2024-2025学年新教材高中数学第3章函数3.13.1.2第2课时函数的平均变化率学案新人教B版必修第一册

PAGE第2课时函数的平均变更率学习任务核心素养1．理解斜率的含义及平均变更率的概念．(重点)2．驾驭推断函数单调性的充要条件．(重点、难点)通过利用函数f(x)的平均变更证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培育逻辑推理素养.科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变更曲线．请依据曲线图思索下列问题：问题(1)在区间[6,17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)肯定大于零吗？(2)假如在区间[2,10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y4－y3,x4－x3)肯定大于零吗？学问点一直线的斜率(1)定义：给定平面直角坐标系中的随意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称eq\f(y2－y1,x2－x1)为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为eq\f(Δy,Δx))，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．1．(1)过函数图像上两点A(－1,3)，B(2,3)的斜率eq\f(Δy,Δx)＝________.(2)过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)0(2)1[(1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3－3,2＋1)＝0.(2)由直线的斜率公式得eq\f(4－m,m＋1－－1)＝1，即eq\f(4－m,m＋2)＝1，解得m＝1．]学问点二平均变更率与函数单调性1．平均变更率与函数单调性若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对随意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(Δf,Δx)＝\f(fx2－fx1,x2－x1)))，则：(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是eq\f(Δy,Δx)＞0在I上恒成立；(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是eq\f(Δy,Δx)＜0在I上恒成立．当x1≠x2时，称eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变更率．通常称Δx为自变量的变更量，Δy为因变量的变更量．(1)留意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．(2)平均变更率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变更率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变更率为0，但f(x)＝x2在[－2,2]上的图像先下降后上升，值域是[0,4]．(3)平均变更率eq\f(fx2－fx1,x2－x1)的几何意义是函数y＝f(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率．(4)平均变更率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变更率的“视觉化”．利用平均变更率可以刻画变量平均变更的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”靠近“精确”．2．平均变更率的物理意义(1)把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变更率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即eq\x\to(v)＝eq\f(st2－st1,t2－t1).(2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变更率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即eq\x\to(a)＝eq\f(vt2－vt1,t2－t1).2.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变更率为a. ()(2)函数y＝f(x)的平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)的几何意义是过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率． ()(3)直线不肯定有斜率，过函数图像上随意两点的直线也不肯定有斜率． ()[答案](1)√(2)√(3)×[提示](1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变更率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(ax2＋b－ax1＋b,x2－x1)＝eq\f(ax2－x1,x2－x1)＝a.(2)由平均变更率的几何意义可知eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率．(3)过函数图像上随意两点的直线肯定有斜率，因为依据函数的定义，肯定有x1≠x2.3.如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变更率为()A．1 B．－1C．2 D．－2B[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(1－3,3－1)＝－1．]4.(对接教材P99例4)一次函数y＝－2x＋3在R上是________函数．(填“增”或“减”)减[任取x1，x2∈R且x1≠x2.∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是减函数．]类型1平均变更率的计算【例1】一正方形铁板在0℃时边长为10cm，加热后会膨胀，当温度为t℃时，边长变为10(1＋at)cm，a[思路点拨]由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变更率．[解]设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为：ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，所以平均膨胀率eq\f(ΔS,Δt)＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.求平均变更率的3个步骤(1)求出或者设出自变量的变更量．(2)依据自变量的变更量求出函数值的变更量．(3)求出函数值的变更量与自变量的变更量的比值．eq\o([跟进训练])1．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯10s内身影长度y关于时间t的平均变更率．[解](1)如图所示，设此人从C点运动到B点的距离为xm，AB为身影长度，AB的长度为ym，由于CD∥BE，则eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD)，即eq\f(y,y＋x)＝eq\f(1.6,8)，所以y＝0.25x.(2)84m/min＝1.4m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10s内平均变更率eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(3.5,10)＝0.35(m/s)，即此人离开灯10s内身影长度y关于时间t的平均变更率为0.35m/s.类型2利用平均变更率推断或证明函数的单调性【例2】若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)＞0，求证：g＝eq\f(1,fx)在I上为减函数．