2024-2025学年黑龙江省哈工大附中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）

第1页（共1页）2024-2025学年黑龙江省哈工大附中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标是（）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）2．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如果等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm4．（3分）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100° B．100°或40° C．40° D．80°5．（3分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c，给出以下条件（）A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3 B．a：b：c＝2：2：1 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B+∠C6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若∠BDC＝84°，则∠A等于（）A．64° B．52° C．48° D．42°8．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，垂足为D，交AC于点E，BD＝1，BC＝3（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.59．（3分）到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点10．（3分）下列说法中，正确的有（）个．①两个全等的三角形一定关于某直线对称；②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）如果A（﹣2，4），B（a，﹣4）关于x轴对称，则a＝．12．（3分）小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是．13．（3分）如图，△ABC中∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于D，且∠CAB：∠CAE＝4：1．则∠C＝°．14．（3分）如图，长方形ABCD，沿对角线BD折叠，BF交AD于点E，若长方形ABCD的周长为16．15．（3分）△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交直线AC于点D，则∠ACB是度．16．（3分）如图，锐角△ABC的高AD、BE相交于F，若BF＝AC，CD＝2，则AF的长为．17．（3分）如图，点P关于OA、OB的对称点是H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，则∠CPD＝°．18．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，BE交AD于点F，AG⊥EF于点G，DF＝1，求FG的长为．三、解答题（19题10分，20～21题各8分，22～25题各10分）19．（10分）（1）解方程组：；（2）解不等式组：．20．（8分）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，C，A′，B′均在网格点上．（1）已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整：（2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为；（3）在直线l上画出点P，使得PA+PC最短．21．（8分）若关于x，y二元一次方程组的解x（1）求a的取值范围；（2）若x，y的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为1522．（10分）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，若△ABC的边长为1，AE＝2（请你画出相应图形，并直接写出结果）．23．（10分）北京时间2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，计划购进A、B两种型号运载火箭模型进行销售，据了解；3件A种型号运载火箭模型和2件B种型号运载火箭模型的进价共计130元．（1）求A，B两种型号运载火箭模型每件的进价分别为多少元？（2）若该超市计划用不超过800元的资金购进这两种型号运载火箭模型共30件，求A种型号运载火箭模型最多能购买多少件？24．（10分）如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（0，6），B（﹣6，0），△ABC的面积为36．（1）求点C的坐标；（2）如图2，P为线段OC上一点，P不与O、C重合，设PC＝m，请用含m的式子表示△ABD的面积；（不要求写出m的取值范围）（3）如图3，在（2）的条件下，当△ABD面积为18时，连接DF，请判断∠ADB与∠CDF的数量关系并说明理由．25．（10分）已知，在△ABC中，∠B＝30°，点E在BC边上，连接DE（1）如图1，求∠CED的度数；（2）如图2，当AC＝CD时，求证：DE＝AB；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，取BE的中点F，连接AF，连接FG，若∠AFG＝2∠D，求AG的长．

