专题06 双曲线性质（考题猜想易错必刷34题14种题型）（教师版） 2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题06双曲线性质（易错必刷34题17种题型专项训练）题型大集合双曲线轨迹第一定义定义求最值焦点三角形焦点三角形面积焦点三角形内切圆双曲线“开口”求渐近线方程焦点弦定比分点第三定义焦点三角形双余弦定理焦点三角形角平分线型实轴圆型求离心率“渐渐线”型绝对值范围渐近线上点求离心率离心率范围与最值椭圆与双曲线共焦点题型大通关一．双曲线轨迹（共2小题）1．（23-24上海·期中）设圆和圆是两个定圆，动圆与这两个定圆都相切，则动圆的圆心的轨迹不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】按动圆与圆、圆内切、外切情况分类，结合椭圆、双曲线定义确定轨迹的可能情况即得.【详解】设动圆的半径为，圆和圆的半径分别是，①当，且两圆外离时，，若圆与圆、圆都外切或都内切，则有或，于是，此时点的轨迹是线段的中垂线；若圆与圆、圆一个外切一个内切，则有或，于是，此时点的轨迹是双曲线，因此此时点的轨迹是一条直线和一个双曲线，B可能；②当，且两圆内含时(不妨设)，，若圆与圆、圆都内切，则有，即有，此时点轨迹为椭圆；若圆与圆内切、与圆外切时，则有，即有，此时点轨迹为椭圆；因此点轨迹为两个椭圆，C可能；③当两圆且两圆外离时(不妨设，，若圆与圆、圆都外切或都内切，则有或，有，点轨迹为双曲线；若圆与圆、圆一个外切一个内切，则有或，有，点轨迹为双曲线，因此点轨迹为两个双曲线，D可能；而两个圆相交或相外切时，点轨迹是被直线分成的不连续的两段图形，轨迹不可能是完整的椭圆两圆内切时，点轨迹是直线被其中较大的圆分成的在该圆外部的两条射线（不含端点），A不可能.故选：A【点睛】关键点睛：涉及轨迹形状的判断问题，利用基本轨迹定理、椭圆、双曲线及抛物线定义是求解问题的关键.2．（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（

）A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在【答案】B【分析】由判断出正确答案.【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点，且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支.故选：B第一定义（共2小题）3．（22-23高二上·山西晋中·期中）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论．【详解】记双曲线的右焦点为，所以，当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．故选：C．4．（21-22高二上·四川成都·期中）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，所以，.故选：B.三．定义求最值（共2小题）5．（22-23高二上·福建福州·期中）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案.【详解】由双曲线，则，即，且，由题意，，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.6．（22-23高二·全国·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值.【详解】因为，所以要求的最小值，只需求的最小值.如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时，最小，最小值为.故的最小值为.

故选：C四．焦点三角形（共2小题）7．（2024·青海·期中）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助双曲线定义计算即可得.【详解】由双曲线定义可知：，则三角形的周长为，故.故选：D.8．（23-24高二上·广东中山·期中）圆锥曲线光学性质（如图1所示）：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.如图2，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与的反射，又回到点路线长为；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过两次反射后又回到点路线长为.若与的离心率之比为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为,由椭圆与双曲线的定义求出两个图形中三角形的周长,再出离心率的比值求得，把转化为的关系得答案.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为,在图2左边图形中,由椭圆定义可得：①，由双曲线定义可得：②，由①②可得：∴△的周长为.在图2右图中,光线从椭圆的一个焦点发出，被椭反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线ED经过，则△EDF1的周长为,又椭圆与双曲线焦点相同,离心率之比为，所以，又两次所用时间分别为m,n,而光线速度相同，所以.故选：C五．焦点三角形面积（共2小题）9．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知焦点为的双曲线C的离心率为，点P为C上一点，且满足，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线定义可得，，应用余弦定理及已知有，最后由三角形面积公式列方程求，即得实轴长.【详解】设，则，故（a为双曲线参数），所以，，故，而，则，则，，所以，故，则，故长轴长.故选：B10．（23-24高二上·吉林长春·期中）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积．【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，的周长为，由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线，，，直线的方程为，即代入整理得，解得或（舍），所以点的纵坐标为，.故选：C.六．焦点三角形内切圆（共2小题）11．（23-24高二上·湖南·期中）已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为，下列结论错误的是（

