2024八年级数学上册第13章全等三角形练素养2.等腰三角形中作辅助线的八种常用方法习题课件新版华东师大版

华师版八年级上第13章全等三角形集训课堂练素养2.等腰三角形中作辅助线的八种常用方法

几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使

隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”

中的“一线”或平行线证线段相等，利用截长补短法证线段

和、差关系或求角的度数，利用倍长中线法证线段的倍分关

系等，将不在同一个三角形中的线段转移到同一个三角形

(或两个全等三角形)中，然后运用等腰(或全等)三角形的性

质来解决问题.方法1构造“三线合一”1.

如图，在△

ABC

中，

AC

＝2

AB

，

AD

平分∠

BAC

交

BC

于

D

，

E

是

AD

上一点，且

EA

＝

EC

.

求证：

EB

⊥

AB

.

12345678【证明】如图，作

EF

⊥

AC

于点

F

，则∠

AFE

＝90°.

∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAE

＝∠

FAE

.

又∵

AE

＝

AE

，∴△

ABE

≌△

AFE

(S.A.S.).∴∠

ABE

＝∠

AFE

＝90°.∴

EB

⊥

AB

.

12345678方法2作平行线构造等腰三角形2.

如图，点

E

在△

ABC

的

AC

边的延长线上，点

D

在

AB

边

上，

DE

交

BC

于点

F

，

DF

＝

EF

，

BD

＝

CE

.

求证：△

ABC

是等腰三角形.12345678【证明】如图，过点

D

作

DG

∥

CE

交

BC

于点

G

，则∠

E

＝∠

FDG

.

在△

ECF

和△

DGF

中，

∴△

ECF

≌△

DGF

(A.S.A.).∴

CE

＝

GD

.

∵

BD

＝

CE

，∴

BD

＝

GD

.

∴∠

B

＝∠

DGB

.

∵

DG

∥

AC

，∴∠

DGB

＝∠

ACB

.

∴∠

B

＝∠

ACB

.

∴

AB

＝

AC

.

∴△

ABC

是等腰三角形.12345678方法3等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线

(或垂线)3.

[新考法·动点探究法2024华南师大附中期中]如图，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，点

P

从点

B

出发沿线段

BA

移动，同

时，点

Q

从点

C

出发沿线段

AC

的延长线移动，点

P

，

Q

移动的速度相同，

PQ

与直线

BC

相交于点

D

.

(1)求证：

PD

＝

QD

.

12345678【证明】如图，过点

P

作

PF

∥

AC

交

BC

于点

F

.

12345678(2)过点

P

作直线

BC

的垂线，垂足为点

E

.

P

，

Q

在

移动的过程中，线段

DE

的长度是否保持不变？请

说明理由.

12345678方法4等腰三角形中证与底有关联的线段时常作底的平行线4.

[2024·福州八中月考]如图，在等边三角形

ABC

中，

D

是

边

AC

延长线上一点，延长

BC

至

E

，使

CE

＝

AD

，

DG

⊥

BE

于

G

.

求证：

BG

＝

EG

.

12345678【证明】如图，过点

D

作

DF

∥

BE

，交

AB

的延长线于

F

.

又∵△

ABC

是等边三角形，∴

AB

＝

AC

＝

BC

，∠

ABC

＝∠

ACB

＝∠

AFD

＝∠

ADF

＝∠

A

＝60°.∴△

ADF

是等边三角形.∴

AD

＝

DF

＝

AF

.

∴

CD

＝

BF

.

又∵

AD

＝

CE

，∴

FD

＝

CE

.

12345678又∵∠

DCE

＝∠

ACB

＝60°，∴∠

DFB

＝∠

ECD

.

∴△

FBD

≌△

CDE

(S.A.S.).∴

DB

＝

DE

.

∴△

BDE

是等腰三角形.又∵

DG

⊥

BE

于

G

，∴

G

为

BE

的中点.∴

BG

＝

EG

.

12345678方法5补形法构造等腰三角形5.

