专题08数列的通项与求和（考点清单知识导图+3考点清单+7题型解读）（教师版） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题08数列的通项与求和【清单01】数列的递推公式1、递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an【清单02】数列通项公式的求法1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．2、公式法（1）使用范围：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an（2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．3、累加法：适用于an+1=a要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq\f(an＋1,an)＝f(n)要点：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、构造法：形如an+1=pan+q（其中均为常数且【清单03】数列求和的方法1、公式法（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①；②；③；=4\*GB3④2、分组转化法求和（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．（2）常见类型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；=2\*GB3②通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，．4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和．6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求.【考点题型一】已知Sn与a方法总结：已知Sn求an的三个步骤（1）利用a1＝S1求出a1.（2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．（3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．【例1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如果数列an的前n项和Sn=A．23 B．24 C．25 D．26【答案】C【分析】根据题意，结合a12【详解】由数列an的前n项和S可得a12故选：C.【变式1-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=n【答案】a【分析】代入n=1，得出a1.根据an=S【详解】当n=1时，a当n≥2时，an=Sn因为2×1+2=4≠a所以，an故答案为：an【变式1-2】（22-23高二下·江苏镇江·期中）数列an的前n项和记为Sn，若Sn=【答案】−1,【分析】根据an【详解】解：当n≥2时，有a但当n=1时，a故an故答案为:−1,n【变式1-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）记Sn为数列an的前n项和，Tn为数列Sn的前n项和，若(1)证明：数列Sn(2)若Tn>120−n【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）利用an=S（2）由分组求和法求得Tn【详解】（1）由an+1=2Sn即Sn+1+1=3所以Sn（2）由（1）知Sn+1=3×Tn由Tn>120−n可得3n+1因为n∈N∗【变式1-4】（23-24高二上·江苏·期中）已知数列an的前n项和为Sn，(1)求数列an的通项公式a(2)若数列bn满足：bn=【答案】(1)a(2)9【分析】（1）根据an（2）求出b1=15，当n≥2时，计算出bn+1bn【详解】（1）Sn=2n+3当n≥2时，a其中21−1故a（2）当n=1时，b当n≥2时，b则bn当n=2时，b当n≥3时，1n+1≤43故n≥2时，bn的最大项为又b3>b1，故数列【考点题型二】累加法求通项方法总结：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：【例2】（22-23高二下·江苏盐城·期中）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：1、4、9、16，则该数列的第20项为（

）A．399 B．400 C．401 D．402【答案】B【分析】由从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，列出后一项与前一项的差，再由累加法即可求得通项公式，即可求得该数列的第20项.【详解】若某个二阶等差数列的前4项为：1,4,9,16，即a1可知a2−a1=3,累加即可得到an则an=故选：B.【变式2-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5A．2n−3 B．2n−2 C．