(x+1)+77T+5

当龙>一1,即x+l>0时,yN2j(x+l)x/一+5=9(当且仅当x=l时取"=”号)。

Vx+1

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令f+i,化简原式在分离求最值。

(r-l)2+7(r-1)+10r+5r+44=

y=------------------=---------=/+-+5

ttt

当£>一1,即，=x+l>0时,y»2，^+5=9(当r=2即x=l时取"=”号)。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最

A

值。即化为y=，〃g(x)+——+例4>0,8>0),g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

g(x)

【例27】已知。、b、ce/T,且a+/?+c=L求证：^--1

【难度】★★

【解析】分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

==可由此变形入手。

aaaa

,9+…小、1.Itl-«b+c^2\/bc闩询1i、2Vac1,、14ab

向军：*.*Q\b、c£R,a+/?+c—1o..—1=----=-----N-----oiRj工J：—12------,—IN--------------------0

aaaabbec

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

辿E侦E3匣=8。当且仅当a=b=c=，时取等号。

\a)\b)\c)abc3

19

【例28］己知x>(),y>()且一+乙=1,求使不等式x+yNm恒成立的实数机的取值范围。

工y

【难度】★★

19.x+y9x+9y.10y9x_

【解析】令x+y=攵，元>0,y>0,—+—=1,..------1---------i...----1----1---—i

xykxkykkxky

3

me(-oo,16]

1—>2--,:.k>169

k

【例29】已知正数。力,满足4+方=10—+?=1,x+y的最小值为18,求。力的值.

%y

【难度】★★★

【解析】X+尸a+y)(q+2)=〃+幺+々+〃=10+处+坦.

%yy尤y%

•.•%,y>0,4,0>0,

x+y>10+2y[ab=18,B|Jyfab=4.

又〃+。=10,

Q=2,t4=8,

・,〈或，

[b=S[b=2.

对点器依

1.若〃泌>0,则下列不等式中一定成立的是()

,1,1bb+\

A.a+r>b+~B.->—nr

baaa+1

【难度】★

【答案】A

【解析】取。=2,。=1,排除B与D：另外，函数｛r)=x—：是(0,+8)上的增函数，但函数g(x)=x+(在

(0,1］上递减，在［1,+oo)上递增，所以，当o>6>0时，儿z)»S)必定成立,但g(a)>gS)未必成立，这样，a

1,1,1,,1

~~>b-7<=&+T>/7+~.

abba

222222

2.设a>b>c>0,x=y/a+(b+c),y=yjb+(c+a)fz=ylc+(a+b)f则x,y,z的大小关系是.

【难度】★★

【答案】z>y>x

【解析】方法一y2x2=2c(a—b)>0,同理，z>y,z>y>x,

方法二令〃=3,力=2,c=\,MOx=V18,y=V20,z=y/26,故z>y>x.

3.已知a,b,cCR,那么下列命题中正确的是()

A.若a>b,则a:2>8c2B.若台£，则

C.若苏>〃且a*0,则D.若屏〉〃且ab>0,贝

【难度】★★

【答案】C

【解析】当c=0时，可知A不正确；

当c<0时，可知B不正确；

对于C,由"且"b<o知“>o且8<0,所以}\成立，C正确；

当。<0且*0时，可知D不正确.

4.已知a,h,c,d均为实数，有下列命题

①若aZ?>0,bc-ad>0,则(一£>。；②若ab>0,^>0,则匕c—arf>0；

,..Qd

③若bc~ad>0,^>0,则ah>0.

其中正确的命题是.

【难度】★★

【答案】①②③

/7be—ad

【解析】Vab>0,be-ad>0,-7一>0,，①正确；

Vah>0f又亍-£>°，即吗>0,••hc—ad>09・,•②正确；

cdhe—ad

•：bc-ad>3又吃一,0，B[J—>0,・・・">0,・•・③正确,故①②③都正确.

5.(1)设1勺<0,试比较(如+炉)(工一y)与(%2—产)・。+》)的大小；

]]xv

(2)已知a,b,x,y£(0，+8)月*>土x>y,求证：不二〉遂了

【难度】★★

[解析]方法一(x2+},2)(x-y)-U2->t2)(x+y)=(x—H-y2—(x+y)2]=_2xy(x-y),

Vx<><0,Axy>0,x—)<0,/.—2A><X—y)>0,

，(1+产)。一>，)>(r一y2)(x+y).

方法二:hvycO,/.x—y<0,x2>y2,x+y<0./.(x2+>2)(x—y)<0,(x2一尸乂工+了卜。,

二2x),<1>.•.(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+>')-

xybx-ay

(2)证明

x-\~ay+bx+ay+b'

;另"bG(O,+co)->0,又.•,x>y>0,.MQgO,

6.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折

优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,

试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.

【难度】★★

【答案】详见解析

【解析】设该单位职工有〃人(〃eN*),全票价为x元/人，坐甲车需花9元，坐乙车需花以元,

则>'i=jc+1x-(n-l)=1.r+yix,”=恭.所以yi-y2=^x+^n.r—^ix=^x-^nx=^x(1—

当〃=5时，yi—y2；当〃>5时，%勺2；当“<5时，yi>%.

因此当单位去的人数为5人时，两乍队收费同等优惠；

当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠;

当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠.

