2024八年级数学上册第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理3.角平分线习题课件新版华东师大版

华师版八年级上第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理3.角平分线01名师点金02认知基础练03素养提升练目

录CONTENTS1.

角平分线上的点到角两边的距离是指角平分线上的点到角

两边的垂线段的长.2.

角平分线的性质是证明线段相等的一个重要方法，应用时

要注意两点：一是不要漏掉垂直关系这个关键条件；二是

直接得到线段相等，而不必再证两三角形全等.知识点1角平分线的性质1.

如图，在△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

ABC

的平分线

BD

交

AC

于点

D

.

若

AC

＝5，

AD

＝3，则点

D

到边

AB

的

距离是(

B

)A.1B.2C.3D.4(第1题)B1234567891011122.

如图，∠

AOB

＝α，

OA

＝5，

AD

⊥

OB

于点

D

，且

AD

＝2.将射线

OB

绕点

O

逆时针旋转2α至OB'位置，点

P

为

射线OB'上一点，则

AP

的值不可能是(

A

)A.1.5B.2C.5D.16(第2题)A1234567891011123.

[2024·西安期中]如图，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AD

是

∠

BAC

的平分线.

DE

⊥

AB

交

AB

于点

E

，

F

在

AC

上，

BD

＝

FD

.

求证：

CF

＝

EB

.

123456789101112知识点2角平分线的判定4.

[母题·教材P98练习T1]如图，在

CD

上找一点

P

，使点

P

到

OA

，

OB

的距离相等，则点

P

是(

C

)A.

线段

CD

的中点B.

CD

与过点

O

作

CD

的垂线的交点C.

CD

与∠

AOB

的平分线的交点D.

以上均不对C1234567891011125.

如图，

AD

⊥

OB

，

BC

⊥

OA

，垂足分别为

D

，

C

，

AD

，

BC

相交于点

P

.

若

PA

＝

PB

，则∠1与∠2的大小关

系是(

A

)A.

∠1＝∠2B.

∠1＞∠2C.

∠1＜∠2D.

无法确定(第5题)【点拨】A∵

AD

⊥

OB

，

BC

⊥

OA

，垂足分别为

D

，

C

，∴∠

ACP

＝∠

BDP

＝90°.又∵

PA

＝

PB

，∠

CPA

＝∠

DPB

，∴△

CPA

≌△

DPB

(A.A.S.).∴

PC

＝

PD

.

∴∠1＝∠2.123456789101112知识点3三角形的角平分线6.

到△

ABC

三边距离相等的点是△

ABC

的(

C

)A.

三条中线的交点B.

三条高的交点C.

三条角平分线的交点D.

以上均不对C1234567891011127.

如图，△

AOB

的外角∠

CAB

，∠

DBA

的平分线

AP

，

BP

相交于点

P

，

PE

⊥

OC

于点

E

，

PF

⊥

OD

于点

F

.

下列

结论：①

PE

＝

PF

；②点

P

在∠

COD

的平分线上；③∠

APB

＝90°－∠

O

.

其中正确的有(

C

)A.0个B.1个C.2个D.3个(第7题)123456789101112【点拨】①过点

P

作

PH

⊥

AB

于点

H

.

∵

AP

是∠

CAB

的平分线，

PE

⊥

AC

，

PH

⊥

AB

，∴

PE

＝

PH

.

∵

BP

是∠

ABD

的平分线，

PH

⊥

BA

，

PF

⊥

BD

，∴

PF

＝

PH

.

∴

PE

＝

PF

.

故①正确.②由①可知

PE

＝

PF

，又∵

PE

⊥

OC

于点

E

，

PF

⊥

OD

于点

F

，∴点

P

在∠

COD

的平分线上.故②正确.123456789101112③∵

PE

⊥

OC

，

PF

⊥

OD

，∴∠

OEP

＋∠

OFP

＝

90°＋90°＝180°.又∵∠

O

＋∠

OEP

＋∠

EPF

＋∠

OFP

＝360°，∴∠

O

＋∠

EPF

＝180°，即∠

O

＋∠

EPA

＋∠

HPA

＋∠

HPB

＋∠

FPB

＝

180°.易知△

PEA

≌△

PHA

，∴∠

EPA

＝∠

HPA

.