【答案】A【分析】由等比数列的性质与累加法求解，【详解】根据题意得，a1+a1qn≥2时，b故b=1故选：A【变式2-2】（22-23高二上·江苏扬州·期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列an，正方形数构成数列bn，则a10=；【答案】5520【分析】依题意可得an−an−1=nn≥2，利用累计法求出a【详解】根据三角形数可知，an−an−1=n累加得an所以an=1+2+3+⋯+n故an=n根据正方形数可知bn当n≥2时，1则i=2=21−故答案为：55；20【变式2-3】（21-22高二上·江苏苏州·期中）设数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，an【答案】46【分析】利用累加法求得数列{an}的通项公式，将n【详解】由an+1−an=n，则a以上各式相加，得an−a∴a10故答案为：46.【变式2-4】（20-21高二上·江苏扬州·期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，n∈N（1）求证：数列bn（2）求数列{an}与{bn}的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）an=2n【解析】（1）利用等比数列的定义证明；（2）利用an=Sn−【详解】（1）因为3bn+2−4b所以bn+2−bn（2）n≥2时，a又a1所以an由（1）bn所以，n≥2时，bn=b1+(b【点睛】易错点睛：本题考查等比数列的证明，考查由Sn求an，累加法求数列的通项公式．在由Sn求an时要注意公式an=Sn−【考点题型三】累乘法求通项方法总结：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：【例3】（20-21高二上·江苏苏州·期中）已知在数列{an}中，aA．12020 B．12019 C．11010【答案】C【解析】由累乘法可求得an【详解】∵an+1∴an=∴a故选：C.【变式3-1】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列an的前n项和为Sn,a1=2且满足【答案】a【分析】当n≥2时，an=Sn−S【详解】当n≥2时，a化简得(n−1)an=n显然a1所以a故答案为：a【变式3-2】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知a1=1,an+1=【答案】1【分析】由已知递推式可得an【详解】由an+1=所以an所以a2a1=12，a3所以a2所以ana1=1因为a1所以an故答案为：1【变式3-3】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）数列{an}满足a1=1，【答案】2【分析】利用累乘法求得正确答案.【详解】a=1⋅5a1所以an故答案为：2【变式3-4】（22-23高二上·福建莆田·期中）已知数列an满足4Sn=(2【答案】2【分析】当n≥2时，由4Sn=(2n+1)a【详解】将n=1代入4Sn=(2n由4Sn=(2两式相减得4an=(2所以ana1=1也满足an=2n故答案为：2【考点题型四】构造法求通项方法总结：形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．【例4】（23-24高二下·广东·期中）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，且(n2−1+1)SA．49 B．50 C．51 D．52【答案】A【分析】根据给定的递推关系，结合Sn−S【详解】当n≥2时，(n2于是n+1Sn因此数列{(n+1)nS由Sk=135，得2k故选：A【变式4-1】（多选）（23-24高二下·广东·期中）已知数列an的首项a1=1，前n项和为SA．a2=7 B．C．an+3n【答案】ABD【分析】分析可知数列an+3【详解】因为an+1=4且a1+3=4≠0，可知数列则an+3对于选项A：a2对于选项B：因为an=4对于选项C：因为数列an所以an对于选项D：a10故选：ABD.【变式4-2】（多选）（20-21高二上·江苏泰州·期中）数列an是首项为1的正项数列，an+1=2an+3A．a3=13 B．数列C．an=4n【答案】AB【解析】由已知构造出数列an+3是等比数列，可求出数列an【详解】an+1=2an又∵a1=1，∴an+3=a∴Sn故选：AB.【变式4-3】（多选）（20-21高二上·江苏·期中）已知数列anA．若a1＝2，anB．若a1＝1，C．若Sn=3D．若a1＝1，an【答案】AB【解析】直接利用叠加法可判断选项A，从而判断，利用构造新数列可求出B,D中数列的通项公式，可判断，选项C求出数列的前3项从而可判断.【详解】选项A.

由an+1则a=20+19+18+⋯+2+2=211故A正确.选项B.由an+1所以数列an+1是以则an+1=2×3n−1选项C.由Sn=3n当n=2时，得a当n=3时，得a显然a22≠选项D.

由an+1=所以数列1an是以1为首项，所以1an=1+12故选：AB【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得a20=a20−【变式4-4】（23-24高二下·广东珠海·期中）已知数列{an}，其中a1=1，满足an+1=2a【答案】9【分析】利用递推关系式得an+1+2n+1+1=2a【详解】因为由an+1=2又a1+3=4，所以数列an+2n所以an+2n所以Sn所以Sn+4+n由211=2048知，满足故答案为：9.【点睛】方法点睛：求数列的通项公式有以下方法：（1）观察法，（2）等差、等比公式法，（3）由Sn与a【考点题型五】裂项相消法求和方法总结：1、用裂项法求和的裂项原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．