2024-2025学年天津市和平区汇文中学九年级（上）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年天津市和平区汇文中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、单选题1．下列图案中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，与点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）3．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）4．与y＝2x2+3x+1形状相同的抛物线解析式为（）A．y＝1+x2 B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝﹣2x25．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝576．把抛物线有y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6 C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣67．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝0的一个根，则a的值为（）A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣48．某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，那么可列方程为（）A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a9．已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定10．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC11．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或12．把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示①当AF的长是12cm时，BC的长为8cm；②这两个正方形的面积之和可以是198cm2；③这两个正方形的面积之和可以是288cm2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13．已知关于x的方程+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为．14．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面宽度增加m．15．平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O逆时针旋转90°．16．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，则汽车刹车后前进了m停下来．17．若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2﹣3＝0的两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝x1•x2，则k的值为．18．如图所示，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的顶点O是坐标原点（﹣6，0），直角顶点B在第二象限，把△ABO绕点O旋转15°到△A1B1O，点A与A1对应，点B与点B1对应，那么点B1的坐标是．三、解答题19．解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）3x（x﹣2）＝5（2﹣x）．20．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝21cm，动点P从点C出发，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1cm/s．（1）那么运动几秒时，它们相距15cm？（2）△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？22．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝2S△BOC，求点P的坐标．23．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/件…363432…（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？24．△ABC是等腰直角三角形，点D是△ABC外部的一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，CE（1）如图1，当点D在线段EC上时，线段EC与线段BD的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，线段EC交BD于点P，此时（1），请说明理由；（3）如图3，线段EC交BD于点P，点Q是AC边的中点，PQ，当DC＝3时25．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

2024-2025学年天津市和平区汇文中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．下列图案中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据概念，知A、B、D既是轴对称图形；C、既不是轴对称图形．故选：C．2．在平面直角坐标系中，与点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（4，5）【解答】解：点（4，﹣5）关于原点对称的点的坐标为：（﹣3．故选：B．3．二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）【解答】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+6，∴二次函数图象的顶点坐标是（2，3）．故选：A．4．与y＝2x2+3x+1形状相同的抛物线解析式为（）A．y＝1+x2 B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝﹣2x2【解答】解：根据题意a＝±2．故选：D．5．用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57【解答】解：∵x2+8x+6＝0，∴x2+4x＝﹣7，⇒x2+4x+16＝﹣7+16，∴（x+4）6＝9．∴故选：A．6．把抛物线有y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6 C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣6【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）4+3的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是（﹣3∴所得抛物线解析式是y＝﹣2（x+1）6+6．故选：C．7．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝0的一个根，则a的值为（）A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4【解答】解：∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2＝5的一个根，∴4+5a+a6＝0，∴（a+1）（a+2）＝0，解得a1＝﹣8，a2＝﹣4，故选：B．8．某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，那么可列方程为（）A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a【解答】解：设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为n2＝a，故选：A．9．已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定【解答】解：∵点A（0，y1）、B（4，y2）是二次函数y＝（x﹣2）5+1图象上的两点，∴y1＝3，y2＝2．∴y8＞y2．故选：A．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，则下列结论一定正确的是（）A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC【解答】解：A、∵AB＝AC，∴AB≥AM，由旋转的性质可知，AN＝AM，∴AB≥AN，故本选项结论错误；B、当△ABC为等边三角形时，除此之外，故本选项结论错误；C、由旋转的性质可知，∠ABC＝∠ACN，∵AM＝AN，AB＝AC，∴∠ABC＝∠AMN，∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确；D、只有当点M为BC的中点时，才有MN⊥AC，不符合题意；故选：C．11．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或【解答】解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y最大＝﹣（﹣7﹣m）2+m2+8＝4，解得m＝﹣，当﹣2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m3+1＝4，解得m＝﹣；当m＞1，x＝1时，y最大＝﹣（4﹣m）2+m2+5＝4，解得m＝2，综上所述：m的值为﹣或2，故选：B．12．