江西省上饶市玉山文苑学校2024-2025学年高三上学期第二次检测数学试卷

江西省上饶市玉山文苑学校2024-2025学年高三上学期第二次检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知，则（

）A． B． C． D．4．在中，，若，则（

）A． B． C． D．5．若圆与圆交于两点，则的最大值为（

）A． B． C． D．6．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（

）A． B． C． D．7．已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且，则下列说法正确的是（

）A． B．为递增数列C．为递减数列 D．8．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（

）A．(1,+∞) B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数，设，则（

）A． B．C． D．10．如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（

）A．该几何体的体积B．直线PD与平面ABCD所成角的正切值为C．异面直线AP与CC1的夹角正弦值为D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上11．设函数，则（

）A．当时，是的极大值点B．当时，有三个零点C．若满足，则D．当时，若在上有最大值，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中面ABCD为正方形．若，，且EF与面ABCD的距离为2cm，则该楔体形构件的体积为.

13．已知为曲线上的动点，则的最大值为.14．已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15．（13分）新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元．(1)求出y关于x的函数关系式；(2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）．16．（15分）已知向量，函数.(1)求的最小正周期;(2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围.17．（17分）如图，在四棱锥中，，侧面平面．(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积．18．（15分）已知为坐标原点，双曲线的焦距是实轴长的倍，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于两点，且．(1)求双曲线的标准方程；(2)过双曲线的右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值．19．（17分）记是公差不为的等差数列an的前项和，已知，，数列bn满足，且.(1)求an(2)证明数列是等比数列，并求数列bn的通项公式；(3)求证：对于任意正整数，参考答案1．A【分析】根据题意，利用函数的定义域与值域的求法，求得和，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由函数，可得，又由函数有意义，可得，解得，所以，所以.故选：A.2．C【分析】根据“函数”的定义确定的值域为，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知的定义域为，又因为函数是“函数”，故其值域为；而，则值域为；当时，，当时，，此时函数在上单调递增，则，故由函数是“函数”可得，解得，即实数的取值范围是，故选：C3．C【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，，而.故选：C4．B【分析】先由求出AB=AC即，接着由余弦定理结合数量积的运算律计算得，再由平面向量模的求法即可计算比较得解.【详解】设的角A、B、C的对边为a、b、c，因为，所以，所以，故，所以AB=AC，即所以，

所以，，，因为，所以，即.故选：B.5．D【分析】分析出圆M与圆N的公共弦AB，满足，当的坐标为1,0时，，利用余弦定理计算可得,由余弦函数的单调性确定最大，即为最大，计算即可得出结果.【详解】可化为，故圆N的圆心为，半径为，由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，所以且，故，当的坐标为1,0时，，在中，，又，在上单调递减，故为锐角，且当时，最大，又在上单调递增，所以当最大时，取得最大值，且最大值为.故选：D6．A【分析】求得第一次打击后就有部位损坏的概率和两个部位都损坏的概率，再由条件概率公式代入即可求解.【详解】解题分析记事件：第一次打击后就有部位损坏，事件两个部位都损坏，则，由条件概率公式可得.故选：A7．A【分析】由题意公比，利用求出公比为，可判断ABC选项；利用等比数列前项和公式求判断D.【详解】，，则，由，且，得，即，解得，故A对；，不为单调数列，故B，C错；又，故D错，故选：A.8．D【分析】通过对进行分类讨论，利用导数来判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理，判断出函数在定义域上的零点，进而得出结果．【详解】因为，所以当时，由，解得或，且有，，当，，在区间上单调递增；当，，在区间上单调递减；当，，在区间上单调递增；又，则需，所以；当时，令，解得或，且有，，当，，在区间上单调递减；当，，在区间上单调递增；当，，在区间上单调递减；又,所以仅有一个负数零点，所以满足题意；综上，的取值范围是或．故选：D.9．BC【分析】分别构造函数，，设，再应用函数的单调性即可判断A,B,C选项，应用基本不等式计算判断D.【详解】对于A，设在上单调递增，由，得，即，故A错误；对于B，设，，则在上单调递减，由，得，故B正确；对于C，设，则，所以，当且仅当时取等号，即，故C正确；对于D，由，得，所以（当且仅当时等号成立）；再结合，得，故D错误．故选：BC．【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数再应用函数单调性判断选项.10．ABD【分析】对于A，根据长方体和棱锥的体积公式求解即可；对于B，连接交于，连接，则可得为直线与平面所成角，然后求解即可；对于C，由于,则可得的补角为异面直线与的夹角，然后在中求解即可；对于D，先求出长方体的外接球半径，然后判断点是否在该球上即可.【详解】对于A，该几何体的体积为，故A正确；对于B，连接交于，连接，由题意可知四棱锥为正四棱锥，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为正方形的边长为1，所以，所以，故B正确；对于C，设，因为，所以或其补角为异面直线与的夹角,且，所以，所以异面直线与的夹角余弦值为，故C错误；对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为，则为的中点，且，得，因为，所以点长方体的外接球上，所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，故D正确.故选：ABD.11．AC【分析】根据导数的形式讨论导数的符号后可判断A的正误，再讨论单调性后可判断BD的正误，根据题设中的恒等式可求的值，故可判断C的正误.【详解】对于A，，当时，或时，f'x<0；当时，f'x故为的极大值点，故A正确；对于B，当时，由A的分析同理可得：当或时，f'x>0；当时，f'故在为减函数，在上为增函数，而，，，故只有一个零点；对于C，，由题设可得恒成立，故即，故C正确.对于D，取，由B的分析可得：在为增函数，在上为减函数，在为增函数，而，，此时在无最大值，故选：AC.12．【分析】作辅助线，将五面体分割为三棱柱与四棱锥，再利用锥体与柱体的体积关系计算该几何体的体积．【详解】由五面体ABCDEF可知，四边形与四边形都为平面四边形.如图所示，分别取，的中点，，连接，，，

