2025届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题4平面向量的运算学案文含解析

PAGE专题4平面对量的运算1.若a为非零向量,则QUOTE是与a同向的单位向量,-QUOTE是与a反向的单位向量.2.三点共线:对于平面上的任一点O,,不共线,满意=x+y(x,y∈R),则P,A,B共线⇔x+y=1.3.三角形的“四心”设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(1)O为△ABC的外心⇔||=||=||=QUOTE.(2)O为△ABC的重心⇔++=0.(3)O为△ABC的垂心⇔·=·=·.(4)O为△ABC的内心⇔a+b+c=0.1.题中图形为正方形、正三角形等规则图形时,通常考虑建系,用坐标法解题.2.两共起点向量中一个向量固定,另一个向量转动时,差向量的轨迹为一个圆面,可将向量问题转化成圆的相关问题.3.向量线性运算通常用基底法,将要求的向量通过向量加减,数乘向量转化为基底向量,得解.1.不理解投影的意义【案例】T6向量a在b上的投影为|a|cosθ=-QUOTE.2.简单忽视向量夹角的范围为QUOTE【案例】T7解得cos<a,b>=-QUOTE,因为<a,b>∈QUOTE,所以<a,b>=QUOTE.3.忽视零向量的状况【案例】T9对于⑤,若a∥b,b∥c,当b=0时,a∥c不肯定成立,所以⑤错误.考向一平面对量的模【典例】(2024·全国Ⅰ卷)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=________.

考向二平面对量的垂直【典例】(2024·全国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是 ()A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b1.若向量a=(m,-1),b=(1,2),且a⊥b,则(2a-b)·(a+b)= ()A.5 B.-13C.-5 D.132.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是 ()A.-2 B.0C.1 D.23.已知非零向量a,b满意QUOTE=2QUOTE,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE4.若向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=3,则|a-2b|= ()A.2QUOTE B.14C.2QUOTE D.85.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=3,且满意QUOTEcosB=bcosC,则·的值为 ()A.2 B.3C.-1 D.-36.已知a,b为不共线的两个单位向量,且a在b上的投影为-QUOTE,则|2a-b|= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE7.已知向量a=(-3,1),b=(1,-2),则向量a与b的夹角的大小等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE8.已知向量a,b是两个不共线的向量,且=3a+5b,=4a+7b,=a+mb,若A,B,C三点共线,则m= ()A.1 B.-1C.2 D.-29.有下列命题:①两个相等向量,若它们的起点相同,则终点也相同;②若|a|=|b|,则a=b;③若,则四边形ABCD是平行四边形;④若m=n,n=k,则m=k;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c;⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中,假命题的个数是 ()A.2 B.3C.4 D.510.如图,在△ABC中,=QUOTE,=QUOTE,BE和CD相交于点F,则向量等于 ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE11.已知在△ABC中,点O满意++=0,点P是OC上异于端点的随意一点,且=m+n,则m+n的取值范围是________.

12.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.

专题4平面对量的运算///真题再研析·提升审题力///考向一【解析】因为a,b为单位向量,所以QUOTE=QUOTE=1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1,解得:2a·b=-1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE考向二D由已知可得:a·b=QUOTE·QUOTE·cos60°=1×1×QUOTE=QUOTE.A:因为(a+2b)·b=a·b+2b2=QUOTE+2×1=QUOTE≠0,所以本选项不符合题意;B:因为(2a+b)·b=2a·b+b2=2×QUOTE+1=2≠0,所以本选项不符合题意;C:因为(a-2b)·b=a·b-2b2=QUOTE-2×1=-QUOTE≠0,所以本选项不符合题意;D:因为(2a-b)·b=2a·b-b2=2×QUOTE-1=0,所以本选项符合题意.///高考演兵场·检验考试力///1.A因为a⊥b,所以有a·b=0,即m-2=0,所以m=2,故a=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=2a2+a·b-b2=2QUOTE+a·b-QUOTE=2×QUOTE+0-QUOTE=10-5=5.2.D因为a=(1,1),b=(2,x),所以a+b=(3,x+1),4b-2a=(6,4x-2),由于a+b与4b-2a平行,得6(x+1)-3(4x-2)=0,解得x=2.3.B因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos<a,b>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以a与b的夹角为QUOTE.4.A|a-2b|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.5.D因为QUOTEcosB=bcosC,依据正弦定理得:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC,所以2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,又因为0<A<π,所以sinA>0,所以cosB=QUOTE,因为0<B<π,所以B=QUOTE,·=-·cosB=-accosQUOTE=-2×3×QUOTE=-3.6.D设a,b的夹角为θ,由已知,|a|=1,|b|=1,|a|cosθ=-QUOTE,所以cosθ=-QUOTE,所以a·b=|a||b|cosθ=-QUOTE,所以|2a-b|=QUOTE=QUOTE=QUOTE.7.D由数量积的坐标运算得,cos<a,b>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,因为<a,b>∈QUOTE,所以<a,b>=QUOTE.8.A由A,B,C三点共线,得=x+(1-x)=(4-x)a+(7-2x)b(x∈R),故QUOTE解得m=1.9.C对于①,两个相等向量,它们的起点相同,则终点也相同,①正确;对于②,若QUOTE,方向不确定,则a,b不肯定相同,所以②错误;对于③,若,,不肯定相等,所以四边形ABCD不肯定是平行四边形,③错误;对于④,若m=n,n=k,则m=k,④正确;对于⑤,若a∥b,b∥c,当b=0时,a∥c不肯定成立,所以⑤错误;对于⑥,有向线段不是向量,向量可以用有向线段表示,所以⑥错误;综上,假命题是②③⑤⑥,共4个.10.B过点F分别作FM∥AB交AC于点M,作FN∥AC交AB于点N,已知=QUOTE,=QUOTE,因为FM∥AB,则△MFE∽△ABE和△MCF∽△ACD,则QUOTE=QUOTE且QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE且QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,则MC=8ME,所以AM=QUOTEAC,所以=QUOTE,同理FN∥AC,△NBF∽△ABE和△NFD∽△ACD,则QUOTE=QUOTE且QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE且QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,则NB=8ND,所以=8,即-=8(-),所以-=8,即-=2-8,得=QUOTE,因为四边形AMFN是平行四边形,所以由向量加法法则,得=+,所以=QUOTE+QUOTE.11.【解析】设=λ(0