2024-2025学年高考数学一轮复习专题6.1数列的概念与简单表示知识点讲解文科版含解析

专题6.1数列的概念与简洁表示【考情分析】1.了解数列的概念和几种简洁的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．【重点学问梳理】学问点1.数列的有关概念(1)数列的定义根据肯定依次排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类分类原则类型满意条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an按周期分类周期数列对于n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摇摆数列从其次项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．学问点2．数列的通项公式(1)数列的通项公式假如数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)数列的递推公式假如已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从其次项(或某一项)起先的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))【必会结论】1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))3．数列与函数的关系数列是一种特别的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．【典型题分析】高频考点一由an与Sn的关系求通项公式例1.（2024·新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最终一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、其次层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.【举一反三】(2024·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．【解析】因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝eq\f(－1×（1－26）,1－2)＝－63.【答案】－63【变式探究】（2024·湖北省襄樊一中模拟）若数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，则{an}的通项公式an＝．【解析】由Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，得当n≥2时，Sn－1＝eq\f(2,3)an－1＋eq\f(1,3)，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝eq\f(2,3)a1＋eq\f(1,3)，所以a1＝1，所以{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.【答案】(－2)n－1高频考点二由递推关系式求数列的通项公式例2.（2024·福建省莆田一中模拟）在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，则an＝．【解析】a1＝2，an＋1＝an＋2n－1⇒an＋1－an＝2n－1⇒an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，则an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝eq\f(1－2n－1,1－2)＋2＝2n－1＋1.【答案】2n－1＋1【变式探究】（2024·广东省汕头一中模拟）若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝．【解析】由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得eq\f(an,an－1)＝eq\f(n,n＋1)(n≥2)．所以an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an－2,an－3)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·…·eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×1＝eq\f(2,n＋1)，(*)又a1也满意(*)式，所以an＝eq\f(2,n＋1).【答案】eq\f(2,n＋1)高频考点三数列的单调性例3.（2024·江西省鹰潭一中模拟）已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(3n＋k,2n)，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)【解析】因为an＋1－an＝eq\f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq\f(3n＋k,2n)＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)，由数列{an}为递减数列知，对随意n∈N*，an＋1－an＝eq\f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n对随意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D.【答案】D【变式探究】（2024·陕西省安康一中模拟）数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n)，则此数列的最大项是第________项．【答案】9或10【解析】∵an＋1－an＝(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n＋1)－(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up8(n)×eq\f(9－n,11)，当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，∴该数列中有最大项，且最大项为第9，10项．高频考点四数列的周期性及应用例4.（2024·新课标Ⅱ）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满意，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满意的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满意的序列是（）A.11010…… B.11011…… C.10001…… D.11001……【答案】C【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，对于选项A，，不满意；对于选项B，，不满意；对于选项D，，不满意；【变式探究】（2024·四川省泸州一中模拟）等差数列{an}的公差d＜0，且aeq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,11)，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为()A．5 B．6C．5或6