串讲04 第4章 数列（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册） 课件

苏教版(2019)选择性必修第一册数学

期中考点大串讲串讲

04第4章数列考场练兵典例剖析010203目

录考点透视01考点透视考点1.数列的概念

1．定义：按照确定的________排列的一列数称为数列．2．项：数列中的__________叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号______表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用______表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用______表示．其中第1项也叫做________．3．记法：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}．顺序每一个数a1

a2

an首项考点2.数列的分类

1．按项的个数分类类别含义有穷数列__________的数列无穷数列__________的数列2．按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第2项起，每一项都______它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都______它的前一项的数列常数列各项________的数列项数有限项数无限大于小于都相等考点3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用__________来表示，那么这个________叫做这个数列的通项公式．序号n

一个式子式子考点4.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用__________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．一个式子考点5.数列的前n项和

1．定义：把数列{an}从第____项起到第____项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________________．2．数列的前n项和公式(1)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用__________来表示，那么____________叫做这个数列的前n项和公式；1

na1＋a2＋…＋an一个式子这个式子a1＋a2＋…＋an－1

Sn－Sn－1考点6.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母____表示．同一个公差d考点7.等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝________．a＋b任何两个数都有等差中项吗？提示：任何两个数都有等差中项．考点8.等差数列的通项公式

已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d．递推公式通项公式________＝d(n≥2)an＝__________(n∈N*)an－an－1

a1＋(n－1)d

考点9.等差数列的性质性质1通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)性质2若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an考点9.等差数列的性质性质3若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d性质4若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列性质5若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列性质6若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0性质7有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…性质8若数列{an}为等差数列，公差为d，则{λan＋m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列考点10.等差数列的前n项和公式

已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Sn＝________Sn＝________________考点11.等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母______表示(q≠0)．同一个常数公比q

考点12.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成__________，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝______．等比数列ab考点12.等比中项任何两个非零实数都有等比中项吗？提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．知识点三等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝a1qn－1．

考点13.

am·an＝ap·aqqn－m

qk考点14.等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项an与公比q公式Sn＝_________________Sn＝________________考点142．若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)．3．Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm．考点15.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．02典例透析考点1解(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列．考点2.数列的表示方法

写出下列数列的前5项，并作出它们的图象：(1)按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列；解：前5项为2，3，5，7，11，函数图象如图①所示．(2)an＝－n＋1．解：前5项为0，－1，－2，－3，－4，函数图象如图②所示．考点3考点3.写出数列的通项公式考点3.写出数列的通项公式(3)9，99，999，9999．解：各项加1后，变为10，100，1000，10000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*．考点4.数列通项公式的应用2．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．(1)求{an}的通项公式；(2)判断2022是不是数列{an}中的项？解：令an＝2022，即4n－2＝2022，解得n＝506，∵506∈N*，∴2022是数列{an}中的项．考点5.考点6.由递推公式求数列的通项公式【例6】

(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通项an；解当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，n∈N*．考点7.利用Sn与an的关系求通项公式已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an．(1)Sn＝2n2＋3n＋2；解：当n＝1时，a1＝S1＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，

(2)Sn＝3n－1．解：当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式，所以an＝2×3n－1(n∈N*)．考点8.等差数列的通项公式及其应用10

(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________；(3)已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝________．解析：由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58．58考点9.等差中项的应用【例题9】已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是

(

)A．2 B．3C．6 D．9B

考点10.等差数列的证明考点11.等差数列的探究

考点11.an＝am＋(n－m)d的应用已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________．解析：法一：∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8．∴b8＝2×8－8＝8．8考点12.等差数列性质的应用(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为

(

)A．0 B．37C．100 D．－37解析设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100．C考点13.等差数列中项的设法考点14.等差数列的实际应用假设某市2021年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米．2030考点15.求{|an|}的前n项和D

已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为 (

)A．56

B．58C．62 D．60考点16.等差数列前n项和最值的判断

B

考点17.等差数列前n项和最值的计算

考点17.等差数列前n项和最值的计算(2)求Tn及Tn的最小值．考点18.等差数列求和的实际应用某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40．从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10．(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；解：由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400．从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390．考点18.等差数列求和的实际应用

(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，又b20＝390－10×19＝200，所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100(人)．考点19.等比数列中的基本运算

C

考点20.等比中项在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7＝ (

)A．－4 B．±4C．－2 D．±2A

考点21.等比数列的判定与证明已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4．证明：数列{an＋4}是等比数列．证明：∵a1＝－2，∴a1＋4＝2．∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列．考点22.＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5．(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10．考点23.等比数列与等差数列的综合应用题型二等比数列与等差数列的综合应用【例2】已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值．即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6．

考点24.等比数列的实际应用

画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________．2048考点25.等比数列前n项和公式的基本运算【例25】在等比数列{an}中．(1)若S2＝30，S3＝155，求Sn；考点25.等比数列前n项和公式的基本运算(3)若a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q．解因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根．考点26.等比数列连续n项和的性质一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．解：法一：设该等比数列为{an}，公比为q，项数为2n(n∈N*)．考点27.等比数列前n项和公式的实际应用一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%．这个热气球上升的高度能超过125m吗？解：用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，即这个热气球上升的高度不可能超过125m．考点28.所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5．因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*．考点28.(2)求{an}的前20项和．所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，

①a2k＋1＝a2k＋2，

②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，

③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．考点29.并项转化法求和求和12－22＋32－42＋…＋992－1002．解：12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050．考点30.裂项相消法求和整理得(an＋1＋an)(an＋1－an)＝2(an＋1＋an)，因为an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝2，故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1．考点31.(1)求{an}和{bn}的通项公式；解设{an}的公比为q，则an＝qn－1．考点31.考点32.

考点32.上式表明当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，命题对任何n∈N*均成立．那么当n＝k＋1时，考点33.证明(1)当n＝2时，(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即考点33.则当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．考点34.

考点34.(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．下面用数学归纳法证明．03考场练兵

B

D3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝

(

)A．5 B．8C．10 D．14解析：法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8．法二：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8．B

B

C

5.《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为

(

)A．13 B．14C．15 D．16解析：由题意可知，每日所织数量构成等差数列{an}，且a2＋a5＋a8＝15，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝28，设公差为d，由a2＋a5＋a8＝15，得3a5＝15，所以a5＝5，由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28，得a4＝4，则d＝a5－a4＝1，所以a15＝a5＋10d＝5＋10×1＝15．6.若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列

(

)A．是公差为2的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为5的等差数列D．不是等差数列解析：an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列．A

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝

(

)A．63 B．45C．36 D．27B

解析：由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9＝3S6－3S3，又S3＝9，S6＝36，所以S9＝3×36－3×9＝81，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝81－36＝45．B

8．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn

(

)A．有最大值且是整数

B．有最小值且是整数C．有最大值且是分数

D．无最大值和最小值9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an＝ (

)A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－nD

解析：由题意得an＋1－an＝－1．∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋当n＝1时，