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文档简介

13.2三角形全等的判定第3课时

角边角第13章

全等三角形1、通过画图、操作、实验等教学活动,探索三角形全等的判定方法(A.S.A.,A.A.S.);2、会用A.S.A.,A.A.S.判定两个三角形全等;3、灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等,从而解决线段或角相等的问题;温故知新

上节课,我们得到了全等三角形的一种判定方法,还记得吗?S.A.S.

现在我们讨论两角一边的情况:如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等,那么这两个三角形全等吗?(角边角)(角角边)可以分成两种情况:(1)两个角及这两角的夹边;(2)两个角及其中一角的对边.问题:如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带哪一块去呢?你能帮这位同学出主意吗?知识点一

角边角判定三角形全等操作1:如图,用纸板挡住了两个三角形的一部分,你能画出这两个三角形吗?如果能,你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗?

相当于已知一角画三角形,我们可以画出无数个不同形状、大小的三角形.三角形能唯一确定.460°45°FED445°60°ABC460°RQP操作2:如图,△ABC与△QPR、△DEF能完全重合吗?动手试一试.(实验手册附录D)45°操作3:按下列作法,用直尺和圆规作△ABC,使AB=a,∠A=∠α,∠B=∠β,1你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗?你有什么发现?作法:1.作AB=a.2.在AB的同一侧分别作∠MAB=∠α,∠NBA=∠β

,AM、BN相交于点C.3.分别连接AB、AC.△ABC就是所求作的三角形.αa小组交流验证.β知识要点

“角边角”判定方法文字语言:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“A.S.A.”).几何语言:∠A=∠A′(已知),AB=A′B′(已知),∠B=∠B′(已知),在△ABC和△A′B′C′中,∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).ABCA′B′C′典例精析例1、如图,已知∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC.求证:△ABC

≌△DCB,AB=DC.解:在△ABC和△DCB中,∵∠ABC=∠DCB

(已知),BC=CB(公共边),∠ACB=∠DBC(已知),∴△ABC≌△DCB(A.S.A.).∴AB=DC(全等三角形的对应边相等).例2已知:如图,在△ABC中,D是BC的中点,点E、F分别在AB、AC上,且DE//AC,DF//AB.求证:BE=DF,DE=CF.EABCDF

练一练1.如图,∠C=∠E,∠1=∠2,BA=DA,你能证明BC=DE吗?AEDCB12

2.已知:点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C(1)求证:△ABE≌△ACDABCDEO

∴△ACD≌△ABE(ASA)(2)∵△ACD≌△ABE(已证)∴AD=AE(全等三角形的对应边相等)又∵AB=AC(已知)

∴AB-AD=AC-AE(等式性质)

∴BD=CE(2)BD和CE相等吗?知识点二

角角边判定三角形全等(角角边)

如图,如果两个三角形有两个角分别对应相等,且其中一组相等的角的对边相等,那么这两个三角形是否一定全等?思考分析:因为三角形的内角和等于180°,因此有两个角对应相等,那么第三个角必定对应相等,于是有“角边角”,可证得这两个三角形全等.已知:如图,∠A=∠A′,∠B=∠B′,AC=A′C′.求证:

△ABC≌△A′B′C′.证明:∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠A+∠B+∠C=180°,∠A′+∠B′+∠C′=180°(三角形内角和等于180°),∴∠C=∠C′(等量代换).

在△ABC和△A′B′C′中,

∵∠A=∠A′,AC=A′C′,

∠C=∠C′,∴△ABC≌△A′B′C′(A.S.A.)知识要点

“角角边”判定方法文字语言:有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“A.A.S.”).几何语言:∠A=∠A′(已知),∠B=∠B′(已知),AC=A′C′(已知),在△ABC和△A′B′C′中,∴△ABC≌△A′B′C′(A.A.S.).ABCA′B′C′典例精析例3如图,点D在AB上,点E在AC上,AD=AE,∠B=∠C,求证:AB=AC.ABCDE分析:证明△ACD≌△ABE,就可以得出AB=AC.证明:在△ACD和△ABE中,∠A=∠A(公共角),∠C=∠B

(已知),AD=AE(已知),∴△ACD≌△ABE(A.A.S.),∴AB=AC.方法归纳:通常利用全等三角形的对应边相等来证明两条线段相等,这是一个重要的方法.类似的方法可以证明两个角相等.例4.已知:如图,AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2,求证:AB=AD.ACDB12证明:∵

AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°.

在△ABC和△ADC中,∠1=∠2(已知),∠B=∠D(已证),AC=AC(公共边),∴△ABC≌△ADC(A.A.S.).∴AB=AD.练一练1、如图,在△ABC中,D是边BC的中点,过点C画直线CE,使CE//AB,交AD的延长线于点E.求证:AD=ED.证明:CE//AB(已知),∵∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(两直线平行,内错角相等).在△ABD与△ECD中,∵∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(已证),BD=CD(已知),∴△ABD≌△ECD(A.A.S.),∴AD=ED(全等三角形的对应边相等).DACB

∠ADB=∠CBD∠ABD=∠CDB∠ADB=∠CBDBD=DB∠ABD=∠CDBASA

ABCDEF2.如图∠ACB=∠DFE,BC=EF,那么应补充一个条件

,才能使△ABC≌△DEF

(写出一个即可).∠B=∠EAC=DF(ASA)(SAS)AB=DE可以吗?×AB∥DE3.如图,已知点𝑬在△𝑨𝑩𝑪的外部,点𝑫在𝑩𝑪边上,𝑫𝑬交𝑨𝑪于𝑭,若∠𝟏=∠𝟐=∠𝟑,𝑨𝑪=𝑨𝑬,则有()AED

提示:由∠2=∠3可得∠C=∠EDACBDFE4.如图,E、F在线段AC上,DF∥BE,AE=CF.若∠A

=∠C,求证:DF=BE.

ACBDFE5.点B、F、C、E在直线l上(点F、C之间不能直接测量),点A、D在l的异侧,AB∥DE、∠A=∠D,测得AB=DE.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若BE=12m,BF=4m,求FC的长度.

6.已知:如图,在△ABC中,BE⊥AE,CF⊥AE,BE、CF与AE分别交于点E、F.(2)如果BE=CF,那么AD是△ABC的中线吗?为什么?AEFCBD

7.如图,∠DCE=90°,CD=CE,DA⊥AC,EB⊥AC,垂足分别为A、B.(

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