因为面为正方形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，因为，分别为，的中点，，，所以，则四边形为平行四边形，同理四边形也为平行四边形.则，平面，平面，所以平面，同理平面，又，且平面，平面，所以平面平面，又四边形也是平行四边形，所以几何体为三棱柱，已知EF与面ABCD的距离为2cm，即点到平面的距离.由题意，；又；所以该五面体的体积．故答案为：.13．/【分析】化简曲线方程，三角换元，利用三角恒等变换化简后求最值即可.【详解】曲线即，由于在曲线上，令，则，（其中，，不妨设），，又，，当时取得最大值.故答案为：14．【分析】由曲线与关于直线对称，将问题转化为曲线与有个交点，即方程有个不同的实根，进而转化为和有两个交点，利用导数求函数的大致图象，结合图象即可求解.【详解】曲线与关于直线对称，又点关于直线的对称点在曲线上，曲线与有个交点，即有个不同的实根，即方程有个不同的实根，设函数，则，当时，h'x>0，hx在上单调递增，当时，h'x<0，h，再根据当时，，当时，，作出hx由于直线过定点，当直线与hx的图象相切时，设切点为，此时，即，可得，此时切线的斜率为，由图可知，时，直线与hx的图象有个交点，实数的取值范围为0,1，故答案为：0,1.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.15．(1)(2)20万元【分析】（1）根据已知条件，设出二次函数的顶点式，再结合题意列出式子即可求解；（2）结合（1）的结论，先求出，再结合基本不等式的公式即可求解.【详解】（1）因为营运六年时总利润最大，最大为110万元，所以二次函数的开口向下，且顶点坐标为，所以设该函数为，营运三年时总利润为20万元，即，解得，所以.即.（2）由（1）知，所以营运的年平均总利润为，当且仅当，即时，等号成立，故营运的年平均总利润的最大值为20万元.16．(1)(2).【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；（2）由题意转化为与函数在区间上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【详解】（1），的最小正周期；（2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根，即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，令，作出的图象与直线，如图.由图知，当时，的图象与直线有两个交点，实数的取值范围为.17．(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)2.【分析】（1）取的中点M，连接，由得到，再根据侧面平面得到平面，得到；进而结合条件即可证得平面.（2）由（1）易得，由可得，从而，进而证得平面.（3）由（1）易得为直线与平面所成的角,,易得，根据棱锥的体积公式即可求得解.【详解】（1）证明：在△中，取的中点M，连接，因为，所以，因为侧面平面，且侧面平面，平面所以平面，因为平面，所以，又，，平面，所以平面.（2）由（1）知平面，又平面，所以，在△中，因为，所以，所以，在同一平面中，因为，，所以，因为平面，平面，所以平面.（3）由（1）知平面，连接，则为直线与平面所成的角.在Rt△中，，所以,在Rt△中，，所以，解得.故三棱锥的体积.18．(1)(2)【分析】（1）设Px0,y0，求出过点作的两条渐近线的平行线方程，再利用和（2）设直线，，直曲联立，利用韦达定理，三点共线，斜率之积为，列出等式求出点坐标，结合向量关系得到四边形是平行四边形，然后再由弦长公式，点到直线的距离公式，以及换元法求导分析单调性，求最小值即可求解；【详解】（1）

设Px0,y0过点作的两条渐近线的平行线方程分别为：，则不妨取，于是，又，且，可得，所以双曲线方程为，（2）

设直线，，联立方程，可得，①，，由于直线与双曲线的左右两支相交，所以方程①有两个同号的实根，，故，由三点共线得，②由得，③由②③解得，由可知，四边形是平行四边形，所以，，，，令，则，则，令，则，令，所以在上单调递减，在上单调递增