）A．的横坐标为 B． C． D．【答案】D【分析】结合双曲线的定义进行判断．【详解】设的内切圆在，，上得切点分别为，，．设切点的坐标．因为．所以，因为，的横坐标为，A正确；，所以B正确；延长交于点，因为为的角平分线，且，故．所以，所以，所以C正确．，D错．故选：D．12．（21-22高二上·四川成都·期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，点在双曲线上，为的内心，点满足，若且，记的外接圆半径为，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】设，根据点满足，得到，再由，得到的纵坐标是，然后设，由利用等面积法得到，结合椭圆的定义，由余弦定理求得，进而得到c，再利用正弦定理求解.【详解】设，由题意得，因为点满足，所以点G是的重心，则，又因为，所以轴，则的纵坐标是，所以，设，则，所以，即，则，由余弦定理得，即，解得或，所以，则，解得，故选：A双曲线“开口”（共2小题）13．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（

）A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄【答案】A【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断.【详解】因为，，又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，因为，所以，即，即，所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔.故选：A.14．（2023·上海嘉定·一模）已知四条双曲线，，，，，关于下列三个结论的正确选项为（

）①的开口最为开阔；②的开口比的更为开阔；③和的开口的开阔程度相同.A．只有一个正确 B．只有两个正确 C．均正确 D．均不正确【答案】D【分析】分别计算出四条双曲线的离心率，根据离心率越大开口更开阔进行比较.【详解】依题意，依次计算出各自的离心率可得：，比较大小知：可知：三个结论均为错误；故选：D八．求渐近线方程（共2小题）15．（23-24高二上·河南信阳·期中）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义结合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解.【详解】依题意，设，则，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，显然，即，解得，所以双曲线的渐近线方程为．故选：C【点睛】易错点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为（即），应注意其区别与联系.16．（23-24高二上·宁夏银川·期中）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的定义结合，求得，再在中，利用勾股定理求得之间的关系，从而得解.【详解】因为在双曲线中，因为，所以，则，

在中，，，所以，即，所以，所以，则，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.九．焦点弦定比分点（共2小题）17．（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在，中分别利用勾股定理可求得答案.【详解】如图．设，，则，，在中由勾股定理：，解得：，在中，由勾股定理：解得：，所以，所以渐近线方程为：.故选：A．18．（21-22高二下·福建厦门·期中）记双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于两点，且，以线段为直径的圆过点，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，在中，结合双曲线定义，利用勾股定理可构造方程求得；在中，利用勾股定理和双曲线的关系可求得，由此可得渐近线方程.【详解】设，由得：；；由双曲线定义可知：，，，；线段为直径的圆过点，；在中，，即，解得：；在中，，即，即，，，则的渐近线方程为.故选：C.十．第三定义（共2小题）19．（22-23·江苏·期中）已知双曲线：（，）的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点由直线，的斜率乘积为得到，则渐近线可求.【详解】设点，又，，则，所以，又因为点在双曲线上得，所以，故，所以则双曲线的渐近线方程为.故选：B20．（2022·四川南充·一模）双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.【详解】设，显然线段的中点坐标为，因为四边形为平行四边形，所以线段的中点坐标和线段的中点坐标相同，即为，因此点坐标为，因为直线OC，AB的斜率之积为3，所以，因为点A，B均在E上，所以，两式相减得：，所以两条渐近线方程的倾斜角为或，故选：B

【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.十一．焦点三角形双余弦定理（共2小题）21．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的定义可得，取的中点，连接，由面积可得，利用余弦定理结合双曲线离心率分析求解.【详解】由题意可知：，可得，取的中点，连接，可知，因为，可得，则，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理得，所以双曲线C的离心率为.故选：B.【点睛】方法点睛：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．22．（22-23·江西·期中）如图所示，，是双曲线：（，）的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】在和中，由正弦定理结合条件得到，设（），由双曲线的定义和勾股定理得到，结合即可求解.【详解】在中，由正弦定理得：①，在中，由正弦定理得：②，又，则，所以得：，又，则，即；设（），由双曲线的定义得：，，，由得：，解得：，所以，，在中，由勾股定理得：，整理得：，即双曲线的离心率，故选：C.十二．焦点三角形角平分线型（共2小题）23．（22-23上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别是，，点C是双曲线右支上异于顶点的点，点D在直线上，且满足，．若，则双曲线的离心率为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据得在的角平分线上，进而根据双曲线的定义以及切线长性质可判断为的内心，结合重心的向量表示以及重心的性质，即可得，进而由离心率公式即可求解.【详解】由于点D在直线上，且满足，可知在的角平分线上，设的内切圆分别与边相切于点,（如图1）则有切线长定理可得,结合双曲线的定义可得,所以的内心在直线上，故为的内心，由得,由于是的中点,所以,因此,分别延长至,使得,如图2故，因此是的重心，设由是的重心，所以，又，同理即，故由于为的内心，故到三条边的距离相等，可得,因此为直角三角形，所以，因此离心率,故选：C【点睛】本题考查了双曲线的定义和性质，以及三角形内心，重心的性质，综合性较强.对于离心率问题，要充分挖掘几何性质和图形中体现的等量关系，建立出的关系系，从而求解离心率.24．（2023·湖北·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为，所以∽，设，则，设，则，．因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以，由双曲线定义知，即，，①又由得，所以，即是等边三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化简得，把①代入上式得，所以离心率为．故选：A．十三．实轴圆型求离心率（共2小题）25．（22-23高二上·浙江台州·期中）已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，连接，则可得，然后在中利用余弦定理求得，则，从而可表示出，代入双曲线方程化简可求出离心率.【详解】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，左右焦点为，连接，因为线段的中点在圆上，所以，所以≌，所以，因为，所以，在中，由余弦定理得，因为，所以，所以，过作轴于，则，所以，所以，得，所以，，所以，所以离心率，选：A