2024-2025学年黑龙江省哈工大附中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标是（）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）【解答】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，∴点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标为（3．故选：C．2．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，故都符合题意，故选：D．3．（3分）如果等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A．9cm B．12cm C．12cm或15cm D．15cm【解答】解：当腰为3cm时，3+5＝6，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，8﹣3＜6＜6+3；此时等腰三角形的周长为6+7+3＝15cm．故选：D．4．（3分）等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100° B．100°或40° C．40° D．80°【解答】解：当80°的外角在底角处时，则底角＝180°﹣80°＝100°，故此种情况不成立．因此只有一种情况：即80°的外角在顶角处．则底角＝80°÷2＝40°；故选：C．5．（3分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c，给出以下条件（）A．∠A：∠B：∠C＝1：1：3 B．a：b：c＝2：2：1 C．∠B＝50°，∠C＝80° D．2∠A＝∠B+∠C【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝1：1：3，故A是等腰三角形；B、a：b：c＝2：2：2，故B是等腰三角形；C、∠B＝50°，∴∠A＝∠B＝50°；D、2∠A＝∠B+∠C，∠B+∠C＝120°；故选：D．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【解答】解：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），∵AD＝3cm，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝7cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．∴AB的长度是12cm．故选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若∠BDC＝84°，则∠A等于（）A．64° B．52° C．48° D．42°【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，∴，又∵∠BDC+∠ACB+∠CBD＝180°，∠BDC＝84°，∴84°+∠ABC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝64°，∴∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣5×64°＝52°，故选：B．8．（3分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，垂足为D，交AC于点E，BD＝1，BC＝3（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠BCD，∵BE⊥CD，∴∠EDC＝∠BDC＝90°，在△EDC和△BDC中，，∴DE＝BD，EC＝BC，∵BD＝1，BC＝3，∴DE＝BD＝7，EC＝BC＝3，∴BE＝DE+BD＝2，∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE＝3，∴AC＝AE+EC＝5．故选：C．9．（3分）到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点【解答】解：到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．故选：D．10．（3分）下列说法中，正确的有（）个．①两个全等的三角形一定关于某直线对称；②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵两个全等的三角形不一定关于某直线对称，∴两个全等的三角形一定关于某直线对称错误，故①错误；②∵关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；③∵等腰三角形底边的高和中线、顶角的角平分线互相重合，∴等腰三角形的高、中线；故③错误；④∵等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故正确；故选：B．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）如果A（﹣2，4），B（a，﹣4）关于x轴对称，则a＝﹣2．【解答】解：两点关于x轴对称，横坐标不变，∵A（﹣2，4），﹣7）关于x轴对称，∴a＝﹣2，故答案为：﹣2．12．（3分）小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是10：21．【解答】解：∵镜面所成的像为反像，∴此时电子表的实际读数是10：21．故答案为10：21．13．（3分）如图，△ABC中∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于D，且∠CAB：∠CAE＝4：1．则∠C＝28°．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠CAB：∠CAE＝4：1，∴设∠CAB＝3x°，∠EAC＝x°，∴∠C＝∠EAC＝x°，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴40+4x+x＝180°，解得：x＝28．∴∠C＝28°．故答案为：28．14．（3分）如图，长方形ABCD，沿对角线BD折叠，BF交AD于点E，若长方形ABCD的周长为168．【解答】解：∵∠CBD＝∠FBD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED，∵长方形ABCD的周长为16，∴，∴C△ABE＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝8，故答案为：8．15．（3分）△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交直线AC于点D，则∠ACB是61或29度．【解答】解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠BAC＝∠ABD，∵∠BDA＝64°，∴∠BAC＝∠ABD＝58°，∴∠ACB＝61°；如图2，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠ABD，∵∠BDA＝64°，∴∠BAD＝∠ABD＝58°，∴∠BAC＝122°，∴∠ACB＝29°．故∠ACB是61或29度．故答案为：61或29．16．（3分）如图，锐角△ABC的高AD、BE相交于F，若BF＝AC，CD＝2，则AF的长为3．