2、裂项相消法中常见的裂项技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【例5】（23-24高二上·江苏苏州·期中）数列an中，an=1nA．77 B．78 C．79 D．80【答案】D【分析】利用裂项求和法求得正确答案.【详解】依题意，an所以Sn由Sn=n故选：D【变式5-1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）12!【答案】1−【分析】由n−1【详解】由n−1n!=1则原式=1−故答案为：1−1【变式5-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）若an是公差不为0的等差数列，a2,a4,a8成等比数列，a1=1，【答案】20【分析】由等差数列中a2,a4,a8成等比数列，解出公差为d【详解】设等差数列an公差为d，a2,则a1+3d由d≠0，得d=1，所以则有Sn=n所以1S故答案为：20【变式5-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知Sn为等差数列an的前n项和，3a(1)求数列an(2)若n+3bn2=【答案】(1)a(2)T【分析】（1）由题意列出方程组求出首项、公差即可；（2）化简bn【详解】（1）设等差数列an的公差为d．因为3a2所以3a解得a1=4d（2）由（1）得n+3bn所以Tn=1所以T10【变式5-4】（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知数列an的前n项和为Sn，满足(1)求数列an(2)记bn=anan−1an+1−1，T【答案】(1)a(2)2【分析】（1）由an=Sn−Sn（2）利用裂项相消法求得和Tn，不等式可变形为k>n+12n+1【详解】（1）因为数列an的前n项和Sn满足当n≥2时，2两式相减得：2an=4当n=1时，2S1可知数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a（2）由（1）可知：bn所以T=121对任意的n∈N*，不等式T化简得：k>设cn因为cn所以cn单调递减，则cn≥所以实数k的取值范围是23【考点题型六】错位相减法求和方法总结：1、解题步骤2、注意解题“3关键”①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．①②得：．整理得：．【例6】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知数列an为等差数列，a1=1，公差d>0，数列bn为等比数列，且a(1)求数列an、b(2)设cn=an⋅bn【答案】(1)an=n；(2)13【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列与等比数列基本量的计算即可求解；（2）利用错位相减法可得Tn【详解】（1）∵a又a1∴b42=b2b∴a∴b∴q=±b∴bn=2×（2）由（1）知bn所以Tn4T错位相减得：(1−4)∴由Tn=令dnd令dn−d故当n>12且n∈N∗时，dn>dn−1；当0<又d1<0,故n≥13,n所以满足Tn>4【变式6-1】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列{an}满足a1=5，an(1)求证：{b(2)设cn=nbn【答案】(1)证明见解析(2)2+【分析】（1）由等比数列定义证明bn（2）使用错位相减法求和即可.【详解】（1）由已知，∵an+1−2∵bn∴bn又∵a1=5，∴∴易知数列{bn}中任意一项不为0∴数列{bn}是首项为2（2）由第（1）问，bn=2×2∴设数列{cn}的前nSn①×2得，2S①−②得，−S∴−S∴Sn∴数列{cn}的前n【变式6-2】（22-23高二下·江苏南京·期中）正项数列an的前n和为Sn，且2S(1)求数列an(2)设bn=a13n+【答案】(1)a(2)T【分析】（1）由Sn+1−（2）由错位相减法求bn的通项，再用分组求和求数列bn的前n项和【详解】（1）正项数列an，当n=1时，由2S由2Sn=所以2Sn+1an数列an是正项数列，所以a所以数列an所以an（2）由bn所以bn3n3n上面两式相减，得−2⋅3−2⋅3nb所以TnTn【变式6-3】（22-23高二下·湖北·期中）已知正项数列an满足a1=1(1)求an(2)设数列2nan的前n项和为S【答案】(1)a(2)存在，p【分析】（1）由已知条件可得an+1+an（2）利用错位相减法求出Sn，根据题中条件得出p【详解】（1）∵a∴a∵an为正项数列，∴a∴1an∴1（2）∵2∴S2S∴−Sn=1×2+1×22∴S∴p又pS∴2p=1∴存在p=【变式6-4】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知数列an中，a1=2，且对任意n(1)求数列an(2)若bn=2n⋅a【答案】(1)a(2)S【分析】(1)构造等比数列求通项；(2)利用错位相减法求和.【详解】（1）由an+1=2an所以数列an所以an−1=1×2（2）由（1）得bn因为Sn所以Sn2S以上两式相减得−S所以Sn【考点题型七】分组并项求和方法总结：并项求和法∶若一个数列的前n项中两两结合后可求和，则用并项求和法.【例7】（多选）（22-23高二上·江苏苏州·期中）数列an满足a1=1，an+1anA．a2n−1=12n−1 【答案】ABC【分析】根据题意求得an+2an+1an+1an=an+2an=【详解】由题意，数列an满足a所以an可得an因为a1=1，可得a2所以an的奇数项和偶数项分别构成公比为12的等比数列，且首项分别为a