把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示①当AF的长是12cm时，BC的长为8cm；②这两个正方形的面积之和可以是198cm2；③这两个正方形的面积之和可以是288cm2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①当AF的长是12cm时，BC的长是（80﹣12×4）÷4＝3（cm）；②假设这两个正方形的面积之和可以是198cm2，设AF的长为xcm，则BC的长为（80﹣4x）÷4＝（20﹣x）cm，根据题意得：x2+（20﹣x）2＝198，整理得：x4﹣20x+101＝0，∵Δ＝（﹣20）2﹣3×101＝﹣4＜0，∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是198cm6，结论②不正确；③假设这两个正方形的面积之和可以是288cm2，设AF的长为ycm，则BC的长为（80﹣4y）÷4＝（20﹣y）cm，根据题意得：y2+（20﹣y）2＝288，整理得：y4﹣20y+56＝0，解得：y1＝10﹣6，y2＝10+2，∵3＜10﹣2＜10+2，∴符合题意，∴假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是288cm3，结论③正确．∴正确的结论有2个．故选：C．二、填空题13．已知关于x的方程+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为﹣1．【解答】解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝7，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣7．故答案为：﹣1．14．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面宽度增加（4﹣4）m．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，OA＝OB＝，抛物线顶点C坐标为（8，通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x5+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣8时，对应的抛物线上两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2＝﹣3.5x2+8，解得：x＝±2，所以水面宽度增加到6米﹣2）米，故答案为：4﹣6．15．平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O逆时针旋转90°（﹣6，﹣4）．【解答】解：如图，过A作A ，过A′作A′B⊥y轴于点B，则AC＝4，CO＝6，又∵∠AOA′＝90°，∴∠A+∠AOC＝∠AOC+∠BOA′＝90°，∴∠A＝∠BOA′，又∵AO＝A′O，∴△AOC≌△OA′B（AAS），∴A′B＝OC＝7，OB＝AC＝4，∴A′（﹣6，﹣5），故答案为：（﹣6，﹣4）．16．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，则汽车刹车后前进了m停下来．【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣2（t﹣）5+，∵﹣6＜3，∴当t＝时，s有最大值，∴汽车刹车后到停下来前进了m．故答案为：．17．若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2﹣3＝0的两个实数根x1，x2，且满足x1+x2＝x1•x2，则k的值为．【解答】解：由根与系数的关系，得x1+x2＝﹣k，x3x2＝4k2﹣3，又∵x1+x8＝x1x2，所以﹣k＝4k2﹣3，即8k2+k﹣3＝2，解得k＝或﹣4，因为△≥0时，所以k2﹣8（4k2﹣6）≥0，解得：≤k≤，∴k＝．故答案为：．18．如图所示，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的顶点O是坐标原点（﹣6，0），直角顶点B在第二象限，把△ABO绕点O旋转15°到△A1B1O，点A与A1对应，点B与点B1对应，那么点B1的坐标是（﹣，）或（﹣，）．【解答】解：如图所示：若△AOB绕点O逆时针旋转15°得到△A'OB'，过B'作B'C⊥y轴，又∵∠AOB＝45°，∴∠BOC＝45°，∴∠B'OC＝30°，∵点A的坐标是（﹣6，0），∴AO＝5，∴B'O＝BO＝cos45°×6＝3，∴B'C＝B'O＝B'C＝，∴点B'的坐标是（﹣，）；如图所示：若△AOB绕点O顺时针旋转15°得到△A'OB'，过B'作B'C⊥y轴，同理可得，∠AOB'＝30°，∴∠CB'O＝30°，∴B'C＝B'O＝B'C＝，∴点B'的坐标是（﹣，）；综上所述，点B'的坐标是（﹣，，）．故答案为：（﹣，）或（﹣，）．三、解答题19．解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）3x（x﹣2）＝5（2﹣x）．【解答】解：（1）x2+4x﹣4＝0，x2+2x＝1，x2+8x+4＝5，（x+6）2＝5，，x+2＝或x+2＝﹣，解得，；（2）8x（x﹣2）＝5（8﹣x），3x（x﹣2）﹣3（2﹣x）＝0，4x（x﹣2）+5（x﹣2）＝0，∴（3x+4）（x﹣2）＝0，∴4x+5＝0或x﹣3＝0，∴x1＝5，．20．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）【解答】解；（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，可得P点坐标为：（，0）．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝21cm，动点P从点C出发，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1cm/s．（1）那么运动几秒时，它们相距15cm？（2）△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？【解答】解：（1）设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，依题意，得：t2+（21﹣t）2＝154，解得：t1＝9，t6＝12，∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米；（2）△PCQ的面积不能等于60平方厘米，理由如下：设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，依题意，得：，整理，得：x2﹣21x+120＝0，∵Δ＝（﹣21）2﹣4×1×120＝﹣39＜7，∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．22．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝2S△BOC，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，∴点B的坐标为（2．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x5+2x﹣3．（2）∵将x＝4代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣2）．∴OC＝3．∵点B的坐标为（1，2），∴OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+4a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴OC•|a|＝，即×8×|a|＝2×，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（5；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2．∴点P的坐标为（3，5）或（﹣2．23．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/件…363432…（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函表格可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y＝﹣4x+60；（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，解得：x1＝18，x7＝22又∵10≤x≤19，∴x＝18，答：销售单价应为18元．（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x3+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200∵a＝﹣8＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，∴当x＝19时，w有最大值，w最大＝198．答：当销售单价为19元时，每天获利最大．24．△ABC是等腰直角三角形，点D是△ABC外部的一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，CE（1）如图1，当点D在线段EC上时，线段EC与线段BD的数量关系是BD＝CE，位置关系是BD⊥CE；（2）如图2，线段EC交BD于点P，此时（1），请说明理由；（3）如图3，线段EC交BD于点P，点Q是AC边的中点，PQ，当DC＝3时【解答】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴∠DAE＝90°，AE＝AD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∴∠ACE+∠DBC+∠ACB＝∠ABD+∠DBC+∠ACB＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CE；故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）（1）中线段EC与线段BD的关系依然成立；理由：∵△AB