如图，已知

AD

∥

BC

，

AE

平分∠

BAD

，点

E

是

CD

的中点.(1)求证：

AB

＝

AD

＋

BC

；12345678【证明】如图，延长

AE

交

BC

的延长线于点

F

.

12345678(2)求证：

AE

⊥

BE

.

【证明】由(1)知△

FCE

≌△

ADE

，∴

AE

＝

FE

.

又∵

BA

＝

BF

，∴△

ABF

为等腰三角形.∴

AE

⊥

BE

.

12345678方法6倍长中线法构造等腰三角形6.

如图，在△

ABC

中，

AD

为中线，点

E

为

AB

上一点，

AD

，

CE

交于点

F

，且

AE

＝

EF

.

求证：

AB

＝

CF

.

12345678【证明】如图，延长

AD

至点

G

，使

DG

＝

AD

，连结

CG

.

又∵

BD

＝

CD

，∠

ADB

＝∠

GDC

，∴△

ABD

≌△

GCD

(S.A.S.).∴

AB

＝

CG

，∠

G

＝∠

EAF

.

∵

AE

＝

EF

，∴∠

EAF

＝∠

EFA

.

又∵∠

EFA

＝∠

CFG

，∴∠

G

＝∠

GFC

.

∴

CG

＝

CF

.

∴

AB

＝

CF

.

12345678方法7延长(或截取)法构造等腰三角形7.

如图，在△

ABC

中，∠

BAC

＝2∠

B

，

CD

平分∠

ACB

交

AB

于点

D

.

求证：

AC

＋

AD

＝

BC

.

12345678【证明】方法一：如图①，延长

CA

至点

E

，使

EA

＝

AD

，连结

ED

，则∠

E

＝∠

ADE

.

∴∠

BAC

＝∠

E

＋∠

ADE

＝2∠

E

.

∵∠

BAC

＝2∠

B

，∴∠

E

＝∠

B

.

∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ACD

＝∠

BCD

.

又∵

CD

＝

CD

，∴△

CDE

≌△

CDB

(A.A.S.).∴

CE

＝

CB

.

∵

CE

＝

AC

＋

AE

＝

AC

＋

AD

，∴

AC

＋

AD

＝

BC

.

12345678方法二：如图②，延长

DA

到点

E

，使

AE

＝

AC

，连结

CE

，则∠

E

＝∠

ACE

.

∴∠

BAC

＝∠

E

＋∠

ACE

＝2∠

E

.

∵∠

BAC

＝2∠

B

，∴∠

B

＝∠

E

.

∴

BC

＝

EC

.

∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ACD

＝∠

BCD

.

∴∠

ADC

＝∠

B

＋∠

BCD

＝∠

B

＋∠

ACD

.

又∵∠

DCE

＝∠

ACE

＋∠

ACD

＝∠

B

＋∠

ACD

，∴∠

ADC

＝∠

DCE

.

∴

DE

＝

CE

.

∴

AC

＋

AD

＝

AE

＋

AD

＝

DE

＝

CE

＝

BC

.

12345678方法三：如图③，在

BC

上截取

CE

＝

CA

，连结

DE

.

∵

CD

平分∠

ACB

，∴∠

ACD

＝∠

BCD

.

又∵

CD

＝

CD

，∴△

ACD

≌△

ECD

(S.A.S.).∴

AD

＝

DE

，∠

BAC

＝∠

DEC

.

∵∠

BAC

＝2∠

B

，∠

DEC

＝∠

B

＋∠

BDE

，∴∠

BDE

＝∠

B

.

∴

DE

＝

BE

，∴

AC

＋

AD

＝

CE

＋

DE

＝

CE

＋

BE

＝

BC

.

12345678方法8截长补短法构造等腰三角形8.

[2024·北师大附中期中]如图，

CD

是△

ABC

的角平分线，

点

E

是边

AC

上的点，满足

DE

＝

DB

.

(1)求证：∠

B

与∠

DEC

互补；12345678

12345678(2)点

F

是

BC

边上一点，满足∠

B

＋2∠

DFC

＝180°，

请判断线段

CF

与线段

CE

，

ED

之间满足的等量关

系，并且证明.12345678【解】