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DBF+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，在△BDF与△ADC中，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴AD＝BD＝BC﹣CD＝7﹣2＝6，DF＝CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝3；故答案为：3．17．（3分）如图，点P关于OA、OB的对称点是H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，则∠CPD＝100°．【解答】解：连接OP．∵P关于OA、G，∴OA垂直平分PH于R，OB垂直平分PG于T，∴CP＝CH，DG＝DP，∴∠PCD＝2∠CHP，∠PDC＝2∠DGP，∵∠PRC＝∠PTD＝90°，∴在四边形OTPR中，∴∠RPT+∠AOB＝180°，∵∠POC＝∠COH，∠POD＝∠DOG，∴∠AOB＝40°∴∠RPT＝180°﹣40°＝140°∴∠CHP+∠PGD＝40°，∴∠PCD+∠PDC＝80°∴∠CPD＝180°﹣80°＝100°．或∠CPD＝∠CPO+∠DPO＝∠OHG+∠OGH＝180°﹣∠GOH＝100°．故答案为100．18．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，BE交AD于点F，AG⊥EF于点G，DF＝1，求FG的长为．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠BCE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE＝4，∠D＝∠E，∴AF＝AD﹣DF＝4﹣4＝3，∵∠FBD＝∠CBE，∴∠D+∠FBD＝∠E+∠CBE，即∠AFB＝∠ACB＝60°，∵AG⊥EF，∴∠FAG＝30°，∴，故答案为：．三、解答题（19题10分，20～21题各8分，22～25题各10分）19．（10分）（1）解方程组：；（2）解不等式组：．【解答】解：（1），由x+y＝8，得：y＝7﹣x①，由5x﹣2（x+y）＝﹣8，得：3x﹣2y＝﹣6②，将①代入②，得：3x﹣2（4﹣x）＝﹣1，解得：x＝3，把x＝3代入①得：y＝5，∴该方程组的解是；（2），解：解不等式①得：x≥2， 解不等式②得：x＜2，∴该不等式组的解集是：1≤x＜7．20．（8分）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，C，A′，B′均在网格点上．（1）已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整：（2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（﹣a，b）；（3）在直线l上画出点P，使得PA+PC最短．【解答】解：（1）如图，△ABC和△A′B′C′即为所求；（2）由题意可得，点A′的坐标为（﹣a．故答案为：（﹣a，b）；（3）如图，点P即为所求．21．（8分）若关于x，y二元一次方程组的解x（1）求a的取值范围；（2）若x，y的值恰好是一个等腰三角形的腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为15【解答】解：（1），解得：，由题意得：x＞0，y＞0，∴，解得：a＞1；（2）由（1）可得：，分两种情况：当等腰三角形的腰长为x，底边长为y时，∵等腰三角形的周长为15，∴2x+y＝15，2（a﹣4）+a+2＝15，2a﹣6+a+2＝15，3a＝15，a＝8，∴x＝4，y＝7，∵4+4＝8＞4，∴能组成三角形；当等腰三角形的腰长为y，底边长为x时，∵等腰三角形的周长为15，∴x+2y＝15，a﹣1+7（a+2）＝15，a﹣1+6a+4＝15，3a＝12，a＝3，∴x＝3，y＝6，∵5+6＝9＞5，∴能组成三角形；综上所述：a＝4或5．22．（10分）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，若△ABC的边长为1，AE＝2（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝8，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝23．（10分）北京时间2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，计划购进A、B两种型号运载火箭模型进行销售，据了解；3件A种型号运载火箭模型和2件B种型号运载火箭模型的进价共计130元．（1）求A，B两种型号运载火箭模型每件的进价分别为多少元？（2）若该超市计划用不超过800元的资金购进这两种型号运载火箭模型共30件，求A种型号运载火箭模型最多能购买多少件？【解答】解：（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意，得：，解得：，答：A种飞船模型每件进价30元，B种飞船模型每件进价20元； （2）设购进a件A型飞船模型，根据题意，得30a+20（30﹣a）≤800，解得：a≤20，∴a的最大整数解为20，答：A种型号运载火箭模型最多能购买20件．24．（10分）如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（0，6），B（﹣6，0），△ABC的面积为36．（1）求点C的坐标；（2）如图2，P为线段OC上一点，P不与O、C重合，设PC＝m，请用含m的式子表示△ABD的面积；（不要求写出m的取值范围）（3）如图3，在（2）的条件下，当△ABD面积为18时，连接DF，请判断∠ADB与∠CDF的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）平面直角坐标系中，O为坐标原点，6），0），设点C的坐标为（c，∴BC＝c+6，∵△ABC的面积为36，∴，解得：c＝6，∴点C的坐标为（2，0）；（2）由题意得：OA＝OC＝6，∴，∵PD⊥x轴交AC于点D，设PC＝m，∴∠DPC＝90°，∴△PDC为等腰直角三角形，∴PD＝PC＝m，∴，∴，，∴，∴＝＝36﹣6m；（3）∠CDF＝∠ADB；理由如下：连接OD，高BD与OA交于点G∵△ABD面积为18，∴36﹣8m＝18，解得：m＝3，∴，∴，∴AD＝CD，∵OA＝OC，∴OD⊥AC，，∴∠ODC＝∠ODA＝90°，∴∠ODF+∠CDF＝90°，∠ODG+∠ADB＝90°，∵AF⊥BD，∴∠BEF＝90°，∴∠BFE+∠EBF＝90°，∵∠BFE+∠OAF＝90°，∴∠EBF＝∠OAF，在△OBG和△OAF中，