[思路点拨]由y＝f(x)在I上为增函数的充要条件可得eq\f(Δy,Δx)＞0，再证eq\f(Δg,Δx)＜0即可．[证明]任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)，∵函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数，∴Δy＞0，eq\f(Δy,Δx)＞0，∴Δg＝g(x2)－g(x1)＝eq\f(1,fx2)－eq\f(1,fx1)＝eq\f(fx1－fx2,fx1fx2).又∵f(x)＞0，∴f(x1)f(x2)＞0且f(x1)－f(x2)＜0，∴Δg＜0，∴eq\f(Δg,Δx)＜0，故g＝eq\f(1,fx)在I上为减函数．利用函数的平均变更率推断或证明单调性分哪4个步骤？[提示](1)取值：任取x1，x2∈D，且x1≠x2.(2)计算：求f(x2)－f(x1)，eq\f(Δfx,Δx).(3)判符号：依据x1，x2的范围推断eq\f(Δfx,Δx)的符号，确定函数的单调性．(4)下结论：若eq\f(Δfx,Δx)>0，则f(x)在I上是增函数；若eq\f(Δfx,Δx)<0，则f(x)在I上是减函数．eq\o([跟进训练])2．已知函数f(x)＝1－eq\f(3,x＋2)，x∈[3,5]，推断函数f(x)的单调性，并证明．[解]由于y＝x＋2在[3,5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f(x)＝1－eq\f(3,x＋2)在[3,5]上为增函数．证明过程如下：任取x1，x2∈[3,5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝1－eq\f(3,x2＋2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,x1＋2)))＝eq\f(3,x1＋2)－eq\f(3,x2＋2)＝eq\f(3x2－x1,x1＋2x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，∴Δy＞0，∴eq\f(Δy,Δx)＞0，故函数f(x)在[3,5]上是增函数．类型3二次函数的单调性最值问题1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系？试画草图赐予说明．[提示]2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？[提示]若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－eq\f(b,2a)与区间[m，n]的关系．【例3】已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．[思路点拨]eq\x(fx＝x2－ax＋1)eq\o(→,\s\up10(分类探讨))eq\x(\s\up(分析x＝\f(a,2)与,[0，1]的关系))eq\o(→,\s\up10(数形结合))eq\x(求fx的最大值)[解]因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图像开口向上，其对称轴为x＝eq\f(a,2)，当eq\f(a,2)≤eq\f(1,2)，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；当eq\f(a,2)>eq\f(1,2)，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1．1．在题设条件不变的状况下，求f(x)在[0,1]上的最小值．[解](1)当eq\f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(0)＝1．(2)当eq\f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(1)＝2－a.(3)当0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))上单调递增，故f(x)的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝1－eq\f(a2,4).2．在本例条件不变的状况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．[解]当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图像的对称轴为x＝eq\f(1,2)，①当t≥eq\f(1,2)时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)的最小值为f(t)＝t2－t＋1；②当t＋1≤eq\f(1,2)，即t≤－eq\f(1,2)时，f(x)在其上是减函数，∴f(x)的最小值为f(t＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＝t2＋t＋1；③当t<eq\f(1,2)<t＋1，即－eq\f(1,2)<t<eq\f(1,2)时，函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，t＋1))上单调递增，所以f(x)的最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4).二次函数在闭区间上的最值设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布状况：对称轴与区间的关系－eq\f(b,2a)＜m＜n，即－eq\f(b,2a)∈(－∞，m)m＜－eq\f(b,2a)＜n，即－eq\f(b,2a)∈(m，n)m＜n＜－eq\f(b,2a)，即－eq\f(b,2a)∈(n，＋∞)图像最值f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)1．函数f(x)在区间[－2，－1]上满意eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，且图像关于y轴对称，则函数f(x)在区间[1,2]上()A．单调递增，且有最小值f(1)B．单调递增，且有最大值f(1)C．单调递减，且有最小值f(2)D．单调递减，且有最大值f(2)C[∵函数f(x)在区间[－2，－1]上满意eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，∴函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数．∵其图像关于y轴对称，∴函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)min＝f(2)，f(x)max＝f(1)．故选C．]2．函数f(x)＝eq\r(x)从1到4的平均变更率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．1 D．3A[Δy＝eq\r(4)－eq\r(1)＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变更率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,3).故选A．]3．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4ΔxC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2C[∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2－4)＝2(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4，故选C．]4．李华在参与一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：假如向杯子中倒饮料的速度肯定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是()B[由于圆口杯的形态是“下细上粗”，则