123456789101112同理∠

FPB

＝∠

HPB

，∴∠

O

＋2(∠

HPA

＋∠

HPB

)＝180°，即∠

O

＋2∠

APB

＝180°.

【答案】C123456789101112易错点运用性质时忽视到角两边的距离的定义而出错8.

如图，在△

ABC

中，

BD

平分∠

ABC

，交

AC

于点

D

，

BC

边上有一点

E

，连结

DE

，则

AD

与

DE

的大小关系为

(

D

)A.

AD

＞

DE

B.

AD

＝

DE

C.

AD

＜

DE

D.

无法确定(第8题)123456789101112【点拨】如图，在线段

BC

上截取

BF

＝

BA

，连结

DF

.

∵

BD

平分∠

ABC

，∴∠

ABD

＝∠

FBD

.

∴△

ABD

≌△

FBD

(S.A.S.).∴

AD

＝

FD

.

123456789101112由图可知，当∠

DEF

＞∠

DFE

时，

DF

＞

DE

，即

AD

＞

DE

；当∠

DEF

＝∠

DFE

时，

DF

＝

DE

，即

AD

＝

DE

；当∠

DEF

＜∠

DFE

时，

DF

＜

DE

，即

AD

＜

DE

.

故

AD

与

DE

的大小关系不能确定.故选D.

【答案】D123456789101112

利用角平分线的性质求三角形的周长9.

如图，在△

ABC

中，∠

C

＝90°，

BC

＝

AC

，

AD

是∠

BAC

的平分线，

DE

⊥

AB

于点

E

.

若

AB

＝10

cm，求△

DBE

的周长.123456789101112【解】∵

AD

平分∠

CAB

，且∠

C

＝90°，

DE

⊥

AB

，∴

DC

＝

DE

，∠

CAD

＝∠

EAD

，∠

C

＝∠

DEA

＝90°.∴△

ACD

≌△

AED

.

∴

AC

＝

AE

.

又∵

AC

＝

BC

，∴

AE

＝

BC

.

∴

DE

＋

EB

＋

BD

＝

DC

＋

BD

＋

EB

＝

BC

＋

EB

＝

AE

＋

EB

＝

AB

.

又∵

AB

＝10

cm，∴△

DBE

的周长为10

cm.123456789101112

利用基本图形法判定角平分线题型1作垂线，通过全等证相等10.

如图，

PA

＝

PB

，∠1＋∠2＝180°.求证：

OP

平分∠

AOB

.

123456789101112【证明】如图，过点

P

作

PE

⊥

OA

，

PF

⊥

OB

，垂足

分别为点

E

，

F

，则∠

AEP

＝∠

BFP

＝90°.∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠

PBO

＝180°，∴∠1＝∠

PBO

.

∴△

PAE

≌△

PBF

(A.A.S.).∴

PE

＝

PF

.

∴

OP

为∠

AOB

的平分线，即

OP

平分∠

AOB

.

123456789101112题型2作垂线，通过等线段证相等11.

如图，在△

ABC

中，∠

ABC

的平分线与△

ABC

的外角

∠

ACE

的平分线相交于点

P

，

PD

⊥

AC

于点

D

，

PH

⊥

BA

于点

H

.

(1)若点

P

到直线

BA

的距离是5

cm，求点

P

到直线

BC

的

距离；123456789101112【解】如图，过点

P

作

PF

⊥

BE

于点

F

.

由题意可知

PH

＝5

cm.∵

BP

平分∠

ABC

，

PH

⊥

BA

，

PF

⊥

BE

，∴

PF

＝

PH

＝5

cm，即点

P

到直线

BC

的距离为5

cm.123456789101112(2)求证：

AP

平分∠

HAC

.

【证明】∵

CP

平分∠

ACE

，

PD

⊥

AC

，

PF

⊥

BE

，∴

PF

＝

PD

.

由(1)知

PH

＝

PF

，∴

PD

＝

PH

.

又∵

PH

⊥

BA

，

PD

⊥

AC

，

∴

AP

平