2024-2025学年牡丹江市一中高二数学上学期10月考试卷及答案解析

-2025学年西北师大附中高二数学上学期第一次月考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（）A.2枚都是4点B.1枚是1点，另1枚是3点C.2枚都是2点D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点【答案】D【解析】【分析】由随机变量的意义可解.【详解】A表示的是随机试验中的其中一个结果，B，C中表示的是随机试验中的部分结果，而D是代表随机试验中的所有试验结果.故选：D.2.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据事件之间的关系与运算分别判断选项即可.【详解】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，则样本空间.由题意得，，，，则，，且.即ABC都正确；又，..故D不正确.故选：D.3.番禺图书馆新馆是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所.有段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为0.5，乙前往图书馆新馆的概率0.8，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是（）A.0.9 B.0.8 C.0.5 D.0.4【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用利用独立事件及对立事件的概率公式计算即得.【详解】依题意，甲、乙两人都没前往番禺图书馆新馆的概率，所以甲、乙两人至少有一人前往番禺图书馆新馆的概率是.故选：A4.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则甲获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分三种情况，甲第一次即投中，第二次投中，第三次投中，求出相应的概率相加后得到答案.【详解】甲获胜分为三种情况，甲第一次即投中，此时概率为，甲第一次没有投中，第二次投中，乙没有投中，此时概率为，甲前两次没有投中，第三次投中，乙两次均未投中，此时概率为，故甲获胜的概率为.故选：C5.两等差数列和的前项和分别是,已知,则A.7 B. C. D.【答案】D【解析】【详解】.故选：D.【点睛】等差数列的性质的灵活应用是解决此题的关键，等差数列是比较重要的一类数列，也是高考中考查的重点内容.6.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】设等差数列公差为，利用等差数列的求和公式可求得的值，然后解不等式可得出结果.【详解】设等差数列公差为，则，.由于，所以，令，解得，所以取最大值时的为.故选：B.【点睛】本题考查等差数列前项和的最值，考查计算能力，属于中等题.7.在等比数列中，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据基本量运算求出等比数列中，从而判断是等比数列，最后应用求和公式计算即可.【详解】令的公比为，因为，所以，解得.根据等比数列的性质可知，数列是公比为首项为的等比数列，所以.故选：B.8.已知数列前n项和为，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，求出数列的递推关系，从而得数列的通项公式，然后由求和公式计算．【详解】，时，，相减得，∴，又，，所以从第二项项开始成等比数列，时，，，故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列描述正确的是（）A.若事件A，B满足，则A与B是对立事件B.若，，，则事件A与B相互独立C.掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件D.一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是【答案】BC【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，利用判断出事件A与B相互独立；C选项，根据互斥事件的定义作出判断；D选项，分两种情况进行计算.【详解】对于A，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数为1，2，3”，事件B为“点数为2，4，6”，则，但是A，B不是对立事件，故A不正确；对于B，，，故B正确；对于C，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以不是互斥事件，故C正确；对于D，若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，若第一次摸到绿球，则第二次摸到红的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故D不正确.故选：BC10.已知等差数列{an}的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（）A. B.C.当且仅当时，取得最大值 D.当时，n的最大值为20【答案】BD【解析】【分析】分别运用等差数列求和公式以及等比中项的性质，列方程可得首项和公差，可判断A，B；判断数列{an}中小于0的项以及大于0的项，可判断C；由解不等式可判断【详解】因为，故，又，整理得到：，故，，故A错，B正确.可得，当时，；当时，；当时，，故当、时，取得最大值，故C错误.又，令，则，即n的最大值为20，故D正确.故选：BD.11.已知数列满足，，，则（）A.是等比数列 B.C.是递增数列 D.【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件探求数列的特性，再逐项分析计算判断作答.【详解】数列满足，，，则，，数列是首项为，公比为3的等比数列，A正确；，则，B不正确；，则，是递增数列，C正确；，当时，，则，当时，，当时，，即，，D正确.故选：ACD【点睛】易错点睛：等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，漏掉对的讨论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________．【答案】【解析】【分析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.【详解】与对立，，与互斥，.故答案为：.13.在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______【答案】18【解析】【分析】根据题意和等比数列的性质，求得，，进而求得等比数列的通项公式，得到，在由等差数列的求和公式，得到，再结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】因为为各项均为正数的等比数列，且公比，由，可得，为方程的两根，又由，所以，，得，即，所以，由，所以为等差数列，所以，则，即数列也为等差数列，所以，结合二次函数的图象与性质，可得当或9时，最大，最大值为18．故答案为：18．14.等差数列前13项和为91，正项等比数列满足，则______．【答案】13【解析】【分析】利用等差数列和等比数列的下标和性质求解可得.【详解】由题知，，解得，所以，所以.故答案为：13四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.（1）数列是否为等差数列？说明理由．（2）求an.【答案】（1）是等差数列，理由见解析；（2）an＝.【解析】【分析】（1）由已知得－＝，根据等差数列的定义可得证；（2）根据等差数列的通项公式可求得答案.【详解】解：（1）数列是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，所以数列是以首项为＝，公差为d＝的等差数列．（2）由（1）可知，＝＋(n－1)d＝，∴an＝.16.习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?【答案】（1）2000，（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解．【小问1详解】由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以，解得.【小问2详解】由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人，因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后，心理等级均达不到良好的概率为，所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.17.设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.（1）试分别求出事件B和事件C发生的概率；（2）试求A、B、C只有一个发生的概率.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解.【小问1详解】由题意得：，，即，解得：或【小问2详解】设A、B、C只有一个发生的概率为P，当时，则；当时，同理可得：，综上：A、B、C只有一个发生的概率为18.已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）利用关系及等比数列定义求通项公式，利用等差数列的通项公式求基本量，即得的通项公式；（2）应用错位相减、等比数列前n项和公式求.【小问1详解】当时，，解得.当时，,，两式相减得，即，所以是首项、公比均为2的等比数列，故.设等差数列的公差为d，由，可得，又，所以，解得，故.【小问2详解】令，由（1）知，则，①，②①—②，得，所以.19.已知数列满足：，．（）求，，的值．（）求证：数列是等比数列．（）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．【答案】（1），，；（2）见解析；（3）【解析】【详解】试题分析：（1）根据递推关系求值即可．（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列是以为首项，以为公比的等比数列．（3）由（）可得，故，作差判断可得数列前三项递增，从第四项开始递减，于是可得数列的最大项为．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得所求范围．试题解析：（）由题意，，，，计算可得，，．（）由题意可得，，，两式相减得，即，∴，又