7.解关于x的不等式=<O(aGR).

【难度】★★

【答案】详见解析

x—CI

【解析】(_〃2<00工—〃)(/一次)<0,

①当〃=0或。=1时，原不等式的解集为0；

②当a<0或时，a<a2,此时a<x<a2；

③当0<«<1时，a>cr,jttB'J"a2<x<a.

综上，当。<0或01时，原不等式的解集为｛.也<x<〃2)；

当0<4<1时，原不等式的解集为｛Mdav”｝；

当4=0或4=1时，原不等式解集为。.

8.若不等式l2一球+52层-34对任意实数x恒成立，则实数。的取值范围为()

A.[-1,4]B.(—8,—2]U[5,+°0)

00

C.(―00,—1]U[4,+)D.[―2同

【难度】★★

【答案】A

【解析】2x+5=(x—1产+4的最小值为4,所以炉―2x+5242—3〃对任意实数x恒成立,

只需〃2—3aW4,解得一1W〃W4.

9.已知函数应¥)=/+3一1,若对于任意入£[加，加+2],都有7U)<0成立,则实数m的取值范围是

【难度】★★

【答案】(一乎，0)

【解析】作出二次函数於)的草图，对于任意XG[〃Z,,”+1],都有.心)<0,

fm2+w2—1<0,、历

则有,即,,,解得一(<m<0.

10.在关于x的不等式x2-(〃+l)x+aV0的解集中恰有两个整数，则〃的取值范围是()

A.(3,4)B.(-2,-1)U(3,4)

C.(3,4]D.[-2,T)U(3,4]

【难度】★★

【答案】D

【解析】由题意得，原不等式化为(x—l)(x—a)V0.当。>1时，解得此时解集中的整数为2,3,

则3〈把4；当时，解得此时解集中的整数为0,-1,则一2%<—1,故“口-2,-1)U(3,

4].

X-3

11.已知a£R,不等式$21的解集为p,且一2£p,则。的取值范围为()

A.(—3,+co)B.(—3,2)

C.(—00,2)U(3,+oo)D.(—00,—3)U[2,+oo)

【难度】★

【答案】D

—2—3

【解析】:一2Cp,V1或-2+〃=0,解得e2或。V一3.

-一2；十Ja

12.若关于x的不等式/一以一2一〃>0在区间(1,4)内有解，则实数。的取值范围是()

A.(—oo,—2)B.(—2,+co)

C.(16,+oo)D.(-oo,-6)

【难度】★

【答案】A

【解析】不等式炉一4冗一2—a>0在区间(1,4)内有解等价于aV。2—4x—2)max，令且。)=/一4x—2,x£(l,

4),.,・g(x)Vg(4)=_2,

kf—xak

13.不等式彳:<0对任意实数x都成立,则左的取值范围是.

【难度】★★

[答案]]-00,—

【提示】分母大于0恒成立，故分子小于0恒成立

14.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆.本

年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<l),

则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价一投入成

本)X年销售量.

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

【难度】★★

【解析】(1)y=[(1+oX工2—(工+吊XX(1+0.6A)X10000=-6OOO.v+2OOOx+20000,

即y=-6000^+2OOOx+20000(0<x<1).

(2)上年利润为(12—10)X10000=20()00.Ay-20000>0,即一6000x2+2000A>0,

即x的范围为(0,1).

15.已知不等式。+田(2+q)29对任意正实数％、y恒成立，则正实数。的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

【难度】★★

【答案】B

【解析】不等式(x+y)(L+g)29对任意正实数x、y恒成立，则1+。+上+巴2。+2&+129,

xyxy

&22或JZ4-4舍去)，所以正实数。的最小值为4,选B.

CT021

16.设a,b,c都是正数，证明不等式‘一+'」+「-2上(a+8+c)当且仅当a=Z?=c时取等号。

b+ca+ca+b2

【难度】★★★

【答案】详见解析

【解析】根据对称性，可从左边一项入手，根据基本不等式适当配凑。

b+cyb+c4J44

b2b1a+c、a+c、，a+c

------=(---z---+------)--------->h--------

a+ca+c444

c2/c2a+。、a+ba+b

------=(------+------)--------->c---------

a+ba+h444

2I22i

三式相加可得—+/一+」-N^S+8+c)

b+ca+ca+b2

crb+cb2Q+CC2Q+,,,

当且仅当＜=勺=，-^=—,」一二竺^同时成立，a即r"〃=c,上式取等号

b+c4a+c4a+b4

攻思总辖

1.解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式

(组)来求解。

2.解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。

3.不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用

一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。

4.根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。

锦后栋灯

一、单选题

L（202。上海高一专题练习）已知a,b,cSR,且o>b>c,则有（）

A.|a|>|b|>|c|B.|ab|>|bc|

C.|a+b|>|b+c|D.\a-c\>|a-b|

【答案】D

【分析】举特殊值，利用不等式的性质逐一判断即可.

【详解】当a,b,c均为负数时，则A,B,C均不成立，

如。=—1,b=—2,c=-3时，有故A错；

\ab\=2,而|bc|=6,此时|ab|V|bc|,故B错;

|a+b|=3,|b+c|=5,与C中|a+b|>|b+c|矛盾