【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意求得，然后在中利用余弦定理求出，从而可表示出点的坐标，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.26．（2023·江西抚州·期中）如图，已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的切线，切点为A，且切线在第三象限与C及C的渐近线分别交于点M，N，则（

）A．直线OA与双曲线C有交点B．若，则C．若，则C的渐近线方程为D．若，则C的离心率为【答案】D【分析】通过求出直线的方程判断其为双曲线的渐近线，从而判断A，利用双曲线的定义判断B，结合双曲线的定义和余弦定理判断C，由与渐近线的倾斜角关系求得，再变形后求得离心率，判断D．【详解】设（-c，0），（c，0），由题意可知，所以，从而直线的斜率为，由此，直线OA的斜率为，其方程为，恰好是C的一条渐近线，所以直线OA与双曲线C无交点，A错误；由双曲线的定义及2a，又，则，B错误；由，得，再由双曲线的定义，得；在中，由余弦定理，得，化简得，所以C的渐近线方程为，C错误；由及，得；设直线ON的倾斜角为α，则=，又，又，所以，解得，所以，D正确.故选：D.十四．“渐近线”型绝对值范围（共2小题）27．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知实数，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的椭圆的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，当时，其图象是位于第二象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，当时，其图象不存在，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是．故选：C．28．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知实数x，y满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用绝对值的性质化简，确定其表示的图形并作出图形，根据直线与圆的位置关系、双曲线的性质，结合点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】由，得当时，方程为，图形为单位圆在第一象限的部分（含端点）；当时，方程为，图形为双曲线在第四象限的部分；当时，方程为，图形为双曲线在第二象限的部分；当时，方程为，没有意义，不表示任何图形.作出的图形，如图，设点为曲线上的一个动点，则A到直线的距离为，由图可知，当A在圆心O到直线的垂线段上时，即时，，达到最小值；又双曲线、的一条渐近线方程为，所以小于直线与的距离，而这两直线的距离为，故，解得，即的取值范围为.故选：C【点睛】关键点点睛：解决本题问题的关键是确定方程表示的图形，以及通过A到直线的距离为的取值范围，间接求解的取值范围.十五．渐近线上点求离心率（共2小题）29．（23-24高二下·天津·期中）已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】首先求，，，再根据，结合余弦定理，即可求解.【详解】由题意，不妨设点在上，焦点到直线的距离，，，，则，，，所以,即，得，所以双曲线的离心率.故选：A30．（23-24高二下·浙江·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（

）

A． B． C．2 D．【答案】A【分析】设出直线的方程，与渐近线的方程联立，求出的坐标，由为的中点，，得为的中点，求出的坐标，代入双曲线的方程求解即可.【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为，由，解得，，即点的坐标为，由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为，代入双曲线的方程，有，即，，解得，所以双曲线的离心率为．故选：A十六．离心率范围与最值（共2小题）31．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点且点在轴上的射影恰为该双曲线的右焦点交双曲线于另一点，满足，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，可得，利用点在双曲线上，可求得，可求离心率的范围.【详解】设又由，则，可得，所以，解得，，点在双曲线上，，，故双曲线离心率的取值范围是.故选：C．32．（21-22高三下·安徽·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，点M在圆上，且C的一条渐近线上存在点N，使得四边形为平行四边形，O为坐标原点，